北京市2014届高三数学一轮复习 试题选编21椭圆 理

1 北京市北京市 20142014 届高三理科数学一轮复习试题选编届高三理科数学一轮复习试题选编 2121 椭圆 椭圆 一 选择题 1 北京市海淀区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 椭圆 22 22 1 0 xy Cab ab 的左右焦 点分别为 12 F F 若椭圆C上恰好有 6 个不同的点P 使得 12 FF P 为等腰三角形 则椭圆C的离心 率的取值范围是 A 1 2 3 3 B 1 1 2 C 2 1 3 D 1 11 1 3 22 答案 D 解 当点 P 位于椭圆的两个短轴端点时 12 FF P 为等腰三角形 此时有 2 个 若点不在短轴的端点时 要使 12 FF P 为等腰三角形 则有 112 2PFFFc 或 212 2PFFFc 此时 2 22PFac 所以有 1122 PFFFPF 即2222ccac 所以 3ca 即 1 3 c a 又当点 P 不在短轴上 所以 11 PFBF 即2ca 所以 1 2 c a 所以椭圆的 离心率满足 1 1 3 e 且 1 2 e 即 1 11 1 3 22 所以选D 二 填空题 2 北京市西城区 2013 届高三上学期期末考试数学理科试题 已知椭圆 22 1 42 xy 的两个焦点是 1 F 2 F 点P在该椭圆上 若 12 2PFPF 则 12 PFF的面积是 答案 2 解 由椭圆的方程可知2 2ac 且 12 24PFPFa 所以解得 12 3 1PFPF 又 12 22 2FFc 所以有 2 22 1212 PFPFFF 即三角形 21 PF F为直角三角形 所以 12 PFF的面积 122 11 2 2 12 22 SFFPF 2 3 北京东城区普通校 2013 届高三 12 月联考理科数学 椭圆 22 1 92 xy 的焦点为 12 F F 点P在椭圆 上 若 1 4PF 12 FPF 的小大为 答案 解析 椭圆 22 1 92 xy 的 所以 因为120 2 9 3aa 2222 2 7bcab 7c 所以 所以 所以 1 4PF 12 26PFPFa 2 642PF 所以 222 222 1112 12 12 42 2 7 1 cos 22 4 22 PFPFFF FPF PF PF 12 120FPF 三 解答题 4 北京东城区普通校 2013 届高三 12 月联考理科数学 本小题满分14分 已知椭圆 C 22 22 1 0 xy ab ab 的离心率为 6 3 椭圆短轴的一个端点与两个焦 点构成的三角形的面积为 5 2 3 求椭圆C的方程 已知动直线 1 yk x 与椭圆C相交于A B两点 若线段AB中点的横坐标为 1 2 求斜 率k的值 若点 7 0 3 M 求证 MA MB 为定值 答案 本题满分14分 解 因为 22 22 1 0 xy ab ab 满足 222 abc 6 3 c a 15 2 2 23 bc 解得 22 5 5 3 ab 则椭圆方程为 22 1 5 5 3 xy 1 将 1 yk x 代入 22 1 5 5 3 xy 中得 2222 1 3 6350kxk xk 4222 364 31 35 48200kkkk 2 12 2 6 31 k xx k 3 因为AB中点的横坐标为 1 2 所以 2 2 61 312 k k 解得 3 3 k 2 由 1 知 2 12 2 6 31 k xx k 2 12 2 35 31 k x x k 所以 11221212 7777 3333 MA MBxyxyxxy y 2 1212 77 1 1 33 xxkxx 222 1212 749 1 39 kx xkxxk 22 222 22 357649 1 313319 kk kkk kk 5 北京市朝阳区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 已知点A是椭圆 22 10 9 xy Ct t 的左顶点 直线 1 l xmym R与椭圆C相交于 E F两点 与x轴相 交于点B 且当0m 时 AEF的面积为 16 3 求椭圆C的方程 设直线AE AF与直线3x 分别交于M N两点 试判断以MN为直径的圆是否经过点 B 并请说明理由 答案 解 当0m 时 直线l的方程为1x 设点E在x轴上方 由 22 1 9 1 xy t x 解得 2 22 2 1 1 33 tt EF 所以 4 2 3 t EF 因为 AEF的面积为 14 216 4 233 t 解得2t 所以椭圆C的方程为 22 1 92 xy 4 分 4 由 22 1 92 1 xy xmy 得 22 29 4160mymy 显然m R 5 分 设 1122 E x yF xy 则 1212 22 416 2929 m yyy y mm 6 分 11 1xmy 22 1xmy 又直线AE的方程为 1 1 3 3 y yx x 由 1 1 3 3 3 y yx x x 解得 1 1 6 3 3 y M x 同理得 2 2 6 3 3 y N x 所以 12 12 66 2 2 33 yy BMBN xx 9 分 又因为 12 12 66 2 2 33 yy BM BN xx 1212 1212 3636 44 3 3 4 4 y yy y xxmymy 1212 2 1212 4 4 4 36 4 16 mymyy y m y ym yy 222 22 16 436 16 416 4 29 3216 29 mmm mm 222 6457664128576 9 mmm 0 13 分 所以BMBN 所以以MN为直径的圆过点B 14 分 6 2013 北京海淀二模数学理科试题及答案 已知椭圆的四个顶点恰好是一 M 22 22 1 0 xy ab ab 边长为 2 一内角为的菱形的四个顶点 60 I 求椭圆的方程 M II 直线 与椭圆交于 两点 且线段的垂直平分线经过点 求lMABAB 1 0 2 AOB 为原点 面积的最大值 O 答案 解 I 因为椭圆的四个顶点恰好是一边长为 2 M 22 22 1 0 xy ab ab 5 一内角为 的菱形的四个顶点 60 所以 椭圆的方程为 3 1ab M 2 2 1 3 x y II 设因为的垂直平分线通过点 显然直线有斜率 1122 A x yB xyAB 1 0 2 AB 当直线的斜率为时 则的垂直平分线为轴 则 AB0AB y 1212 xxyy 所以 22 222 11 11111111 11 2 1 1 3 2333 AOB xx Sxyxyxxxx 因为 22 22 11 11 3 3 3 22 xx xx 所以 当且仅当时 取得最大值为 3 2 AOB S 1 6 2 x AOB S 3 2 当直线的斜率不为时 则设的方程为 AB0AB ykxt 所以 代入得到 2 2 1 3 ykxt x y 222 31 6330kxktt 当 即 22 4 933 0kt 22 31kt 方程有两个不同的解 又 12 2 6 31 kt xx k 12 2 3 231 xxkt k 所以 又 化简得到 12 2 231 yyt k 12 12 1 1 22 0 2 yy xx k 2 314kt 代入 得到 04t 又原点到直线的距离为 2 1 t d k 22 22 12 2 4 933 1 1 31 kt ABkxxk k 所以 22 2 2 2 4 933 11 1 2231 1 AOB ktt SAB dk k k 化简得到 2 1 3 4 4 AOB Stt 6 因为 所以当时 即时 取得最大值 04t 2t 7 3 k AOB S 3 2 综上 面积的最大值为 AOB 3 2 7 2013 北京房山二模数学理科试题及答案 已知椭圆 的离心率为 且C 22 22 1 0 xy ab ab 2 2 过点 直线 2 1 A 交椭圆于 不与点重合 两点 2 2 yxm CBDA 求椭圆的方程 C ABD的面积是否存在最大值 若存在 求出这个最大值 若不存在 请说明理由 答案 a c e 2 2 22 21 1 ab 222 cba 2 a2 b2 c 22 1 42 xy 设 由 11 B xy 22 D xy 22 2 2 1 42 yx m xy 22 220 xmxm 2 82m0 22m 12 2 xxm 2 12 2x xm 22 12 26 1 82m 22 BDxx 设为点到直线 BD 的距离 dA 2 2 yx m 2 6 m d 22 12 4 2 22 ABD SBD dm m 当且仅当时等号成立 2m 2 2 当时 的面积最大 最大值为 2m ABD 2 8 2013 北京昌平二模数学理科试题及答案 本小题满分 13 分 如图 已知椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 的长轴为 过点的直线 与轴垂直 椭圆的离心率ABBlx 为椭圆的左焦点 且 3 2 e F1AFBF g I 求此椭圆的方程 7 II 设是此椭圆上异于的任意一点 轴 为垂足 延长到点使得 P A BPHx HHPQHPPQ 连接并延长交直线 于点为的中点 判定直线与以为直径的圆的位置关系 AQl MNMBQNABO l y x N M Q P HFOBA 答案 解 由题意可知 0 Aa 0 B a 0 Fc 1AFBFac ac g 又 解得 222 1acb 3 2 e 2222 2 222 13 4 caba e aaa 2 4a 所求椭圆方程为 2 2 1 4 x y 设 则 由 00 P xy 00 2 Q xy 00 2 2 xx 2 0 A 得 0 0 2 2 AQ y k x 所以直线方程由得直线 AQ 0 0 2 2 2 y yx x 2 0 B l2 x 的方程为 由 0 0 8 2 2 y M x 0 0 4 2 2 y N x 0 0 000 2 00 4 2 22 24 NQ y y xx y k xx 又点的坐标满足椭圆方程得到 所以 P 22 00 44xy 22 00 44xy 直线的方程 00000 22 000 22 442 NQ x yx yx k xyy NQ 0 00 0 2 2 x yyxx y 化简整理得到 即 22 0000 244x xyyxy 00 24x xyy 所以点到直线的距离 ONQ 22 00 4 2 4 dO xy 圆的半径 直线与为直径的圆相切 NQABO 8 9 北京市丰台区 2013 届高三上学期期末考试 数学理试题 曲线 12 C C都是以原点 O 为对称中心 离心率相等的椭圆 点 M 的坐标是 0 1 线段 MN 是 1 C的短轴 是 2 C的长轴 直线 01 l ymm 与 1 C交于 A D 两点 A 在 D 的左侧 与 2 C交于 B C 两点 B 在 C 的左侧 当 m 3 2 5 4 AC 时 求椭圆 12 C C的方程 若 OB AN 求离心率 e 的取值范围 答案 解 设 C1的方程为 2 2 2 1 x y a C2的方程为 2 2 2 1 x y b 其中1 01ab 2 分 C1 C2的离心率相同 所以 2 2 2 1 1 a b a 所以1ab 3 分 C2的方程为 222 1a xy 当 m 3 2 时 A 3 22 a C 13 22a 5 分 又 5 4 AC 所以 15 224 a a 解得 a 2 或 a 1 2 舍 6 分 C1 C2的方程分别为 2 2 1 4 x y 22 41xy 7 分 A 2 1am m B 2 1 1 m a m 9 分 OB AN OBAN kk 2 2 1 1 1 1 mm am m a 2 1 1 m a 11 分 2 2 2 1a e a 2 2 1 1 a e 2 2 1 e m e 12 分 01m 2 2 1 01 e e 2 1 2 e 13 分 10 2013 北京西城高三二模数学理科 如图 椭圆的左顶点为 是椭圆 2 2 1 01 y C xm m A M 9 上异于点的任意一点 点与点关于点对称 CAPAM 若点的坐标为 求的值 P 9 4 3 55 m 若椭圆上存在点 使得 求的取值范围 CMOPOM m 答案 解 依题意 是线段的中点 MAP 因为 1 0 A 9 4 3 55 P 所以 点的坐标为 M 2 2 3 55 由点在椭圆上 MC 所以 412 1 2525m 解得 4 7 m 解 设 则 且 00 M xy 2 2 0 0 1 y x m 0 11x 因为 是线段的中点 MAP 所以 00 21 2 Pxy 因为 OPOM 所以 2 000 21 20 xxy 由 消去 整理得 0 y 2 00 2 0 2 22 xx m x 所以 0 0 113 1 6 24 2 2 8 2 m x x 当且仅当 时 上式等号成立 0 23x 所以 的取值范围是 m 13 0 24 10 11 2013 北京丰台二模数学理科试题及答案 已知椭圆 C 的短轴的端点分别为 A B 直线 2 2 1 4 x y AM BM 分别与椭圆 C 交于 E F 两点 其中点 M m 满足 且 1 2 0m 3m 求椭圆 C 的离心率 e 用 m 表示点 E F 的坐标 若 BME 面积是 AMF 面积的 5 倍 求 m 的值 答案 解 依题意知 2a 3 c 2 3 e M m 且 1 0 1 0 BA 1 2 0m 直线 AM 的斜率为 k1 直线 BM 斜率为 k2 m2 1 m2 3 直线 AM 的方程为 y 直线 BM 的方程为 y 1 2 1 x m 1 2 3 x m 由得 1 2 1 1 4 2 2 x m y y x 22 140mxmx 2 4 0 1 m xx m 2 22 41 11 mm E mm 由得 1 2 3 1 4 2 2 x m y y x 0129 22 mxxm 2 12 0 9 m xx m 2 22 129 99 mm F mm 1 sin 2 AMF SMA MFAMF 1 sin 2 BME SMB MEBME AMFBME 5 AMFBME SS 5 MA MFMB ME 5 MAMB MEMF 22 5 412 19 mm mm mm mm 整理方程得 即 0m 22 115 1 19mm 22 3 1 0mm 又 为所求 3m 2 30m 1 2 m1m 11 12 2013 北京顺义二模数学理科试题及答案 已知椭圆的两个焦点分别为 01 2 2 2 2 ba b y a x C 且 点在椭圆上 且的周长为 6 21 F F2 21 FFP 21F PF I 求椭圆的方程 C II 若点的坐标为 不过原点的直线 与椭圆相交于两点 设线段的中点为 P 1 2OlCBA ABM 点到直线 的距离为 且三点共线 求的最大值 PldPOM 2 2 16 13 13 12 dAB 答案 解 I 由已知得且 解得 22 c622 ca1 2 ca 又 所以椭圆的方程为 3 222 cabC1 34 22 yx II 设 2211 yxByxA 当直线 与轴垂直时 由椭圆的对称性可知 点在轴上 且与点不重合 lxMxO 显然三点不共线 不符合题设条件 POM 故可设直线 的方程为 l 0 mmkxy 由消去整理得 1243 22 yx mkxy y 0124843 222 mkmxxk 则 012443464 2222 mkmk 所以点的坐标为 2 2 21 2 21 43 124 43 8 k m xx k km xx M 22 43 3 43 4 k m k km 因为三点共线 所以 因为 所以 POM 22 43 2 43 3 k km k m kk OPOM 0 m 2 3 k 此时方程 为 则 0333 22 mmxx 0123 2 m 3 3 2 21 21 m xx mxx 所以 2 12 2 12 2 yyxxAB 21 2 21 2 41xxxxk 2 12 12 13 m 又 13 42 23 28 22 mm d 所以 3 52 3 4 4 3 4 4 12 16 13 13 12 2 2 22 2 m m mdAB 12 故当时 的最大值为 0 32 3 4 m 2 2 16 13 13 12 dAB 3 52 13 2013 北京东城高三二模数学理科 已知椭圆 的离心率 原点到C 22 22 1 xy ab 0 ab 3 2 e 过点 的直线的距离是 0 A a 0 Bb 4 5 5 求椭圆的方程 C 若椭圆上一动点关于直线的对称点为 求的取值范围 CP 00 y xxy2 111 yxP 22 11 xy 如果直线1 0 ykxk 交椭圆于不同的两点 且 都在以B为圆心的圆上 求CEFEF k的值 答案 共 13 分 解 因为 所以 3 2 c a 222 abc 2ab 因为原点到直线 的距离 解得 AB1 xy ab 22 4 5 5 ab d ab 4a 2b 故所求椭圆的方程为 2 2 1 164 xy C 因为点关于直线的对称点为 00 P xyxy2 111 yxP 所以 解得 所以 01 01 0101 21 2 22 yy xx yyxx 00 1 43 5 yx x 00 1 34 5 yx y 2222 1100 xyxy 因为点在椭圆 2 2 1 164 xy 上 所以 00 P xyC 2 22220 1100 3 4 4 x xyxy 因为 所以 所以的取值范围为 0 44x 22 11 416xy 22 11 xy 4 16 由题意消去 整理得 22 14 8120kxkx 可知0 22 1 1 164 ykx xy y 设 的中点是 22 E xy 33 F xyEF MM M xy 则 23 2 4 214 M xxk x k 2 1 1 14 MM ykx k 所以 所以 21 M BM M y k xk 20 MM xkyk 13 即 又因为 22 4 20 1414 kk k kk 0k 所以 所以 2 1 8 k 2 4 k 14 北京市石景山区 2013 届高三一模数学理试题 设椭圆 C 22 22 xy ab 1 a b 0 的左 右焦点分别为 F1 F2 上顶点为 A 在 x 轴负半轴上有一点 B 满足 112 BFFF 且 AB AF2 I 求椭圆 C 的离心率 II 若过 A B F2三点的圆与直线l x33y 0 相切 求椭圆 C 的方程 在 II 的条件下 过右焦点 F2作斜率为 k 的直线l与椭圆 C 交于 M N 两点 线段 MN 的中垂线与 x 轴相交于点 P m O 求实数 m 的取值范围 答案 14 15 北京市顺义区 2013 届高三第一次统练数学理科试卷 解析 已知椭圆的 11 2 2 2 ay a x C 15 上顶点为 左焦点为 直线与圆相切 过点的直线与AFAF0726 22 yxyxM 2 1 0 椭圆交于两点 CQP I 求椭圆的方程 C II 当的面积达到最大时 求直线的方程 APQ 答案 解 I 将圆的一般方程化为标准方程 M0726 22 yxyx 313 22 yx 则圆的圆心 半径 由得直线的方程为M 1 3 M3 r 10 1 0 2 accFAAF 0 ccyx 由直线与圆相切 得 AFM3 1 3 2 c cc 所以或 舍去 2 c2 c 当时 2 c31 22 ca 故椭圆的方程为 C1 3 2 2 y x II 由题意可知 直线的斜率存在 设直线的斜率为 k 则直线的方程为 2 1 kxy 因为点在椭圆内 2 1 0 所以对任意 直线都与椭圆交于不同的两点 R kC 由得 1 3 2 1 2 2 y x kxy 0 4 9 331 22 kxxk 设点的坐标分别为 则 QP 2211 yxyx 2 21 2 212211 314 9 31 3 2 1 2 1 k xx k k xxkxykxy 所以 2 12 2 12 yyxxPQ 21 2 21 2 41xxxxk 16 2 22 31 4113 k kk 又因为点到直线的距离 1 0A 2 1 kxy 12 3 2 k d 所以的面积为 APQ 2 2 314 419 2 1 k k dPQS 设 则且 2 31 1 k t 10 t 3 1 3 1 2 t k 3 4 2 3 1 4 9 33 4 4 9 3 1 3 4 4 9 2 2 t tt t tS 因为 10 t 所以当时 的面积达到最大 1 tAPQ S 此时 即 1 31 1 2 k 0 k 故当的面积达到最大时 直线的方程为 APQ 2 1 y 16 2013 北京高考数学 理 已知 A B C 是椭圆W 上的三个点 O是坐标原点 2 2 1 4 x y I 当点 B 是 W 的右顶点 且四边形 OABC 为菱形时 求此菱形的面积 II 当点 B 不是 W 的顶点时 判断四边形 OABC 是否可能为菱形 并说明理由 答案 解 I 椭圆W 的右顶点 B 的坐标为 2 0 因为四边形 OABC 为菱形 所以 AC 与 2 2 1 4 x y OB 相互垂直平分 所以可设 A 1 代入椭圆方程得 即 所以菱形 OABC 的m 2 1 1 4 m 3 2 m 面积是 11 2 2 3 22 OBACm II 假设四边形 OABC 为菱形 因为点 B 不是 W 的顶点 且直线 AC 不过原点 所以可设 AC 的方程为 0 0 ykxm km 由消去并整理得 22 44xy ykxm y 222 14 8440kxkmxm 设 A C 则 1 1 x y 2 2 x y 12 2 4 214 xxkm k 1212 2 2214 yyxxm km k 所以 AC 的中点为 M 2 4 14 km k 2 14 m k 因为 M 为 AC 和 OB 的交点 所以直线 OB 的斜率为 1 4k 17 因为 所以 AC 与 OB 不垂直 所以 OABC 不是菱形 与假设矛盾 1 1 4 k k 所以当点 B 不是 W 的顶点时 四边形 OABC 不可能是菱形 17 2011 年高考 北京理 已知椭圆 G 过点作圆的切线 交椭圆 G 于 2 2 1 4 x y 0 m 22 1xy l A B 两点 求椭圆 G 的焦点坐标和离心率 将 AB 表示为 m 的函数 并求 AB 的最大值 答案 命题立意 本题考查椭圆的标准方程和性质以及直线被椭圆截得的弦长的求法 运用基本 不等式求解函数的最值问题 考查学生的运算能力和综合解答问题的能力 解析 由已知得 2 1ab 22 213c 所以椭圆 G 的焦点坐标为 离心率为 3 0 3 0 3 2 c e a 由题意知 1m 当时 切线 的方程为 点 A B 的坐标分别为 此时 1m l1x 3 1 2 3 1 2 3AB 当时 同理可得 1m 3AB 当时 设切线 的方程为 1m l yk xm 由 得 2 2 1 4 yk xm x y 22222 14 8440kxk mxk m 设 A B 两点的坐标分别为 则 11 x y 22 xy 222 1212 22 844 1414 k mk m xxxx kk 又由 与圆相切 得 即 l 22 1xy 2 1 1 km k 222 1k mk 所以 222222 1212121212 1 1 4 ABxxyykxxkxxx x 4222 2 222 644 44 1 14 14 k mk m k kk 2 4 3 3 m m 由于当时 所以 1m 3AB 2 4 3 1 1 3 m ABm m 因为 当且仅当时 2 4 3 4 3 2 3 3 m AB m m m 3m 2AB 所以的最大值是 2 AB 18 18 2013 北京朝阳二模数学理科试题 已知椭圆 22 22 1 xy C ab 的右焦点为F 1 0 短轴 0 ab 的端点分别为 12 B B 且 12 FB FBa 求椭圆的方程 C 过点F且斜率为的直线l交椭圆于两点 弦的垂直平分线与轴相交于点k 0 k M NMNx 设弦的中点为 试求的取值范围 DMNP DP MN 答案 解 依题意不妨设 则 1 0 Bb 2 0 Bb 1 1 FBb 2 1 FBb 由 得 又因为 12 FB FBa 2 1 ba 22 1ab 解得 2 3ab 所以椭圆的方程为 C 22 1 43 xy 依题直线l的方程为 1 yk x 由得 22 1 1 43 yk x xy 2222 34 84120kxk xk 设 则 11 M x y 22 N xy 2 12 2 8 34 k xx k 2 12 2 412 34 k x x k 所以弦的中点为 MN 2 22 43 3434 kk P kk 所以 2222 12121212 1 4 MNxxyykxxx x 42 2 222 644 412 1 34 34 kk k kk 2 2 12 1 43 k k 直线的方程为 由 得 则 PD 2 22 314 4343 kk yx kkk 0y 2 2 43 k x k 2 2 0 43 k D k 所以 所以 22 2 3 1 43 kk DP k 22 2 2 22 2 3 1 1 43 12 1 41 43 kk DPk k kMNk k 2 11 1 41k 19 又因为 所以 所以 2 11k 2 1 01 1k 2 111 01 414k 所以的取值范围是 DP MN 1 0 4 19 北京市海淀区北师特学校 2013 届高三第四次月考理科数学 已知椭圆 C 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 左焦点 0 3 F 且离心率 2 3 e 求椭圆 C 的方程 若直线 0 kmkxyl与椭圆 C 交于不同的两点NM NM 不是左 右顶点 且以 MN为直径的圆经过椭圆 C 的右顶点 A 求证 直线l过定点 并求出定点的坐标 答案 解 由题意可知 222 2 3 3 cba a c e c 1 分 解得 1 2 ba 2 分 所以椭圆的方程为 1 4 2 2 y x 3 分 II 证明 由方程组 mkxy y x 1 4 2 2 0448 k41 222 mkmxx得 4 分 0 44 41 4 8 222 mkkm 整理得014 22 mk 5 分 设 2221 yxNxxM 则 2 2 21 2 21 41 44 41 8 k m xx k km xx 6 分 由已知 ANAM 且椭圆的右顶点为 0 2 A 7 分 0 2 2 2121 yyxx 8 分 2 2121 2 2121 mxxkmxxkmkxmkxyy 20 即04 2 1 2 2121 2 mxxkmxxk 也即04 41 8 2 41 44 1 2 22 2 2 m k km km k m k 10 分 整理得 012165 22 kmkm 11 分 解得 5 6 2 k mkm 或均满足014 22 mk 12 分 当km2 时 直线的l方程为kkxy2 过定点 2 0 与题意矛盾舍去 13 分 当 5 6k m 时 直线的l方程为 5 6 xky 过定点 0 5 6 故直线l过定点 且定点的坐标为 0 5 6 14 分 20 北京市东城区普通高中示范校 2013 届高三 12 月综合练习 一 数学理试题 椭圆T的中心为坐标 原点O 右焦点为 2 0 F 且椭圆T过点 2 2 E ABC 的三个顶点都在椭圆T上 设三条边的中点 分别为 M N P 1 求椭圆T的方程 2 设ABC 的三条边所在直线的斜率分别为 123 k k k 且0 1 2 3 i ki 若直线 OM ON OP的斜率之和为 0 求证 123 111 kkk 为定值 答案 解 1 设椭圆T的方程为 22 22 1 xy ab 由题意知 左焦点为 2 0 F 所以 2 aEFEF 23 2 解得2 2a 2b 故椭圆T的方程为 22 1 84 xy 方法 2 待定系数法 2 设 112233 A x yB xyC xy 112233 M s tN s tP s t 由 22 11 28xy 2 2 22 28xy 两式相减 得到 12121212 2 0 xxxxyyyy 所以 12121 1 12121 11 22 yyxxs k xxyyt 即 1 11 1 2 t ks 21 同理 2 22 1 2 t ks 3 33 1 2 t ks 所以 312 123123 111 2 ttt kkksss 又因为直线 OM ON OP的斜率之和为 0 所以 123 111 0 kkk 方法 2 设直线AB 111 ytk xs 代入椭圆 22 28xy 得到 222 111 1111 1 1 2 4 2 80kxtk s k xtk s 11 11 12 2 1 4 12 tk s k xx k 1 2s 化简得 1 1 1 1 2 s k t 以下同 21 北京市东城区普通校 2013 届高三 3 月联考数学 理 试题 已知椭圆 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 的 离心率为 3 6 I 若原点到直线0 byx的距离为 2求椭圆的方程 II 设过椭圆的右焦点且倾斜角为 45的直线和椭圆交于 A B 两点 i 当3 AB 求 b 的值 ii 对于椭圆上任一点 M 若OBOAOM 求实数 满足的关系式 答案 解 I 22 2 b b d 3 2 3 6 2 2 a c a c e 22222 3 2 4aacba 解得 4 12 22 ba 椭圆的方程为 1 412 22 yx 4 分 II i e e 2 3 2 3 3 6 2 22222 bacba c 椭圆的方程可化为 222 33byx 易知右焦点 0 2 bF 据题意有 AB bxy2 22 由 有 03264 22 bbxx 设 2211 yxByxA 33 4 24 2 4 4872 11 2 2 2 22 22 12 2 12 b bbb yyxxAB 1 b 8 分 2 ii 显然OA与OB可作为平面向量的一组基底 由平面向量基本定理 对于这一平面内的向 量OM 有且只有一对实数 使得等OBOAOM 成立 设 M x y 21212211 yyyxxxyxyxyx 又点 M 在椭圆上 22 21 2 21 3 3 byyxx 由 有 4 3 2 23 2 2121 b xx b xx 则 2 212121212121 6 234 2 2 33bxxbxxbxbxxxyyxx 0693 222 bbb 又 A B 在椭圆上 故有 22 2 2 2 22 1 2 1 33 33byxbyx 将 代入 可得 1 22 14 分 22 北京市海淀区 2013 届高三 5 月查缺补漏数学 理 已知椭圆 22 1 43 xy C 的左右两个顶点分别 为AB 点M是直线 4l x 上任意一点 直线MA MB分别与椭圆交于不同于AB 两点的点P 点Q 求椭圆的离心率和右焦点F的坐标 i 证明 P F Q三点共线 求PQB 面积的最大值 答案 解 2 4a 2 3b 所以 222 1cab 所以 椭圆的离心率 1 2 c e a 23 右焦点 1 0F i 2 0A 2 0B 设 4 Mm 显然0m 则 2 6 m MA yx 2 2 m MB yx 由 22 2 6 1 43 m yx xy 解得 2 2 2 542 27 18 27 P P m x m m y m 由 22 2 2 1 43 m yx xy 解得 2 2 2 26 3 6 3 Q Q m x m m y m 当 2 9m 时 1 PQ xx P Q F三点共线 当 2 9m 时 22 0186 12739 P FP P ymm k xmm 22 0 66 199 Q FQ Q y mm k xmm 所以 FPPQ kk 所以 P Q F三点共线 综上 P Q F三点共线 因为 P Q F三点共线 所以 PQB的面积 2 22 129 1 2327 PQ m m SFByy mm 2 9 12 9 12 m m m m 设 9 um m 则 2 12 12 u S u 因为 2 2 24 6 12 u S u 且 9 6um m 所以 0S 且仅当6u 时 0S 所以 2 12 12 u S u 在 6 上单调递减 所以 2 1263 6122 S 等号当且仅当6u 即3m 时取得 所以 PQB的面积的最大值为 3 2 24 23 北京市海淀区 2013 届高三 5 月查缺补漏数学 理 已知椭圆 C 22 22 1 0 xy ab ab 的离心率 为 1 2 且经过点 3 1 2 A 求椭圆C的方程 设 M N为椭圆C上的两个动点 线段MN的垂直平分线交y轴于点 0 0 Py 求 0 y 的取值范围 答案 解 椭圆C的方程为 22 1 43 xy 设 1122 M x yN xy 则 22 11 1 43 xy 22 22 1 43 xy 依题意有 PMPN 即 2222 101202 xyyxyy 整理得 2222 1212012 2 0 xxyyyyy 将 2 2 1 1 4 4 3 y x 2 2 2 2 4 4 3 y x 代入上式 消去 22 12 xx 得 22 12012 6 0yyyyy 依题意有 12 0yy 所以 12 0 6 yy y 注意到 1 3y 2 3y 且 M N两点不重合 从而 12 2 32 3yy 所以 0 33 33 y 24 北京市石景山区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 已知椭圆的中心在原点 焦点在x轴 上 离心率为 3 2 且经过点 4 1 M 直线 l y x m交椭圆于不同的两点AB 求椭圆的方程 求m的取值范围 若直线l不过点M 求证 直线MAMB 的斜率互为相反数 答案 设椭圆的方程为 22 22 1 xy ab 因为 3 2 e 所以 22 4ab 又因为 4 1 M 所以 22 161 1 ab 解得 22 5 20ba 故椭圆方程为 22 1 205 xy 4 分 将yxm 代入 22 1 205 xy 并整理得 22 584200 xmxm 25 22 8 20 4 20 0mm 解得55m 7 分 设直线 MA MB的斜率分别为 1 k和 2 k 只要证明 12 0kk 设 11 A x y 22 B xy 则 2 1212 8420 55 mm xxx x 9 分 121221 12 1212 11 1 4 1 4 44 4 4 yyyxyx kk xxxx 1221 1212 2 1 4 1 4 2 5 8 1 2 420 8 5 8 1 0 55 xmxxmx x xmxxm mm m m 分分 所以直线MAMB 的斜率互为相反数 14 分 25 2013 届北京市高考压轴卷理科数学 已知椭圆 C 的中心在原点 焦点在x轴上 离心率为 1 2 短轴长 为 43 I 求椭圆 C 的标准方程 II 直线x 2 与椭圆 C 交于 P Q 两点 A B 是椭圆 O 上位于直线 PQ 两侧的动点 且直线 AB 的斜率为 1 2 求四边形 APBQ 面积的最大值 设直线 PA 的斜率为 1 k 直线 PB 的斜率为 2 k 判断 1 k 2 k的值是否为常数 并说明理由 答案 解 设椭圆 C 的方程为 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 由已知 b 32 离心率 222 2 1 cba a c e 得4 a 所以 椭圆 C 的方程为1 1216 22 yx 26 由 可求得点 P Q 的坐标为 3 2 P 3 2 Q 则6 PQ 设 A 11 yxB 22 y x 直线 AB 的方程为txy 2 1 代人1 1216 22 yx 得 012 22 ttxx 由 0 解得44 t 由根与系数的关系得 12 2 21 21 txx txx 四边形 APBQ 的面积 2 21 2 2121 34834 36 2 1 txxxxxxs 故当312 0 max St 由题意知 直线 PA 的斜率 2 3 1 1 1 x y k 直线 PB 的斜率 2 3 2 2 2 x y k 则 2 3 2 1 2 3 2 1 2 3 2 3 2 2 1 1 2 2 1 1 21 x tx x tx x y x