2012年高考数学二轮精品复习资料 专题04 三角函数（教师版）

1 20122012 届高考数学二轮复习资料届高考数学二轮复习资料 专题四专题四 三角函数 教师版 三角函数 教师版 考纲解读考纲解读 1 了解任意角的概念 了解弧度制的概念 能进行弧度与角度的互化 理解任意角的三角 函数 正弦 余弦 正切 的定义 2 能利用单位圆中的三角函数线推导出 的正弦 余弦 正切的诱导公 2 式 理解同角的三角函数的基本关系式 sin2x cos2x 1 sin tan cos x x x 3 能画出 y sinx y cosx y tanx 的图象 了解三角函数的周期性 2 理解正弦函数 余弦函数在区间 0 2 上的性质 如单调性 最大值和最小值以及与 x 轴的交点等 理解正 切函数在区间 内的单调性 2 2 4 了解函数的物理意义 能画出的图象 了解sin yAx sin yAx 对函数图象变化的影响 A 5 会用向量的数量积推导两角差的余弦公式 能利用两角差的余弦公式导出两角和与差 的正弦 余弦和正切公式 了解它们的内在联系 6 能利用两角差的余弦公式导出二倍角的正弦 余弦 正切公式 了解它们的内在联 系 能运用上述公式进行简单的恒等变换 包括导出积化和差 和差化积 半角公式 但对 这三组公式不要求记忆 考点预测考点预测 从近几年高考试题来看 对三角函数的考查 一是以选择填空的形式考查三角函数的 性质及公式的应用 一般占两个小题 二是以解答题的形式综合考查三角恒等变换 的性质 三角函数与向量等其他知识综合及三角函数为背景的实际问题sin yAx 等 预测明年 考查形式不变 选择 填空题以考查三角函数性质及公式应用为主 解答 题将会以向量为载体 考查三角函数的图象与性质或者与函数奇偶性 周期性 最值等相 结合 以小型综合题形式出现 要点梳理要点梳理 1 知识点 弧度制 象限角 终边相同的角 任意角三角函数的定义 同角三角函数基 本关系式 诱导公式 三角函数线 三角函数图象和性质 和 差 倍角公式 正 余弦 定理及其变形公式 2 2 三角函数中常用的转化思想及方法技巧 1 方程思想 三者中 知一可求二 sincos sincos sincos 2 1 的替换 22 sincos1 3 切弦互化 弦的齐次式可化为切 4 角的替换 2 22 5 公式变形 2 1 cos2 cos 2 2 1 cos2 sin 2 tantantan 1tantan 6 构造辅助角 以特殊角为主 22 sincossin tan b abab a 3 函数的问题 sin yAx 1 五点法 画图 分别令 求出五个特殊点 0 x 2 3 2 2 2 给出的部分图象 求函数表达式时 比较难求的是 一般从 五sin yAx 点法 中取靠近轴较近的已知点代入突破 y 3 求对称轴方程 令 x 2 k kZ 求对称中心 令 x k kZ 4 求单调区间 分别令 2 2 kx 2 2 k kZ 同时注意 A 符号 2 2 kx 3 2 2 k kZ 4 解三角形 1 基本公式 正弦 余弦定理及其变形公式 三角形面积公式 2 判断三角形形状时 注意边角之间的互化 考点在线考点在线 考点考点 1 三角函数的求值与化简三角函数的求值与化简 此类题目主要有以下几种题型 考查运用诱导公式和逆用两角和的正弦 余弦公式化简三角函数式能力 以及求三角函 数的值的基本方法 考查运用诱导公式 倍角公式 两角和的正弦公式 以及利用三角函数的有界性来求的 值 3 故 f x 的定义域为 Z 2 R kkxx 由已知条件得 5 4 5 3 1cos1sin 2 2 aa 从而 2 sin 4 2cos 21 a a af a aa cos 4 sin2sin 4 coscos21 a aaa a aa cos cossin2cos2 cos sin2cos1 2 5 14 sin cos2 aa 名师点睛名师点睛 本小题主要考查三角函数的定义域和两角差的公式 同角三角函数的关系等 基本知识 考查运算和推理能力 以及求角的基本知识 备考提示备考提示 熟练掌握三角函数公式与性质是解答好本类题的关键 练习练习 1 20112011 年高考福建卷文科年高考福建卷文科 9 9 若 0 且 则 2 2 sin 1 cos2 4 的值等于 tan A B C D 2 2 3 3 23 答案答案 D 解析解析 因为 0 且 所以 2 2 sin 1 cos2 4 2 sin 22 1 cossin 4 即 所以 或 舍去 所以 即 选 D 2 1 cos 4 cos 1 2 1 2 3 tan3 考点考点 2 考查考查的图象与性质的图象与性质sin yAx 考查三角函数的图象和性质的题目 是高考的重点题型 此类题目要求考生在熟练掌 握三角函数图象的基础上要对三角函数的性质灵活运用 会用数形结合的思想来解题 4 备考提示备考提示 三角函数的图象及性质是高考考查的热点内容之一 熟练其基础知识是解答 好本类题的关键 练习练习 2 20112 2011 年高考江苏卷年高考江苏卷 9 9 函数是常数 sin wAwxAxf 的部分图象如图所示 则 0 0 wA 0 f 答案答案 6 2 解析解析 由图象知 函数的周期为 而周期 sin f xAwx 7 4 123 所以 由五点作图法知 解得 又 A 所以 2 T w 2w 2 3 3 2 函数 所以 2sin 2 3 f xx 0 f 6 2sin 32 考点考点 3 三角函数与向量等知识的综合三角函数与向量等知识的综合 三角函数与平面向量的综合 解答过程中 向量的运算往往为三角函数提供等量条件 例例 3 2009 年高考江苏卷第年高考江苏卷第 15 题 题 设向量 4cos sin sin 4cos cos 4sin abc 5 1 若与垂直 求的值 a 2bc tan 2 求的最大值 bc 3 若 求证 tantan16 a b 解析解析 名师点睛名师点睛 本小题主要考查向量的基本概念 同时考查同角三角函数的基本关系式 二 倍角的正弦 两角和的正弦与余弦公式 考查运算和证明得基本能力 备考提示备考提示 熟练三角公式与平面向量的基础知识是解决此类问题的关键 练习练习 3 3 天津市十二区县重点中学 天津市十二区县重点中学 2011 年高三联考二理 年高三联考二理 本小题满分 13 分 已知向量 2 3sin 1 cos cos 444 xxx mn f xm n I 若 求值 1f x cos 3 x II 在中 角的对边分别是 且满足 ABC A B C a b c 2 coscosacBbC 求函数的取值范围 f A 解析解析 I 2 3sincoscos 444 xxx 1 分 f xm n 311 sincos 22222 xx 3 分 1 sin 262 x 4 分 1 sin 262 x 2 cos 1 2sin 326 x x 1 2 6 分 1f x II 2 coscosacBbC 由正弦定理得 2sinsin cossincosACBBC 8 分 2sinsincossincosAcosBCBBC 2sincossin ABBC 9 分 ABC sin sinBCA 且sin0A 10 分 1 cos 2 B 0B 3 B 2 0 3 A 11 分 6 1 sin 1 6262 226 AA 12 分 1 sin 262 A 13 分 13 1sin 2622 A f A 3 1 2 考点考点 4 解三角形解三角形 解决此类问题 要根据已知条件 灵活运用正弦定理或余弦定理 求边角或将边角互化 例例 4 4 2011 2011 年高考安徽卷文科年高考安徽卷文科 16 16 在ABC 中 a b c 分别为内角 A B C 所对的边长 A a b 求边 BC 上的高 3212cos 0BC 解析 A B C 180 所以 B C A 又 12cos 0BC 12cos 180 0A 即 又 0 A0 在区间上单调递增 sinf xx 0 3 在 8 答案 C 解析 若对恒成立 则 所以 6 f xf xR sin 1 63 f 由 可知 32 kkZ 6 kkZ 2 ff kZ 即 所以 代入sin sin 2 sin0 7 2 6 kkZ 得 由 得 sin 2 f xx 7 sin 2 6 f xx 7 222 262 kxk 故选 C 5 63 kx k 4 2011 2011 年高考辽宁卷理科年高考辽宁卷理科 4 4 ABC 的三个内角 A B C 所对的边分别为 a b c asin AsinB bcos2A 则 2a b a A B C D 2 32 232 答案 D 解析 由正弦定理得 sin2AsinB sinBcos2A sinA 即 sinB sin2A cos2A sinA 22 故 sinB sinA 所以 22 b a 5 2011 2011 年高考辽宁卷理科年高考辽宁卷理科 7 7 设 sin 则 1 43 sin2 A B C D 7 9 1 9 1 9 7 9 9 答案 A 解析 2 17 sin2cos 22sin121 2499 6 2011 2011 年高考浙江卷理科年高考浙江卷理科 6 6 若 0 2 0 2 1 cos 43 则 3 cos 423 cos 2 A B C D 3 3 3 3 5 3 9 6 9 答案 C 解析 2442 cos cos 2442 故选 C sin sin 442 132 2634 35 3 333399 7 2011 2011 年高考全国新课标卷理科年高考全国新课标卷理科 5 5 已知角的顶点与原点重合 始边与横轴的正半轴重 合 终边在直线上 则 xy2 2cos A B C D 5 4 5 3 3 2 4 3 答案 B 解析 因为该直线的斜率是 所以 tan2 k 5 3 tan1 tan1 cos 2 2 8 2011 2011 年高考全国新课标卷理科年高考全国新课标卷理科 11 11 设函数 的最小正周期为 且 sin cos 0 2 f xxx fxf x 则 A 在单调递减 B 在单调递减 f x0 2 f x 3 44 C 在单调递增 D 在单调递增 f x0 2 f x 3 44 答案 A 解析 函数解析式可化为 4 sin 2 xxf2 2 T 10 又因为该函数是偶函数 所以 所以 该函数在上是xxf2cos2 4 2 0 减函数 故选 A 9 2011 2011 年高考天津卷理科年高考天津卷理科 6 如图 在 中 是边上的点 且ABCDAC 则的值为 23 2ABADABBD BCBD sinC A B 3 3 3 6 C D 6 3 6 6 答案 D 解析 设 则由题意可得 在中 由余弦定理BDa 2 BCa 3 2 ABADa ABD 得 所以 222 cos 2 ABADBD A AB AD 2 2 2 3 2 4 3 2 2 a a a 1 3 sin A 2 1 cos A 2 2 3 在 中 由正弦定理得 所以 解得 ABC sinsin ABBC CA 3 2 2 sin2 2 3 a a C a sinC 6 6 故选 D 10 2011 2011 年高考湖北卷理科年高考湖北卷理科 3 3 已知函数 若 则的 3sincos f xxx xR 1f x x 取值范围为 A B 3 x kxkkz 22 3 xkkkz C D 5 66 x kxkkz 5 22 66 xkxkkz 答案 B 解析 由 即 解得 3sincos1xx 1 sin 62 x 5 22 666 kxkkz 即 所以选 B 22 3 kxkkz 11 11 2011 2011 年高考陕西卷理科年高考陕西卷理科 6 6 函数在内 cosf xxx 0 A 没有零点 B 有且仅有一个零点 C 有且仅有两一个零点 D 有无穷个零点 答案 B 解析 令 则它们的图像如图故 1 yx 2 cosyx 选 B 12 2011 2011 年高考重庆卷理科年高考重庆卷理科 6 6 若的内角所ABC A B C 对的边满足 且 则的值为 a b c 22 4abc 0 60C ab A B 4 3 84 3 C 1 D 2 3 答案 A 解析 由得 由得 22 4abc 222 24ababc 0 60C 解得 222 421 cos 222 abcab C abab 4 3 ab 13 2011 2011 年高考四川卷理科年高考四川卷理科 6 6 在 ABC 中 222 sinsinsinsinsinBCBC 则 A 的 取值范围是 A 0 6 B 6 c 0 3 D 3 答案 C 解析 由正弦定理 得 由余弦定理 得 222 abcbc 222 2cosabcbcA 则 1 cos 2 A 0A 0 3 A 14 2011 2011 年高考辽宁卷理科年高考辽宁卷理科 16 16 已知函数 f x Atan x 0 2 y f x 的部分图像如下图 则 f 24 12 答案 3 解析 函数 f x 的周期是 故 由 3 2 882 2 2 得 所以 故 tan1 3 tan 20 8 A A 1 4 A tan 2 4 f xx tan 23 24244 f 15 2011 2011 年高考安徽卷理科年高考安徽卷理科 14 14 已知 的一个内角为 120o 并且三边长构成公差为 4ABC 的等差数列 则的面积为 ABC 答案 15 3 解析 设三角形的三边长分别为 最大角为 由余弦定理得4 4aa a 则 所以三边长为 6 10 14 ABC 222 4 4 2 4 cos120aaaa a 10a 的面积为 1 6 10 sin12015 3 2 S 16 2011 2011 年高考全国新课标卷理科年高考全国新课标卷理科 16 16 在中 则ABC 60 3BAC 的最大值为 2ABBC 答案 72 解析 在三角形 ABC 中 由正弦定理得2 60sin 3 sinsin C BC A AB 13 sin 72 sin4 120sin 2 sin4sin22 A AA ACBCAB 其中 又因为 所以最大值为 5 3 tan RA 72 17 2011 2011 年高考浙江卷理科年高考浙江卷理科 18 18 本题满分 14 分 在中 角所对的边分别ABCA ABC 为 a b c 已知且 当时 求 sinsinsin ACpB pR 2 1 4 acb 5 1 4 pb 的值 若角为锐角 求 p 的取值范围 a cB 解析 由正弦定理得 sin sin sin 222 abc ABC RRR 55 224 24 acb ac RRR 即 又 联立 解得 2 11 44 acbac 11 41 1 4 a a c c 或 由 可知 由余弦定理得acpb 22 2cosbacacB 2 2 22cosacacacB 即由题设知 2222 11 cos 22 p bbbB 2 31 cos 22 pB 0 1 cosB 2 3 2 2 p 0p 所以 6 2 2 p 18 2011 2011 年高考天津卷理科年高考天津卷理科 15 本小题满分 本小题满分 13 分 分 已知函数已知函数 tan 2 4 f xx 求 求的定义域与最小正周期 的定义域与最小正周期 f x 设 设 若 若求求的大小 的大小 0 4 2cos2 2 f 解析解析 由得所以的定义域为2 42 xkkZ 82 k xkZ f x 的最小正周期为 82 k xR xkZ f x 2 14 由得得即即 2cos2 2 f tan 4 2cos2 22 sin 4 2 cossin cos 4 2 若 a2 b2 4 a b 8 求边 c 的值 解析 由 即 2 2sincos1 2sin1 sin 2222 CCCC sin 2cos2sin1 0 222 CCC 因为 所以 两边平方得 sin0 2 C 1 sincos 222 CC 3 sin 4 C 2 由得 所以 所以 1 sincos 222 CC sincos 22 CC 422 C 2 C 由得 由余弦定理得 3 sin 4 C 7 cos 4 C 222 7 2 4 cabab 又 即 所以 22 4 8abab 22 2 2 0ab 2 2ab 所以 所以 2 82 7c 71c 20 2011 2011 年高考湖南卷理科年高考湖南卷理科 17 17 本小题满分 12 分 在中 角所对ABC CBA 的边分别为 且满足 cba CaAccossin 求角的大小 C 求的最大值 并求取得最大值时角的大小 4 cossin3 BABA 解析 由正弦定理得 CAACcossinsinsin 因为 所以 从而 又 所以 A00sin ACCcossin 0cos C1tan C 15 则 4 C 由知 于是 AB 4 3 4 cossin3 BA AA cossin3 AAcossin3 6 sin2 A 因为 所以 从而当 即时 4 3 0 A 12 11 66 A 26 A 3 A 取最大值 2 6 sin2 A 综上所述 的最大值 2 此时 4 cossin3 BA 3 A 12 5 B 高考冲策演练高考冲策演练 一 选择题 一 选择题 1 20102010 年高考全国卷年高考全国卷 I I 理科理科 2 2 记 那么 cos 80 k tan100 A B C D 2 1k k 2 1k k 2 1 k k 2 1 k k 16 3 20102010 年高考福建卷理科年高考福建卷理科 1 1 的值等于 cos13 计算si n43cos43 si n13 A B C D 1 2 3 3 2 2 3 2 答案 A 解析 原式 故选 A 1 sin 43 13 sin30 2 4 20102010 年高考安徽卷理科年高考安徽卷理科 9 9 动点在圆上绕坐标原点沿逆时针方向 A x y 22 1xy 匀速旋转 12 秒旋转一周 已知时间时 点的坐标是 则当时 0t A 13 22 012t 动点的纵坐标关于 单位 秒 的函数的单调递增区间是 Ayt A B C D 和 0 1 1 7 7 12 0 1 7 12 答案 D 解析 画出图形 设动点 A 与轴正方向夹角为 则时 每秒钟旋转 x 0t 3 6 在上 在上 动点的纵坐标关于 都是单调 0 1t 3 2 7 12 37 23 Ayt 递增的 5 2010 2010 年高考天津卷理科年高考天津卷理科 7 7 在 ABC 中 内角 A B C 的对边分别是 a b c 若 sinC 2sinB 则 A 22 3abbc 3 A 30 B 60 C 120 D 150 答案 A 解析 由 sinC 2sinB 结合正弦定理得 所以由于余弦定理得 32 3cb 222 cos 2 bca A bc 222 3 cos 2 bcbbc A bc 2 3 2 cbc bc 所以 A 30 选 A 2 2 3 32 3 22 3 bbb bb 3 2 6 20102010 年高考四川卷理科年高考四川卷理科 6 6 将函数的图像上所有的点向右平行移动个单sinyx 10 位长度 再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍 纵坐标不变 所得图像的函数解析式 是 A sin 2 10 yx 17 B sin 2 5 yx C 1 sin 210 yx D 1 sin 220 yx 答案 C 8 20102010 年高考陕西卷理科年高考陕西卷理科 3 3 对于函数 下列选项中正确的是 2sin cosf xxx A f x 在 上是递增的 B 的图像关于原点对 f x 4 2 f x 称 C 的最小正周期为 2 D 的最大值为 2 f x f x 答案 B 解析 易知在上是递减的 选项错误 xxf2sin xf 2 4 A 易知为奇函数 的图象关于原点对称 选项正确 xxf2sin xf xfB 选项错误 xxf2sin 2 2 TC 18 的最大值为 选项错误 xxf2sin xf1D 9 2010 年高考全国年高考全国 2 卷理数卷理数 7 为了得到函数的图像 只需把函数sin 2 3 yx 的图像 sin 2 6 yx A 向左平移个长度单位 B 向右平移个长度单位 4 4 C 向左平移个长度单位 D 向右平移个长度单位 2 2 答案答案 B 解析解析 所以将sin 2 6 yx sin2 12 x sin 2 3 yx sin2 6 x 的图像向右平移个长度单位得到的图像 故选 B sin 2 6 yx 4 sin 2 3 yx 10 20102010 年高考上海市理科年高考上海市理科 1515 是 成立的 2 4 xkkZ tan1x A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分条件 D 既不充分也不必要条件 答案 A 11 2010 2010 年高考重庆市理科年高考重庆市理科 6 6 已知函数的部分图象如sin 0 2 yx 题 6 图所示 则 A B 1 6 1 6 C D 答案答案 D 解析解析 由五点作图法知 2 T 23 2 6 2 6 2 6 19 12 2009 年高考广东卷年高考广东卷 A 文科第文科第 9 题 题 函数是 1 4 cos2 2 xy A 最小正周期为的奇函数 B 最小正周期为的偶函数 C 最小正周期为的奇函数 D 最小正周期为的偶函数 2 2 答案 A 解析 因为为奇函数 所以选 2 2cos 1cos 2sin2 42 yxxx 2 2 T A 二 填空题 二 填空题 13 2011 2011 年高考安徽卷江苏年高考安徽卷江苏 7 7 已知 则的值为 2 4 tan x x x 2tan tan 答案 4 9 解析 因为 而 cot2x 所以 2 2tan 4 tan2 4 1tan 4 x x x 2 2 2 1 2 4 3 tan 2 2 x 3 tan2 4 x 又因为 所以解得 所以的值为 tan1 tan 2 41tan x x x 1 tan 3 x x x 2tan tan4 9 14 2011 2011 年高考北京卷理科年高考北京卷理科 9 9 在中 若 b 5 tanA 2 则ABC 4 B sinA a 答案 102 5 52 解析 由 tanA 2 得 sinA 由正弦定理容易求得 2 5 5 2 10a 15 2011 2011 年高考福建卷理科年高考福建卷理科 14 14 如图 ABC 中 AB AC 2 BC 点 D 在 BC 边上 2 3 ADC 45 则 AD 的长度等于 答案 2 解析 由正余弦定理容易求出结果 16 2011 2011 年高考上海卷理科年高考上海卷理科 6 6 在相距 2 千米的 两点处测量目标 若ABC 20 则 两点之间的距离是 千米 00 75 60CABCBA AC 答案 6 解析 由正弦定理得 解得 AC 2 sin60sin45 AC 6 三 解答题 三 解答题 17 2011 2011 年高考重庆卷理科年高考重庆卷理科 16 16 设满 2 cossincoscos 2 aR f xx axxx 足 求函数 在上的最大值和最小值 0 3 ff f x 11 424 解析 22 sin coscossinsin2cos2 2 a f xaxxxxxx 由得 解得 0 3 ff 31 1 222 a A2 3a 因此 3sin2cos22sin 2 6 f xxxx 当时 为增函数 4 3 x 2 63 2 x f x 当时 为减函数 11 324 x 3 2 624 x f x 所以在上的最大值为 又因为 f x 11 424 2 3 f 3 4 f 11 2 24 f 所以在上的最小值为 f x 11 424 11 2 24 f 18 2011 2011 年高考北京卷理科年高考北京卷理科 15 15 已知函数 4cos sin 1 6 f xxx 求的最小正周期 f x 求在区间上的最大值和最小值 f x 6 4 解析 因为1 6 sin cos4 xxxf 21 1 cos 2 1 sin 2 3 cos4 xxx 1cos22sin3 2 xx xx2cos2sin3 6 2sin 2 x 所以的最小正周期为 xf 因为 3 2 6 2 6 46 xx所以 于是 当时 取得最大值 2 6 26 2 xx即 xf 当取得最小值 1 6 66 2xfxx时即 19 2011 2011 年高考福建卷理科年高考福建卷理科 16 16 已知等比数列 an 的公比 q 3 前 3 项和 S3 13 3 I 求数列 an 的通项公式 II 若函数在处取得最大值 且最 sin 2 0 0 f xAxAp 6 x 大值为 a3 求函数 f x 的解析式 20 20102010 年高考山东卷理科年高考山东卷理科 1717 已知函数 其图象过点 2 11 sin2