奥数-第二部分.doc

奥数第二、三部分2.奥林匹克数学的特征奥林匹克数学形成于数学竞赛活动，这门学科的主要研究对象是竞赛数学命题与解题的规律。同时，它具有相对稳定的内容，而这些内容是通过问题的提出和求解将许多具有创造性、灵活性、探索性和趣味性的知识、方法融合在一起的，并且具有不同于其他数学学科的许多特征。因此，越来越多的学生家长在老师的建议下为孩子开设了第二课堂奥林匹克数学训练。然而，为什么会有这么多的家长和学生支持奥林匹克数学训练呢？我们认为其主要原因是学生认为奥林匹克数学训练所学的内容，与老师课上讲的内容相比较，在其深度和广度上有了进一步的拓展（经问卷调查显示，50%以上孩子也认为这种学习较有趣）。喜欢奥林匹克数学训练的孩子会觉得上奥林匹克数学训练班是一种荣誉，比如平时数学课上老师讲应用题，有的人还没明白题目的意思，他们马上就能算出来，而且还有好几种解法，因此，经奥林匹克数学训练的学生就会觉得特有成就感，而其他孩子们也会很羡慕上奥林匹克数学训练班的同学。而且一个班里如果有大多数人都上辅导班，你不上的话，就显得不合群，就会落伍，孩子成绩跟不上，自己也会没面子。同时，考虑到孩子的将来，如果数学成绩不好，既上不了普通中学的实验班，更谈不上上重点中学，所以上“奥数”辅导班是一种“赶潮流”。2.1 内容的广泛性奥林匹克数学是由一个个灵活多变的问题和机智巧妙的解法共同组成的，它横跨于传统数学与现代数学的各个领域，与其他学科保持着密切而自然的联系，但又不同于这些学科系统的专门研究，它富有趣味性、灵活性和创造性的问题被越来越多的人接受，因此这门学科比其他学科的内容更为广泛。另外，在我们的问卷调查中其数据分析也凸显了这一现象，通过数据分析显示，在调查的所有人中，只有30%的人没有正式学过奥林匹克数学。其中，六年级有70%的学生正在学奥林匹克数学，五年级有80%的学生在学奥林匹克数学，四年级有78%的学生在学奥林匹克数学，三年级有10%的学生在学奥林匹克数学，三年级以下有5%的学生在学奥林匹克数学。也许就是因为它的趣味性、广泛性，学习奥林匹克数学已经成为了一种潮流。在奥林匹克数学训练的学生中，有近68%的学生认为奥林匹克数学可以补充传统数学课堂学习的内容。奥林匹克数学中的一些趣味性强的题，其主要目的还是引导学生，让学生从好玩的游戏进入到数学中去，让他们的思维能力逐渐提升。对于中小学生来说，像火柴棍问题、表格填数据、鸡兔同笼以及生活中的一些有趣的问题都是值得探讨的。它们有的吸引人动手试探，有的激发人们开动脑筋，有的蕴含了一定的思想方法，引发人们进一步试探、思考。 例如：火柴棍游戏，指的是可以用火柴棍摆成一些数字和运算符号，如数字，还可以摆出几何图形如正三角形、正方形、菱形、正多边形和一些物品的形状。通过移动火柴棍算式、图形，原有的算式、图形则会相应的发生变化，所以，教育者可通过这些变化来设计一些有趣的算式或图形的变化游戏。而在用火柴棍摆数学算式时，可以通过添加、去掉和移动几根火柴来使一些原来不正确的算式成立，但在思考由火柴棍组成的算式的变换时，应该注意以下两点：（1）在考虑使等式成立的数时，由于火柴棍是直而不可弯曲的，所以能拼凑出来的数字只限于，这就缩小了可讨论的数的范围，而运算符号也只限于。（2）要使算式成立，经常要添加、去掉和移动几根火柴，而“添”、“去”、“移”的一般规律是：添，添加一根火柴，可变为，变为，变为，变为或等。去，去是添的反面，要去掉一根火柴棍，常可以变为，变为，变为，变为，变为。还可以去掉数字前面或后面的，以及数字之间的等。移，移是去和添的结合，移动火柴棍时，要保证火柴的根数没有变化。如和 ，和，和，和“”，和之间都是可以相互转化的。例1 在下面由火柴棍摆成的算式中，添加或去掉一根火柴，使等式成立。分析：题中，只有一个四位数1244，且它是减数，其余的数都是三位数，所以，我们首先想到，要把1244千位上的1去掉，使它变成三位数。这时，等式左边是：772-244-417，计算的结果恰好就是111，等式成立。题中，由于减数是四位数1244，我们又可以想到在被减数的前面添加一根火柴，使它变成1772。这样，算式左边变为1772-1244-417，计算的结果也是111，等式仍然成立。所以题有两个答案。题中，原式左边的计算结果是四位数，右边的运算结果是109。所以，使左边减小是做这道题的想法，左边，127= 84，所以，应该有4421变成25，注意到拿掉百位4上的一根火柴即可变为“421”，从而满足等式。解：（1）去掉一根火柴棍：（2）添加一根火柴棍： 去掉一根火柴棍：例2 在下面由火柴摆成的算式中，移动一根火柴棍，使算式变成等式。分析：题目中的两个小题只是两个四则运算式子，并没有等号，而题目要求移动一根火柴使它变成等式.所以，我们一定是要在数字或“+”号上去掉一根火柴，添在“”号上或改“”为减号。题中， 112 7=784，而78472712，剩下的部分还有 7+ 2，可变成 712.所以，可以把最后面一个“+”号中“”移到7前面的“”号上，变成等号，即：112772=712，得到一个答案。题中，前面 111111=222，最后面一个数是 224.所以，如果能在 222后面再加 2（或加两个1），则可变成等式，这可以把11中的一个1移到224前的“”号上，变成“=”号就得到答案：11l+11111=224。解：题的答案是： 火柴棍可以摆出许多图形，它不仅限于生活中的物品，还能摆出一些几何图形，如三角形、四边形、多边形等等，而且，通过移动几根火柴棍，使它们之间出现一些有趣的转化。例3 移动四根火柴棍，把图141中的斧子变为三个全等的三角形。分析：本题中，构成斧子的火柴棍共九根，而最后要用这九根火柴构成三个全等的三角形，说明每个三角形都是边长为1根火柴棍的三角形，且三个三角形没有公用的边，基于这种想法，可有如图142的摆法。解：本题的摆法（图142）中，虚线为移走的部分。练习：1.在下面由火柴棍摆成的算式中，添上或去掉一根火柴棍，使算式成立。2.在下面由火柴棍摆成的算式中，只移动一根火柴棍，使算式变成等式。3.由火柴棍摆了两只倒扣着的杯子，如右图，请移4根火柴棍，把杯口正过来。答案：1.2.3.奥林匹克数学包含了传统数学的精华。其中许多问题都以独到的构思和巧妙的方法，使人们在学习中找到了学习的乐趣。奥林匹克数学包含着许多前人精髓的理论，是一笔丰富的遗产，今天的青少年学生接触并继承和发扬了这笔丰富的遗产。奥林匹克数学运用了基础知识的语言表达，并能用初等方法解决高深的某些数学问题，这些问题渗透了高等数学中的某些内容、思想和方法。它又区别于这些数学领域。数学往往追求一些概括的广泛的定理的证明，而奥林匹克数学则通过用特殊的方法来解决特殊问题，这些问题往往可以从思考角度、理解方法和解题思路方面推出一种广义的认识。例如出入相补原理，即割补法，引用吴文教授在出入相补原理一文中的定义即是“一个平面图形从一处移置他处，面积不变。又若把图形分割成若干块，那么各部分面积的和等于原来图形的面积，因而图形移置前后诸面积间的和、差有简单的相等关系。立体的情形也是这样。”这个定理看似很简单，但是它的引入，使很多计算复杂几何图形的面积或体积变得简单明了。如：例：（第九届小学“希望杯”全国数学邀请赛六年级第2试）下图中的阴影部分的面积是_平方厘米。（取3）分析：此题的阴影部分不是我们常见的平面几何图形，但我们可以通过分割、添补图形，将其变成我们熟知的平面几何图形，再通过求熟知的平面几何图形的面积，用加、减运算则可得此阴影部分的面积。方法一：如下图，把阴影部分的面积转为=（平方厘米）方法二：连接，把阴影部分分割成四部分，分别是和弓形。则阴影部分面积转化为：=（平方厘米）方法三：作辅助线，如下图，补上一个小三角形，使正方形成为长方形，则有： = =（平方厘米）方法四：作辅助线，并连接，则把阴影部分面积转化为： =（平方厘米）方法五：作辅助线，并连接，则把阴影部分面积转化为： = =（平方厘米）方法六：连接且。如下图。因为此时与面积相等。故原阴影部分就等于半径为，圆心角为的扇形面积：平方厘米。对于这种复杂图形的面积计算，我们没有公式可以直接进行计算，故需要结合出入相补原理，先对图形进行割补，再求出其面积，而且对于这类题型，解法往往不唯一，可以培养学生从多方面角度进行思考，拓展学生的思维。练习：下图中的大正方形的边长为6厘米，小正方形的边长为4厘米，求阴影部分的面积。答案：图中阴影部分是一个三角形，它的三条边都不知道，三条边上的高也不知道，所以无法直接套用求三角形的面积公式进行计算。此时需要运用出入相补原理，方法不唯一，下面给出其中一种做法：连接，将三角形分解为三个三角形，分别为。由于，故。所以有故阴影部分面积为18平方厘米。2.2 命题的新颖性由于竞赛题目难度大于一般的基础知识，其中的题目也不局限于传统的问法，而是使用联系生活的数学语言来表述。另外，对一些现代数学的研究成果经过简单化、特殊化后可以找到一般的解法，这也是试题的重要来源之一。命题的新颖性是奥林匹克数学的基本特征之一。命题者为了尽量保持竞赛的公平性，就要避免陈题的出现，也就要创作出新颖的题目，为了保证赛题的新意，奥林匹克数学的题型在基于基础知识上会渗入一些背景知识，使题目拥有自己新颖和独特之处。例如：甲、乙、丙3个学生分别戴着3种不同颜色的帽子，穿着3种不同颜色的衣服去参加一次争办奥运的活动。已知帽子和衣服的颜色都只有红、黄、蓝3种：甲没戴红帽子，乙没戴黄帽子；戴红帽子的学生没有穿蓝衣服：戴黄帽子的学生穿着红衣服：乙没有穿黄色衣服。试问：甲、乙、丙3人各戴什么颜色的帽子，穿什么颜色的衣服? 这种题没有涉及传统的运算模型，没有数字与符号间的运算，关键在于让学生学会使用逻辑推理。数学是以逻辑推理为重要研究方法的学科。所谓逻辑推理，就是合乎事理的、有根有据的推导判断。数学中有个分支叫做数理逻辑，它通过数学方法来研究逻辑规律。在数理逻辑中，列表法、假设法等是基本的研究方法，是通过列表、假设来分析和说明问题。学生应在数学学习中注意提高自己的逻辑推理能力，使自己勤于思考并且善于思考，成为聪明人。假设与列表法是中小学奥数常用的方法，以下是这两种方法在逻辑推理题型中的应用。例1：张三、李四、王五三位老师担任四年级一班的语文、数学、英语、音乐、美术、体育六门课的教学，每人教两门，现知道：（1） 英语老师和数学老师是邻居；（2） 李四年龄最小；（3） 张三喜欢和体育老师、数学老师来往；（4） 体育老师比语文老师年龄大；（5） 李四、语文老师、音乐老师三人经常一起锻炼。请你判断每个人分别教的是什么课程？分析：类似于这种条件比较复杂的题型，单看条件是解不出来的，需要列表，利用排他法进行解答。解：根据条件，我们可运用列表法进行解答。先做出下列表格，表内用“”表示肯定，用“”表示否定。由于每人只教其中的两门课，故每一行都只有两个“”，每一列都只有一个“”，其余空格均为“”。语数英音美体张李王由（3）知，张三不是体育老师和数学老师；由（2）、（4）知，李四不是体育老师，可见王五是体育老师；由（5）知，李四不是语文老师和音乐老师，由此可得下表：语数英音美体张李王又由（3）知，体育老师和数学老师不是同一个人，故王五不是数学老师，则可得李四是数学老师；由（1）知，数学老师和英语老师不是同一个人，故李四不是英语老师，所以李四是美术老师。至此，可得下表。语数英音美体张李王又由（4）可知，体育老师和语文老师不是同一个人，故王五不是语文老师，则可得张三是语文老师；由（5）知，语文老师和音乐老师不是同一个人，故张三不是音乐老师，则可得张三是英语老师，其余可得，如下表。语数英音美体张李王由以上列表推理可得，张三是语文老师和英语老师，李四是数学老师和美术老师，王五是音乐老师和体育老师。例2：一位法官在审理一起盗窃案时，对涉嫌犯罪的甲、乙、丙、丁四人进行了审问，四人分别给出供述：甲：“此案与我无关，罪犯在其余三人之中。”乙：“是丙做的，我可以作证。”丙：“罪犯是两个人，丁在其中。”丁：“乙说的是事实。”经调查知这四人中有两个人说了假话，另外两个人说的是实情，请你找出真正的罪犯。分析：解此题的关键是要先确定谁说了假话。通过题目，我们可知乙和丁的回答是一致的，即他们说的要么同为真话，要么同为假话。解：假设乙和丁说的是真话，则丙是罪犯。而甲说罪犯在乙、丙、丁三人之中，说明甲说的也是真话，有三人说了真话，这与调查结果有两人说的真话相矛盾，故假设不成立。于是乙和丁说的是假话，那么甲和丙说的是真话，那么丁是其中一个罪犯。又由于甲说的是真话，故甲不是罪犯；乙说的是假话，故丙不是罪犯，所以另一个罪犯是乙。综上，真正的罪犯有两个，分别是乙和丁。练习：甲、乙、丙、丁四人分别掌握汉、英、法、韩四种语言中的两种，其中有三人会说英语，但没有一种语言是四人都会的，并且知道：（1）没有人既会韩语，又会法语；（2）甲会韩语，而乙不会，但他们可以用另一种语言交流；（3）丙不会汉语，但甲和丁交流时，需要丙为他们作翻译；（4）乙、丙、丁不会同一种语言。请你说出他们四人分别掌握哪些语言。答案：用列表法解此题，先做出下表，用“”表示肯定，用“”表示否定。汉英法韩甲乙丙丁由（1）、（2）知，甲会韩语，不会法语。此时甲的第二种语言可能是汉语或英语。此时，假设甲会汉语，则不会英语，由已知条件知乙、丙、丁三人会说英语，但由（4）知乙、丙、丁不会同一种语言，矛盾，故假设不成立。于是可得甲会英语。又由（3）知，甲和丁交流时需要丙作翻译，说明甲和丁没有同种语言，即丁不会英语和韩语，会汉语和法语，于是可得乙和丙会英语。又丙分别与甲和丁掌握同一种语言，而由（3）知，丙不会汉语，故丙和丁只能同会法语。又由（2）知，乙不会韩语，且乙、丙、丁不会同一种语言，故乙的第二种语言是汉语。据以上分析，可得下表。汉英法韩甲乙丙丁所以，甲会英语和韩语，乙会汉语和英语，丙会英语和法语，丁会汉语和法语。新课程实施以来，一直提倡生活数学，利润与折扣由于和我们生活联系紧密，所以在当今小学数学奥林匹克预赛和竞赛中成为了重要内容，也必将是今后比赛的重要内容。而其中要清楚几个概念：成本、定价、期望利润、打折扣、卖价（售出价）、利润利润率等。例：（04小学数学奥林匹克预赛）某人到商店买红、蓝两种笔，红笔定价5元，蓝笔定价9元，由于购买量较多，商店给予优惠：红笔8.5折，蓝笔8折，结果此人付的钱比原来节省了18%，已知他买了蓝笔30枝，那么红笔买了_枝。分析：以“此人付的钱比原来节省了18%”为等量关系列方程。解：设红笔买了x枝。 答：红笔买了36枝。再如切西瓜问题，这在炎热的大夏天是经常碰到的，但人们一般买来就随便切了，没想到这其中还隐含着数学问题。如：一个西瓜切三刀，切成七块小西瓜，吃完西瓜后，却有八块西瓜皮，要怎么切？那这时候我们可以通过画图来探究解法，探究过程如图所示： 在思考的过程中，学生想象平时切西瓜在图上画出来，做上记录。虽然切三刀可以得到三、四、五、六、七、八块，要找出与题目相关的，主要要分析三刀七块，但是为什么得出七块西瓜却会吃出八块西瓜皮呢，这是学生较难突破的地方，通过仔细发现，在切三刀七块那里中间部分会有上下两块皮，问题就解决了。这两个问题都结合了生活背景知识，较传统数学更具开放性，题目新颖。同时这既符合新课标要求，又能激发学生的学习兴趣，也可以培养学生的动手操作能力。2.3 方法的创造性可以说，奥林匹克数学既源于生活，又高于生活。奥林匹克数学是才智的角逐。奥林匹克数学中的部分内容在中小学课本中是没有的。这部分内容主要针对学有余力的或者对奥林匹克数学感兴趣的同学，作为课外的知识补充和提升的。解此类题目离不开一般的思维规律，但也没有固定的常规模式可循，它需要纵观全局的整体洞察力，敏锐的直觉和独创性的构思，要求学生自己去探索、尝试，通过观察、思考发现规律，寻求解决问题的有效途径。首先，我们来看一下例题：例：如何把1、2、3、4、5、6、7、8、9这9个数字填入如图右的九个空格中，使得横、竖、斜对角的和都相等。对于这个魔方问题，大多数学生都会采用东拼西凑的方法，然而这样的方法既费时又耗力，若是所填的数字超过9个，问题将变得越来越复杂。于是作为老师的我们应该想方设法引导学生把复杂问题简单化。利用他们丰富的想象力学会举一反三。在解决以上问题之前，先尝试着做下面的题：将-4、-3、-2、-1、0、1、2、3、4这九个数分别填入如图的方阵（魔方）的九个空格中，使得横、竖、斜对角的所有3个数相加和为0。 由观察知，丙图填法是错误的，而甲、乙两图都是正确的让学生仔细观察甲、乙图中填的两种数据的特点：“把甲图向左旋转一下就是乙图了。两个的答案其实是一样的。”“数字是关于0对称排列的。看上去其实很简单。”此时，再让他们完成以上那道题，我们进一步引导提示学生，“看看与上面做的魔方有没有什么联系？”“好像有啊，都是9个数填魔方，9个数都是连续整数。”学生回答。“这九个数与原来9个数有什么关系？”“比原来的9个数（分别）大5。“那与原来的幻方有没有联系呢？”受此启发，马上就会有一些同学做对了。可见，在解决问题时要善于学会从多个角度思考，不要一味地墨守成规，学会在已有的知识基础上大胆创新。以上例题正是利用了实数的对称美，解题的效率得以提高。 例：（93小学数学奥林匹克初赛）甲、乙两车分别从A、B两地出发，在A、B之间不断往返行驶，已知甲车的速度是每小时15千米，乙车的速度是每小时35千米，并且甲、乙两车第三次相遇（这里特指面对面的相遇）的地点与第四次相遇的地点恰好相距100千米，那么，A、B两地之间的距离等于_ 千米。 解：甲、乙速度之比是3：7，所以我们可以设整个路程为3+7=10份，这样一个全程中甲走3份，第三次相遇总共走了5个全程，所以甲总共走了35=15份，第四次相遇总共走了7个全程，所以甲总共走了37=21份，所以画图可知第三次相遇的地点与第四次相遇正好差4份，所以每份：1004=25，所以总长为2510=250米。这是一道典型行程问题里的相遇问题，由于中间涉及了不停往返，是相对较复杂的相遇问题，但是通过巧妙的利用速度的比，转换为一个简单的数数问题，体现了方法的创造性。 例如：巧数图形，关键是要仔细观察，发现规律，掌握有次序、有条理地数或计算图形的方法。一般采用逐个计数法或分类计数法；较复杂的组合图形，可采用分步计数法，把图形分成若干个组成部分，先数各部分图形的个数，再把结果相加；若能发现规律，也可直接计算图形的个数。例1：数数下图共有多少条线段？ 解法一：要正确解答这类问题，关键要按一定的顺序数，做到不重复，不遗漏。从图中可以看出，从A点出发的线段有4条：AB、AC、AD、AE；从B点出发的线段有3条：BC、BD、BE；从C点出发的线段有2条：CD、CE；从D点出发的线段有1条：DE。因此总共有4+3+2+1=10条线段。解法二：把图中AB、BC、CD、DE4条线段看做基本线段，有两条基本线段组成的线段有AC、BD、CE3条，由三条基本线段组成的有AD、BE2条，由四条基本线段组成的只有1条，从而总共有4+3+2+1=10条线段。解法三：从排列组合的角度，任意两点即可构成一条线段，则总共有=10条线段。例2：在44的方格中有多少个正方形？解法一：将每个小正方形按顺序标号：、，则由单个小正方形构成的有16个：、由4个小正方形构成的正方形有9个：、由9个小正方形构成的正方形有4个：、由16个小正方形构成的正方形有1个：、解法二：如图，用手指逐一数出由单个小正方形构成的有16个；接下来数4个小正方形构成的正方形的时候，我们可以用双手蒙住其它地方，只留出橙色和蓝色部分，此为第一个，继续用同样的方法，只留出蓝色和绿色部分，此为第二个，依次类推。，总共有9个；数由9个正方形构成的正方形时，也用同样的方法，可以找到4个这样的正方形；最后由16个正方形构成的正方形很显然只有1个。所以总共有16+9+4+1=30个。解法三：设小方格的边长为1.按照正方形的边长分类研究：边长为1的正方形每行有4个，有4行，所以总共有44个；边长为2的正方形每行有3个，有3行，所以总共有33个；边长为3的正方形每行有2个，有2行，所以总共有22个；边长为4的正方形每行有1个，有1行，所以总共有11个；最后根据加法原理得正方形的总个数为44+33+22+11=30个。 要正确解答这类问题，最起码的要求是做到数图形时不重复不遗漏。既不能把同一个图形数两次，也不能把有的图形漏掉不数，这就需要我们按照 一定的顺序去数，并找出它们的规律，巧妙地数出图形的个数。数的方法一般有两种：按顺序数和分类数。 数线段的方法：总数等于从1开始的几个连续自然数的和,且最大数正好比线段总端点数小1.算式：（n-1）+（n-2）+2+1（n为线段的总端点数）。数正方形的个数：11+22+33+nn。（n为正方形一边小格子数）。数长方形的个数可以用公式：长边的线段数宽边的线段数=长方形的个数。练习：1. 数数图中有多少条线段？ 2. 数一数下图中总共有多少个正方形？答案：1.有9条线段；2.有14个正方形。在中小学的初等数学中，知识不可能面面俱到。随着竞赛的举行，越来越多的学生参与到奥林匹克数学知识的学习，不少同学由此了解并掌握了数学奥林匹克中的这部分内容。这对其能力和思维的培养起着举足轻重的作用。3.奥林匹克数学训练与学生数学能力的培养纵观古今中外，数学人才比比皆是，一个个在数学及各个科学领域取得成功文人雅士无疑告知了我们数学奥林匹克竞赛的开展对数学人才的选拔及他们将来从事数学研究并不是没有影响的。其中，一个重要的因素是他们具有一定的数学能力。因此，数学能力的培养将成为当今数学教学研究的一个重要方向。3.1数学能力的发展史随着数学科学在社会生产实践和科学技术领域中的作用日益提高，以及知识经济社会的到来，人们越来越清醒地认识到在数学教学中不但要向学生传授知识，而且要努力培养学生的数学能力，特别是数学应用能力和数学创新能力，这是新世纪社会对人才的要求。 说到数学能力，大家皆知，它的历史可谓是源远流长。在这段历史长河中，许多数学家和数学教育家都曾给出过不同的答案。针对于数学能力的定义，众说纷纭。在20世纪50年代到80年代初期，出现了一种比较传统的说法：其内容是归结为提高分析问题和解决问题的能力。随后，在克鲁茨斯基的权威著作中小学生数学能力心理学中，提出了数学能力的组成部分是：（1）把数学材料形式化；（2）概括数学材料发现共同点；（3）运用数学符号进行运算；（4）连贯而有节奏的逻辑推理；（5）缩短推理结构进行简洁推理；（6）逆向思维能力；（7）思维的灵活性；（8）数字记忆；（9）空间概念。这9种能力，总起来就是“形式化”的抽象、记忆、推理能力。自80年代末，高等教育出版社出版的数学教育概论中提出了6种数学能力：（l）感知数学材料形式化；（2）对数学对象、空间关系的抽象概括能力；（3）运用数学符号进行推理的能力；（4）运用数学符号进行数学运算的能力；（5）思维转换能力；（6）记忆特定的数学符号、原理方法、抽象结构的能力。 随着教育改革的发展趋势，通过各种模式的教学研讨，逐步形成了一种共识，即数学能力是一种与数学活动有关的特殊的能力，数学能力是顺利完成数学活动所具备的，而且直接影响其活动效率的一种个性心理特征，它是在数学活动过程中形成和发展起来的，并在这类活动中表现出来的比较稳定的心理特征。2000年，美国数学教师协会发布的数学课程标准中提到，数学能力包含6项能力，分别是：（1）数的运算能力；（2）问题的解决能力；（3）逻辑推理能力；（4）数学联结能力；（5）数学交流能力；（6）数学表示能力。在我国更多的将其归结为为“四大能力”，其中包括（1）数学运算能力，即准确、快速运算的能力和估算能力；（2）空间想象能力，即关于图形辩识、几何元素的位置关系，几何量的计算能力；（3）逻辑思维能力；5（4）分析和解决实际问题的能力。数学能力的定义和分类不断有新的理解，尤其是随着时代和社会的发展，数学教学的改革的深入研究，更加凸显了数学能力的重要性。3.2数学能力的特点提高数学能力的关键是要理解和掌握好数学能力的特点，其中，数学能力包含以下几个特点：（1）灵活性灵活性是指学生能够自如的从一种运算转换为另一种运算；能实现一题多变，举一反三；能从隐蔽形式中迅速分清实质；能超脱于传统的解法，结合条件，产生一种乃至多种创新的方法等。（2） 独创性 独创性是指学生在学习数学知识的过程中，能独立思考，能同中求异，异中求同，善于运用类比和归纳的方法探寻出新的见解。（3）深刻性 深刻性往往是通过独创性体现出来的，也就是说对任何一种知识先经历一段理解和认知的过程，之后对它深刻的理解，才有可能对它产生独创的见解因此，深刻性主要表现在数学的概括能力上。（4）目的性 目的性是指在数学知识学习和探索的过程中，力求对准我们的目的要求，善于抓住问题的本质，分析命题的条件，以至于更好的寻找捷径到达目的地。（5）合理性一方面，耐心地和仔细地搜集足以进行某种判断的事实，力求解题的每一步都有根据，善于辨别真伪，以揭示条件与结论之间的因果关系另一方面，在现有条件下寻找最佳解决方案，在解题过程中善于利用各种图表、符号和记号，以达到用最少的时间做最少的事的效果。（6）总结性通过归纳、分析和直觉的推理过程形成有一般意义的方法这些方法的迁移范围较宽广，能用于许多非典型情况，抓住问题的全貌，能对问题进行概括、推广、引申、归纳。 （7）批判性 批判性是指愿意进行各方面的检验。如愿意检验已经得到的或快要得到的较为粗略的结果，能检查、归纳分析和直觉推理的过程等。并且善于发现自己的错误，能重新计算和思考，找出问题所在，并进行修正，得出精度较高的结果。 （8）论证性 论证性是指仔细、耐心地搜集足以进行某种判断的事实，力求解题的每一步都有根有据，善于去伪存真，能揭示条件与结论之间的因果关系。（7）简明性 简明性是指语言、文字、符号的简明性。在分析问题时要学会用最简洁的语言阐述复杂的数学问题，避免冗长，繁琐。3.3培养数学能力的意义6当今社会，在自然学科、社会学科、工程技术等一切的领域几乎都涉及到了数学。俗话说：“学好数理化，走遍天涯海角都不怕。”正好验证了“宇宙之大,粒子之微,火箭之速,化工之巧,地球之变,生物之谜,口用之繁,无处不用数学”这句话因此，数学的地位和作用越来越重要，以至于应用数学家E.David说，高技术本质上是一种数学技术。可见，对数学能力的培养是时代的需要。同时，培养数学能力也是社会经济发展的需要。在当今科学技术发展突飞猛进，逐步迈入知识经济时代，为了适应这种需求，就必须要有足够的能力。而数学能力是人类智能结构中最为重要的基础能力之一。我们知道，人类要认识世界的各种数量关系和形状、空间概念时，就必须具备有关的数学知识，在这基础上才能利用这些知识去改造适合人类生存的自然界。所以，只有具备优秀数学能力的人才能进入未来高端的科学技术社会。为了适应这种需求，需要培养学生的数学能力。那么，在当今这个知识经济一体化、信息化、数字化的时代，学校应如何培养高素质、高能力的人才成了现代教育的一个重要方向。在我国应试教育的培养的下，还存在一部分高分低能的学生，不能很好的适应当今科学技术高速发展的社会要求，但奥林匹克数学训练能改变这种现状，它除了展示它如何从客观事物的规律中汲取营养和提供工具外，主要就是理性的思维技术和掌握数学能力的训练，也就是教师把生动活泼的理性思辨通过知识载体，对学生实施能动的心理和智能的引导。这是一种启迪智慧、开发悟性、挖掘潜能的教学行为，它使学生不但学会“算数学”，还要学会如何“用数学”培养数学的应用能力，并使他们进一步认识到，数学不仅是一些知识，还是人的一种素质，即“数学素质”。3.4培养数学能力是中、小学奥林匹克数学训练的核心在一系列的教育改革发展中，我们看到的一个明显的改革趋势就是从应试教育到素质教育的转变。近年来，国际上掀起了中学数学教育现代化运动，其中改进教学原则、教学方法，将培养能力放在比学习记忆现有知识更为重要的位置上将成为一大特色。总而言之，其目的就是加强学生能力的培养。在问卷中，其数据显示：有65%的学生家长认为奥林匹克数学训练可以提高他们孩子的逻辑思维能力：15%的家长认为奥林匹克数学训练可以提高孩子的空间想象能力，10%的家长认为奥林匹克数学训练可以提高孩子的能力。3.4.1数学奥林匹克训练有利于数学运算能力的培养我们知道数学奥林匹克的内容是从初等数学中引申出来的，它们包括估计，等差数列求和，逻辑推理等方面的知识，其知识原理简单，但形式丰富，这样不仅丰富了中小学数学的内容，还有利于数学知识的普及。而数学运算能力是思维能力与运算技能的结合，针对于这个特点，奥林匹克数学训练为学生提供了很多资源。如运算中的巧算问题： 在奥林匹克数学训练中，常常出现一些难度较大的计算题，它们乍一看上去都十分繁难，有的题目用一般的方法甚至不能算出结果。针对这样的计算题，我们首先必须仔细审题，找出题目中的某一特殊联系，运用一些特殊，巧妙的计算方法，从而使问题得以转化，并简化了计算过程。例3：计算1995-1992+1989-1986+1983-+15-12+9-6+3看到这道题，不难发现这是一道关于加法、减法混合运算的题型。下面将介绍这道题的2种解法。解法一：（公式法）看到题目，我们首先把其中的“加数”和“减数”分别集中起来，发现正好是两组等差数列。加数为：1995，1989，1983，15，9，3，它们一共有（1995-3）（1995-1989）+1=333（个）； 减数为：1992，1986，12，6，它们一共有 （1992-6）（1992-1986）+1=332（个）；根据高斯算法公式：原式=（1995+1989+1983+15+9+3）-（1992+1986+12+6） =（1995+3）3332-（1992+6）3322 =19983332-19983322 =999333-999332 =999（333-332） =999 观察整个解题过程，除了用到高斯算法外，我们还融入了带符号搬家法、提取公因数法，这些方法在我们的计算题中常常用到，是学生学习数学必须掌握的方法。解法二：（分组求和法）观察题目，发现从左到右，每2个数一组：（1995-1992）+（1989-1986）+（9-6），这样一共组成了（1995-9）（1995-1989）+1=332（个）数对，每一数对的两个数的差都是“3”，最后还剩下一个“3”没配“对”。像这样推算也十分简单： 原式=（1995-1992）+（1989-1986）+（9-6）+3 =3332+3 =996+3 =999以上论述的两种方法，是奥林匹克数学训练中的部分内容。一代数学大师陈省身曾说“数学好玩”，而数学奥林匹克训练就是一个好玩的过程，其中巧算也是学生非常喜欢的，而巧算的相关技巧实际上是涉及到了如何提高处事效率。特别是在当前信息量越来越多，信息交流越来越频繁的今天，怎么实现信息的压缩，解包，实际上就是巧算的内容。而经过这样的长期训练，对于数学运算能力的提高是非常有帮助的。3.4.2数学奥林匹克训练有利于空间想象能力的培养空间想象能力是对空间形式的观察、分析、抽象的能力，图形的处理和图形的变换都要注意与推理相结合。它包括识图能力，即能看懂纸上画的图形，能从复杂的图形中区别出基本元素之间的基本关系；绘图能力，即能根据文字叙述的要求，按正投影原理，依最佳投影方向，绘制出规范形象的空间示意图；图形的变换能力，即能将空间图形投影为二维问题，把平面图形通过折叠、翻转为三维问题，以及空间图形的平移、旋转等三大能力。其中，直观是空间想象的基础和支柱，空间想象能力的形成是从感知大量的直观原型开始的。因而在教学(特别是几何教学)中，我们应该充分利用直观手段，提供足够的实物、模型或图形，作为学生感知的对象。例如，圆锥的“高”隐蔽在圆锥的内部，不易直接观察，光靠图形示意并结合语言描述对小学生又不够直观，如果能采用一个透明的塑料圆锥模型，且中间有一条红色的“高”，或者一个可以从某一轴截面剖开的木制圆锥模型，打开后截面上显示出一条醒目的“高”，这样圆锥的“高”就从背景中展现出来而能被学生直接观察了。而在中小学教材中，对于空间想象能力培养的知识点并不是很多，但是在奥林匹克数学训练的教材中正好对这一问题进行了深化和补充，它先从图形开始，然后建立空间概念，学习计算规则图形的面积与空间体积，从而促进学生空间观念的正确形成，以致于发展学生空间想象能力。例：一只蚂蚁从长方体的A点出发（如下图），沿着长方体的表面爬行，依次经过长方体的前面、上面、后面、底面，最后到达B点。请你为它设计一条最短的爬行路线。分析：蚂蚁在长方体表面爬行，且经过长方体的前、后、上、下面，不妨将这几个面展开成平面图形（如下图），然后依据“两点间的连线，直线最短”，所以连接AB，则AB即为蚂蚁爬行的最短路线。解：将长方体的前面、后面、上面、下面四个面展开成平面（如上图），连接AB，则AB即为蚂蚁爬行的最短路线。练习：一只小虫从棱长为2厘米的正方形木块上的A点出发，沿着正方体的表面爬向B点。请你画出小虫爬行的最短路线，且这样的路线有几条？解:按例题的解法，这样的路线共有6条，如下图所示：另外，图形面积的探索和应用，不仅有利于学生解决实际问题，而且对学生发展其空间观念，认识图形的特征和图形间的相互关系是大有好处的。因此，对小学生来说，空间观念的建立必须以丰富的直观，大量的感性材料，形象的积累和体验为基础。这样才能更好的锻炼出空间想象的能力。3.4.3数学奥林匹克训练有利于逻辑思维能力的培养培养数学思维能力是培养数学能力的核心。思维是人脑对客观事物间接和概括的认识过程。在奥林匹克训练中，一方面，