数列求和的基本方法例题

1 数列求和的基本方法归纳数列求和的基本方法归纳 教师 王光明教师 王光明 数列是高中代数的重要内容 又是学习高等数学的基础 在高考和各种数学竞赛中都占 有重要的地位 数列求和是数列的重要内容之一 除了等差数列和等比数列有求和公式外 大部分数列的求和都需要一定的技巧 下面 就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数 列求和的基本方法和技巧 一 利用常用求和公式求和一 利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法 1 等差数列求和公式 d nn na aan S n n 2 1 2 1 1 2 等比数列求和公式 1 11 1 1 11 1 q q qaa q qa qna S n n n 3 4 1 2 1 1 nnkS n k n 12 1 6 1 1 2 nnnkS n k n 5 2 1 3 1 2 1 nnkS n k n 例例 1 1 已知 求的前 n 项和 3log 1 log 2 3 x n xxxx 32 解 由 2 1 2loglog 3log 1 log 33 2 3 xxx 由等比数列求和公式得 利用常 n n xxxxS 32 用公式 1 x xx n 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 n n 2 1 例例 2 2 设 Sn 1 2 3 n n N 求的最大值 1 32 n n Sn S nf 解 由等差数列求和公式得 利用常用 1 2 1 nnSn 2 1 2 1 nnSn 公式 2 1 32 n n Sn S nf 6434 2 nn n n n 64 34 1 50 8 1 2 n n 50 1 当 即 n 8 时 8 8 n 50 1 max nf 二 错位相减法求和二 错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法 这种方法主要用于求数列 an bn 的前 n 项和 其中 an bn 分别是等差数列和等比数列 例例 3 3 求和 132 12 7531 n n xnxxxS 解 由题可知 的通项是等差数列 2n 1 的通项与等比数列 的通 1 12 n xn 1 n x 项之积 设 设制错 n n xnxxxxxS 12 7531 432 位 得 错位相减 nn n xnxxxxxSx 12 222221 1 1432 再利用等比数列的求和公式得 n n n xn x x xSx 12 1 1 21 1 1 2 1 1 1 12 12 x xxnxn S nn n 例例 4 4 求数列前 n 项的和 2 2 2 6 2 4 2 2 32n n 解 由题可知 的通项是等差数列 2n 的通项与等比数列 的通项之积 n n 2 2 n 2 1 设 n n n S 2 2 2 6 2 4 2 2 32 设制 1432 2 2 2 6 2 4 2 2 2 1 n n n S 错位 得 错位相 1432 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 nn n n S 减 11 2 2 2 1 2 nn n 3 1 2 2 4 n n n S 19 2014 濮阳二模 设 an 是等差数列 bn 是各项都为正数的等比数列 且 a1 b1 1 a3 b5 21 a5 b3 13 求 an bn 的通项公式 求数列的前 n 项和 Sn 考点 等差数列的通项公式 等比数列的通项公式 数列的求和 菁优网版权所有 专题 计算题 压轴题 分析 设 an 的公差为 d bn 的公比为 q 根据等比数列和等差数列的通项公式 联立方程求得 d 和 q 进而可得 an bn 的通项公式 数列的通项公式由等差和等比数列构成 进而可用错位相减法求得前 n 项和 Sn 解答 解 设 an 的公差为 d bn 的公比为 q 则依题意有 q 0 且 解得 d 2 q 2 所以 an 1 n 1 d 2n 1 bn qn 1 2n 1 得 点评 本题主要考查等差数列的通项公式和用错位相减法求和 21 2014 天津模拟 在等差数列 an 中 a1 3 其前 n 项和为 Sn 等比数列 bn 的各项均为正数 b1 1 公比为 q 且 b2 S2 12 求 an与 bn 设 cn an bn 求数列 cn 的前 n 项和 Tn 考点 等比数列的通项公式 等差数列的通项公式 数列的求和 菁优网版权所有 专题 综合题 等差数列与等比数列 分析 1 根据 b2 S2 12 bn 的公比 建立方程组 即可求出 an与 bn 4 2 由 an 3n bn 3n 1 知 cn an bn n 3n 由此利用错位相减法能求出数列 cn 的前 n 项和 Tn 解答 解 1 在等差数列 an 中 a1 3 其前 n 项和为 Sn 等比数列 bn 的各项均为正数 b1 1 公比为 q 且 b2 S2 12 b2 b1q q 3 分 解方程组得 q 3 或 q 4 舍去 a2 6 5 分 an 3 3 n 1 3n bn 3n 1 7 分 2 an 3n bn 3n 1 cn an bn n 3n 数列 cn 的前 n 项和 Tn 1 3 2 32 3 33 n 3n 3Tn 1 32 2 33 3 34 n 3n 1 2Tn 3 32 33 3n n 3n 1 n 3n 1 n 3n 1 Tn 3n 1 点评 本题考查数列的通项公式和前 n 项和公式的求法 解题时要认真审题 注意等差数列 等比数列 的性质和错位相减法的合理运用 三 倒序相加法求和三 倒序相加法求和 这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法 就是将一个数列倒过来排列 反序 再把它与原数列相加 就可以得到 n 个 1n aa 例例 5 5 求证 nn nnnn nCnCCC2 1 12 53 210 证明 设 n nnnnn CnCCCS 12 53 210 把 式右边倒转过来得 反 011 3 12 12 nn n n n nn CCCnCnS 序 5 又由可得 mn n m n CC n n n nnnn CCCnCnS 110 3 12 12 得 反序相加 nn n n nnnn nCCCCnS2 1 2 22 2 110 n n nS2 1 例例 6 6 求的值 89sin88sin3sin2sin1sin 22222 解 设 89sin88sin3sin2sin1sin 22222 S 将 式右边反序得 反 1sin2sin3sin88sin89sin 22222 S 序 又因为 1cossin 90cos sin 22 xxxx 得 反序相加 89 89cos89 sin 2cos2 sin 1cos1 sin2 222222 S S 44 5 四 分组法求和四 分组法求和 有一类数列 既不是等差数列 也不是等比数列 若将这类数列适当拆开 可分为几个 等差 等比或常见的数列 然后分别求和 再将其合并即可 例例 7 7 求数列的前 n 项和 23 1 7 1 4 1 11 12 n aaa n 解 设 23 1 7 1 4 1 11 12 n aaa S n n 将其每一项拆开再重新组合得 分 23741 111 1 12 n aaa S n n 组 当 a 1 时 分组 2 13 nn nSn 2 13 nn 求和 当时 1 a 2 13 1 1 1 1 nn a a S n n 2 13 1 1 nn a aa n 例例 8 8 求数列 n n 1 2n 1 的前 n 项和 6 解 设kkkkkkak 23 32 12 1 n k n kkkS 1 12 1 32 23 1 kkk n k 将其每一项拆开再重新组合得 Sn kkk n k n k n k 1 2 1 3 1 32 分组 21 21 3 21 2 222333 nnn 分组 2 1 2 12 1 2 1 22 nnnnnnn 求和 2 2 1 2 nnn 27 已知等比数列 an 满足 a2 2 且 2a3 a4 a5 an 0 1 求数列 an 的通项公式 2 设 bn 1 n3an 2n 1 数列 bn 的前项和为 Tn 求 Tn 考点 等比数列的前 n 项和 数列的求和 菁优网版权所有 专题 计算题 等差数列与等比数列 分析 设等比数列 an 的首项为 a1 公比为 q 则 解方程可求 a1 q 结 合等比数列的通项公式即可求解 由 bn 1 n3an 2n 1 3 2 n 1 2n 1 利用分组求和 结合等比与等差数列的求和公 式即可求解 解答 本小题满分 12 分 解 设等比数列 an 的首项为 a1 公比为 q 则 2 分 整理得 q2 q 2 0 即 q 1 或 q 2 an 0 q 2 代入可得 a1 1 6 分 bn 1 n3an 2n 1 3 2 n 1 2n 1 9 分 7 Tn 3 1 2 4 8 2 n 1 3 5 2n 1 3 2 n n2 2n 1 12 分 点评 本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的应用 分组求和方法的应用 属于数列知识的 简单综合 五 裂项法求和五 裂项法求和 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用 裂项法的实质是将数列中的每项 通项 分解 然后重新组合 使之能消去一些项 最终达到求和的目的 通项分解 裂项 如 1 2 1 nfnfan nn nn tan 1tan 1cos cos 1sin 3 4 1 11 1 1 nnnn an 12 1 12 1 2 1 1 12 12 2 2 nnnn n an 5 2 1 1 1 1 2 1 2 1 1 nnnnnnn an 6 n n nnnn n n S nnnn nn nn n a 2 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 1 2 1 则 例例 9 9 求数列的前 n 项和 1 1 32 1 21 1 nn 解 设 nn nn an 1 1 1 裂项 则 裂项 1 1 32 1 21 1 nn Sn 求和 1 23 12 nn 11 n 例例 10 10 在数列 an 中 又 求数列 bn 的前 n 项 11 2 1 1 n n nn an 1 2 nn n aa b 的和 解 211 2 1 1n n n nn an 8 1 11 8 2 1 2 2 nn nn bn 裂项 数列 bn 的前 n 项和 裂项求 1 11 4 1 3 1 3 1 2 1 2 1 1 8 nn Sn 和 1 1 1 8 n1 8 n n 例例 11 11 求证 1sin 1cos 89cos88cos 1 2cos1cos 1 1cos0cos 1 2 解 设 89cos88cos 1 2cos1cos 1 1cos0cos 1 S nn nn tan 1tan 1cos cos 1sin 裂项 裂项求 89cos88cos 1 2cos1cos 1 1cos0cos 1 S 和 88tan89 tan 2tan3 tan 1tan2 tan 0tan1 tan 1sin 1 0tan89 tan 1sin 1 1cot 1sin 1 1sin 1cos 2 原等式成立 如 n a是公差为d的等差数列 求 1 1 1 n k kk a a 解 解 由 11 11111 0 kkkkkk d aaaaddaa 11 1112231 11111111111 nn kk kkkknn a adaadaaaaaa 11 111 n daa 六 合并法求和六 合并法求和 针对一些特殊的数列 将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质 因此 在求数列的 和时 可将这些项放在一起先求和 然后再求 Sn 9 例例 12 12 求 cos1 cos2 cos3 cos178 cos179 的值 解 设 Sn cos1 cos2 cos3 cos178 cos179 找特殊 180cos cos nn 性质项 Sn cos1 cos179 cos2 cos178 cos3 cos177 cos89 cos91 cos90 合并求和 0 例例 13 13 数列 an 求 S2002 nnn aaaaaa 12321 2 3 1 解 设 S2002 2002321 aaaa 由可得 nnn aaaaaa 12321 2 3 1 2 3 1 654 aaa 2 3 1 2 3 1 121110987 aaaaaa 2 3 1 2 3 1 665646362616 kkkkkk aaaaaa 找特殊性质0 665646362616 kkkkkk aaaaaa 项 S2002 合 2002321 aaaa 并求和 66261612876321 kkk aaaaaaaaaa 2002200120001999199819941993 aaaaaaa 2002200120001999 aaaa 46362616 kkkk aaaa 5 例例 14 14 在各项均为正数的等比数列中 若的值 103231365 logloglog 9aaaaa 求 解 设 1032313 logloglogaaaSn 由等比数列的性质 找特殊性 qpnm aaaaqpnm 质项 10 和对数的运算性质 得NMNM aaa logloglog 合并求和 log log log log log log 635