2012届高考数学知识梳理复习题6

用心 爱心 专心1 第第 2 2 讲讲 两条直线的位置关系两条直线的位置关系 知识梳理 1 两条直线的平行与垂直关系 分斜率存在与不存在两种情况讨论 若两条不重合的直线的斜率都不存在 则这两条直线平行 若一条直线的斜率不存在 另一 条直线的斜率为 0 则这两条直线垂直 已知直线 111 bxkyl 222 bxkyl 若 与相交 则 若 则 1 l 2 l 21 kk 21 ll 1 21 kk 若 则且 若与重合 则且 1 l 2 l 21 kk 21 bb 1 l 2 l 21 kk 21 bb 2 几个公式 已知两点 则 222111 yxPyxP 21P P 2 21 2 21 yyxx 设点 直线点到直线 的距离为 00 yxA 0 CByAxlAl d 22 00 BA CByAx 设直线 0 1 CByAxl 0 2 CCCByAxl 则与间的距离 1 l 2 l d 22 BA CC 3 直线系 与直线平行的直线系方程为 0 CByAx0 CByAx 与直线垂直的直线系方程为 0 CByAx0 CAyBx 过两直线的交点的直线系方程为0 0 22221111 cybxalcybxal 为参数 0 222111 cybxacybxa 重难点突破 重点 掌握两条直线的平行与垂直的充要条件 掌握两点之间的距离公式 点到直线的距离 公式 会求两条平行线之间的距离 难点 判断两条直线位置关系时的分类讨论以及综合运用平行与垂直的充要条件 距离公式 解题 重难点 综合运用平行与垂直的充要条件和三个距离公式 进行合理转化之后求直线方程 1 在判断两条直线的位置关系时的分类讨论 要防止因考虑不周造成的增解与漏解 关 键是要树立检验的意识 要考虑斜率存在与斜率不存在两种情形 要考虑两条直线平行时不能重合 问题 1 已知直线 m 为何值时 与06 2 1 ymxl023 2 2 mmyxml 1 l 用心 爱心 专心2 平行 2 l 点拨 当 m 0 时 1 l 2 l 当时 的斜率为 的斜率为0 m 1 l 2 1 m 2 l m m 3 2 由得或 时与重合 时 2 1 mm m 3 2 1 m3 m3 m 1 l 2 l1 m 1 l 2 l 2 在分析题意 寻找解题思路时 要充分利用数形结合思想 将问题转化 化繁为简 有效 降低运算量 问题 2 已知点 P 2 1 求过 P 点与原点距离最大的直线 的方程l 点拨 过 P 点与原点距离最大的直线 为垂直于直线的直线 直线 的斜率为 2 lOP l 直线 的方程为 即 l 2 21 xy052 yx 3 在使用点到直线的距离公式和两条直线的距离公式时 应先将直线方程化为一般式 使 用两条直线的距离公式 还要使两直线方程中的的系数对应相等yx 问题 2 求直线与的距离012 1 yxl0742 2 yxl 点拨 将的方程化为 则两直线的距离为 1 l0242 1 yxl 10 59 20 9 d 4 处理动直线过定点问题的常用的方法 将直线方程化为点斜式 化为过两条直线的交 点的直线系方程 特殊入手 先求其中两条直线的交点 再验证动直线恒过交点 从 恒成 立 入手 将动直线方程看作对参数恒成立 问题 3 求证 直线恒过某定点 01164 43 382 222 mmymmxmm 并求该定点的坐标 将直线方程化为01143 68 432 2 yxmyxmyx 若直线过定点 则 00 yxP01143 68 432 0000 2 00 yxmyxmyx 上式对恒成立 该直线必过定点m 068 0432 00 00 yx yx 2 1 00 yx 2 1 P 热点考点题型探析 考点 1 两直线的平行与垂直关系 题型 判断两条直线平行与垂直 例 1 已知直线 3mx 8y 3m 10 0 和 x 6my 4 0 问 m 为何值时 1 与 1 l 2 l 1 l 相交 2 与平行 3 与垂直 2 l 1 l 2 l 1 l 2 l 解析 当时 与垂直0m 1 8 100ly 2 40lx 1 l 2 l 用心 爱心 专心3 当时0m 12 310312 8863 mm lyxlyx mm 由 而无解 312 103428 8638633 mm mm mm 或 31 1 86 m m 综上所述 1 时与相交 2 与平行 3 时与垂直 2 3 m 1 l 2 l 2 3 m 1 l 2 l0m 1 l 2 l 名师指引 判断两条直线的位置关系 一般要分类讨论 分类讨论要做到不重不漏 平 时要培养分类讨论的 意识 例 2 已知 三边的方程为 ABC 3260ABxy 23220ACxy 340BCxym 1 判断三角形的形状 2 当边上的高为 1 时 求的值 BCm 解题思路 1 三边所在直线的斜率是定值 三个内角的大小是定值 可从计算斜率入手 2 边上的高为 1 即点到直线的距离为 1 由此可得关于 m 的方程 BCABC 解析 1 直线的斜率为 直线的斜率为 AB 3 2 AB k AC 2 3 AC k 所以 所以直线与互相垂直 1 ABAC kk ABAC 因此 为直角三角形 ABC 2 解方程组 得 即 3260 23220 xy xy 2 6 x y 2 6 A 由点到直线的距离公式得 22 3 24 630 5 34 mm d 当时 即 解得或1d 30 1 5 m 305m 25m 35 名师指引 1 一般地 若两条直线的方向 斜率 倾斜角 方向向量 确定 则两条 直线的夹角确定 2 在三角形中求直线方程 经常会结合三角形的高 角平分线 中线 新题导练 1 已知直线 直线 则 是 直线 1 0laxbyc 2 0lmxnyp bman 21 l l 的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 解析 B 2 已知过点 A 2 m 和 B m 4 的直线与直线 2x y 1 0 平行 则 m 的值为 A 0 B 8 C 2 D 10 解析 设所求的直线 则20 xym 那么 m 8 选 B 3 m 是 直线 m 2 x 3my 1 0 与 2 1 40 240 mn mn 用心 爱心 专心4 直线 m 2 x m 2 y 3 0 相互垂直 的 A 充分必要条件 B 充分而不必要条件 C 必要而不充分条件 D 既不充分也不必要条件 解析 当m 或 2 时 两条直线垂直 所以m 是两条直线垂直的充分不必要条件 选 2 1 2 1 B 点评 还要考虑斜率不存在的情形 4 山东省枣庄市 2008 届高三第一次调研考试 已知直线l的倾斜角为 直线l1经过点垂直 直线l2 4 3 llaBA与且 1 1 2 3 等于 balbyx 平行 与直线 1 012 A 4B 2C 0D 2 解析 B 又 01 3 3 a a kAB21 2 b b 考点 2 点到直线的距离 题型 利用两个距离公式解决有关问题 例 3 已知直线及点0 2 baybaxbal 4 3 P 1 证明直线 过某定点 并求该定点的坐标l 2 当点到直线 的距离最大时 求直线 的方程Pll 解题思路 分离参数求定点坐标 寻找到直线 的距离最大时 直线 满足的条件ba Pll 解析 1 将直线 的方程化为 l0 1 12 yxbyxa 无论如何变化 该直线系都恒过直线与直线的交点 ba 012 yx01 yx 由得 直线 过定点 01 012 yx yx 3 2 y x l 3 2 Q 2 当时点到直线 的距离最大 此时直线 的斜率为 5 直线 的方程为PQl Pll l 即 2 53 xy075 yx 名师指引 1 斜率不定的动直线 都应考虑是否过定点 2 处理解析几何的最值问题 一般方法有 函数法 几何法 例 4 已知三条直线 1 2 00lxyaa 2 4 210lxy 3 10lxy 若与的距离是 1 l 2 l 7 5 10 1 求 a 的值 2 能否找到一点 P 使得 P 同时满足下列三个条件 P 是第一象限的点 P 点到的距 1 l 离是 P 点到的距离的 P 点到的距离与 P 点到的距离的之比是 若能 求 2 l 1 2 1 l 3 l2 5 用心 爱心 专心5 P 点坐标 若不能 说明理由 解题思路 由三个条件可列三个方程或不等式 最终归结为混合组是否有解的问题 解析 1 2 2 2 1 217 5 20 3 210 21 a lxyda 2 设同时满足三个条件 00 P xy 由 得 设在上 00 P xy 20lxyC 1 311311 2 22655 C C CC 或 则有 1 0000 1311 2020 26 xyxy 或 由 得 0000 231 2 552 xyxy 2 000 240320 xyx 或 由 得 3 00 0 0 xy 解由 1 2 3 联立的混合组得 所以 00 137 918 xy 1 37 9 18 P 名师指引 1 在条件比较多时 思路要理顺 2 解混合组时 一般是先解方程 再 验证不等式成立 新题导练 6 点到直线的距离的最小值等于 4cos 3sin P 60 xy 解析 2 2 2 6 sin 5 2 6sin3cos4 d 7 与直线的距离为的直线方程为 210 xy 5 5 解析 或02 yx022 yx 8 两平行直线 分别过点 P 1 3 Q 2 1 它们分别绕 P Q 旋转 但始终保 1 l 2 l 持平行 则之 间的距离的取值范围是 1 l 2 l A B 0 5 C D 0 0 5 0 17 解析 最大值为 P Q 的距离 即 5 选 C 用心 爱心 专心6 9 求过原点且与两定点距离相等的直线 的方程 2 3 1 1 BAl 解析 直线 过线段 AB 的中点或平行于直线 AB 故方程为或l02 yx043 yx 考点 3 直线系 题型 1 运用直线系求直线方程 例 5 求过直线和的交点 且与直线 1 3 530lxy 2 3 580lxy 垂直的直线方程和平行的直线方程 470 xy 解题思路 可直接求交点 也可用直线系求解 解析 解法一 设与直线垂直的直线方程为470 xy 40 xym 设与直线平行的直线方程为联立方程得与的交点 1 470 xy 40 xyn 1 l 2 l 1 代入求得 m 5 n 3 解法二 设与直线为 由条件分别求得和5230 358 0 xyxy 13 17 化简得和 18 17 450 xy 430 xy 名师指引 1 使用直线系方程可以回避解方程组 从而达到减少运算量的目的 2 注意直线系不表示直线 这5230 358 0 xyxy 2 3 580lxy 是一个容易丢解的地方 题型 2 动直线过定点问题 例 6 已知圆 直线 C 2 1x 2 225y l 21mx 174mym 0 证明不取何值 直线 过定点 证明直线 恒与圆 C 相交 mR ll 解析 1 直线化为 故直线是经过和4 27 0 xymxy 40 xy 交点 3 1 的直线系 故过定点 3 1 270 xy 2 因为 所以 3 1 为圆内的点 故直线 恒与圆 C 相交 22 3 1 1 2 525 l 名师指引 在处理动直线过定点问题时 分离参数 转化为过两条定直线的交点的直线 系是简单易行的方法 新题导练 10 方程所确定的直线必经过点 14 23 2 140k xk yk A 2 2 B 2 2 C 6 2 D 3 6 解析 代入验证 选 A 11 已知为 m 实数 直线 2m 1 x 1 m y 4m 5 0 P 7 0 求点 P 到直线l 的距离 d 的取值范围 l 用心 爱心 专心7 解析 直线 过定点 d 的最大值为点 P Q 的距离 因点 P Q 的距离为 l 2 3 Q52 故 d 的取值范围是 52 0 12 直线 经过直线的交点 且与坐标轴围成的三l0243 0232 21 yxlyxl与 角形是等腰直角三角形 求直线 的方程l 解析 设直线 方程为 l232 yx0 243 yxm 化简得 022 43 32 mymxm 直线 与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形 直线 的斜率为 l l1 解得 或 43 32mm 7 1 m5 m 代入并化简得直线 的方程为或l0121717 yx081717 yx 抢分频道 基础巩固训练 1 若过点和的直线与直线平行 则的值为 sin 4 A cos 5 B0 cyx AB A 6 B C 2 D 222 解析 1sincos AB k21 sin cos 2 AB 2 已知三条直线和围成一个直01832 0623 2 ymxyx01232 ymx 角三角形 则的值是m A 或 B 1 或 C 0 或 1 或 D 0 或或1 9 4 9 4 9 4 1 9 4 解析 C 直线垂直时 但时后两01832 0623 2 ymxyx1 m1 m 条直线重合 又时后两条直线垂直 故选 C 0 m 3 若直线l y kx 与直线 2x 3y 6 0 交点位于第一象限 则直线l的倾斜角的 3 取值范围是 A B C D 6 3 6 2 3 2 6 2 解析 B 直线 2x 3y 6 0 与 x 轴 y 轴交于 0 2 3 0 将两点坐标代入可得答 案 4 点 P x y 在直线 4x 3y 0 上 且满足 14 x y 7 则点 P 到坐标原点距离 的取值范围是 A 0 5 B 0 10 C 5 10 D 5 15 用心 爱心 专心8 解 B 由得 点 P 到坐标原点距离的取值范围是 0 10 714 034 yx yx 36 x 5 设 若仅有两个元素 则实数 xayyxA axyyxB BA 的取值范围是 a 解析 数形结合 注意到直线的斜率为 1 当时直 1 1 axy 1 a 线与不可能有两个交点 axy xay 6 求经过直线和的交点 且与原点距离为的直线方程043 yx0123 yx2 解析 解方程组得交点坐标为 1 1 0123 043 yx yx 设直线方程为即 1 1 xky01 kykx 解得2 1 1 2 k k d1 k 所求直线方程为 02 yx 综合提高训练 7 已知直线与轴轴正半轴所围成的四边形有外接圆 bkxylyxl 073 21 xy 则 的取值范围是 kb 解析 由题意知3 21 kll 直线与坐标轴交于点和 直线与线段 不含端点 相交 1 l 3 7 0 A 0 7 B 1 lAB 画图易得的取值范围是b 3 7 21 8 已知两直线 求分别满足下列条件的 12 40 1 0laxbylaxyb a 的值 b 1 直线过点 并且直线与直线垂直 1 l 3 1 1 l 2 l 2 直线与直线平行 并且坐标原点到 的距离相等 1 l 2 l 1 l 2 l 解析 解 1 12 1 10 lla ab 即 2 0aab 用心 爱心 专心9 又点在上 3 1 1 l340ab 由 解得 2 2 ab 2 且的斜率为 的斜率也存在 即 1 l 2 l 2 l1a 1 l1 a a b 1 a b a 故和的方程可分别表示为 1 l 2 l 1 4 1 1 0 a laxy a 2 1 0 1 a laxy a 原点到和的距离相等 解得 或 1 l 2 l 1 4 1 aa aa 2a 2 3 a 因此或 2 2 a b 2 3 2 a b 9 华南师大附中 2007 2008 学年度高三综合测试 三 如图所示 将一矩形花坛 ABCD 扩建成一个更大的矩形花园 AMPN 要求 B 在 AM 上 D 在 AN 上 且对角线 MN 过 C 点 AB 3 米 AD 2 米 要使矩形 AMPN 的面积大于 32 平方米 则 AM 的长应在什么范围内 当 AM AN 的长度是多少时 矩形 AMPN 的面积最小 并求出最小面积 以 AM AN 分别为 x y 轴建立直角坐标系 解析 以 A 为原点 AB 所在直线为 x 轴建立坐标系 则 1 2 3 3 0 0 b y a x MNCabNaM的方程为直线 则 由 C 在直线 MN 上得 abba 3 1 2 1 23 3 1 16 2 16 32 32 abb aabSAMPN 12404816 2 aaxa或 AM 的长取值范围是 3 4 12 由 知 即1 23 ba 24 6 2 23 1 ab abba 24 abSAMPN 当且仅当即时取等号 ba 23 4 6 ba 所以时 矩形 AMPN 的面积取得最小值 244 6 ba 用心 爱心 专心10 10 已知点 A 1 4 B 6 2 试问在直线 x 3y 3 0 上是否存在点 C 使得三角形 ABC 的 面积等于 14 若存在 求出 C 点坐标 若不存在 说明理由 解析 AB 直线 AB 的方程为 即 22 1 6 42 29 26 421 6 yx 假设在直线 x 3y 3 0 上是否存在点 C 使得三角形 ABC 的面积等于25220 xy 14 设 C 的坐标为 则一方面有 m 3n 3 0 另一方面点 C 到直线 AB 的距离为 m n 由于三角形 ABC 的面积等于 14 则 2522 29 mn d 即 或 11 2522 2914 2229 mn AB d 2522 28mn 2550mn 联立 解得 联立 解得 综上 256mn 135 11 m 56 11 n 3m 0n 在直线 x 3y 3 0 上存在点 C或 使得三角形 ABC 的面积等于 14 135 56 11 11 3 0 参考例题 1 将一块直角三角板 角 置于直角坐标系中 已知 ABO o 4