2012年高考数学《数列》专题 等差数列学案

1 第第 2 2 课时课时 等差数列等差数列 1 1 等差数列的定义 d d 为常数 2 2 等差数列的通项公式 an a1 d an am d 3 3 等差数列的前 n 项和公式 Sn 4 4 等差中项 如果 a b c 成等差数列 则 b 叫做 a 与 c 的等差中项 即 b 5 5 数列 an 是等差数列的两个充要条件是 数列 an 的通项公式可写成 an pn q p q R 数列 an 的前 n 项和公式可写成 Sn an2 bn a b R 6 6 等差数列 an 的两个重要性质 m n p q N 若 m n p q 则 数列 an 的前 n 项和为 Sn S2n Sn S3n S2n成 数列 例例 1 1 在等差数列 an 中 1 已知 a15 10 a45 90 求 a60 2 已知 S12 84 S20 460 求 S28 3 已知 a6 10 S5 5 求 a8和 S8 解解 1 方法一 3 8 3 82 9044 1014 1 145 115 d a daa daa a60 a1 59d 130 方法二 3 8 1545 1545 aa mn aa d mn 由 an am n m d a60 a45 60 45 d 90 15 3 8 130 2 不妨设 Sn An2 Bn 17 2 4602020 841212 2 2 B A BA BA Sn 2n2 17n 典型例题典型例题 基础过关基础过关 2 S28 2 282 17 28 1092 3 S6 S5 a6 5 10 15 又 S6 2 10 6 2 6 161 aaa 15 2 10 6 1 a 即 a1 5 而 d 3 16 16 aa a8 a6 2 d 16 S8 44 2 8 81 aa 变式训练变式训练 1 1 在等差数列 an 中 a5 3 a6 2 则 a4 a5 a10 解 解 d a6 a5 5 a4 a5 a10 49 2 7 2 7 5 104 da aa 例例 2 2 已知数列 an 满足 a1 2a an 2a 1 2 n a a n 2 其中 a 是不为 0 的常数 令 bn aan 1 求证 数列 bn 是等差数列 求数列 an 的通项公式 解 解 an 2a 1 2 n a a n 2 bn 11 1 1 1 2 aaa a a a a aa n n n n n 2 bn bn 1 aaaaaa a nn n 11 11 1 n 2 数列 bn 是公差为 a 1 的等差数列 b1 aa 1 1 a 1 故由 得 bn a 1 n 1 a 1 a n 即 aan 1 a n 得 an a 1 n 1 变式训练变式训练 2 2 已知公比为 3 的等比数列 n b与数列 n a满足 3Nnb n a n 且1 1 a 1 判断 n a是何种数列 并给出证明 2 若 1 1 nn n aa C 求数列 n C的前 n 项和 3 解 解 1 1 1 1 1 3 33 1 3 n nn n a aan nn a n b aa b 即 n a为等差数列 2 11111 111111 1 1 nn nnnnnn n CS na aaaaaa 例例 3 3 已知 an 为等差数列 Sn为数列 an 的前 n 项和 已知 S7 7 S15 75 Tn为数列 n Sn 前 n 项和 求 Tn 解 解 设 an 首项为 a1公差为 d 由 75 2 1415 15 7 2 67 7 115 17 daS daS 1 2 1 d a Sn nn 2 5 2 1 2 2 5 2 1 n n Sn 3 1 1 S Tn nn 4 11 4 1 2 变式训练变式训练 3 3 两等差数列 an bn 的前 n 项和的比 53 27 n n Sn Sn 则 5 5 a b 的值是 A 28 17 B 48 25 C 53 27 D 23 15 解 解 B 解析 19 559 559 19 9 248 2 9 252 2 aa aaS bbS bb 例例 4 4 美国某公司给员工加工资有两个方案 一是每年年末加 1000 美元 二是每半年结束时 加 300 美元 问 从第几年开始 第二种方案比第一种方案总共加的工资多 如果在该公司干 10 年 问选择第二种方案比选择第一种方案多加工资多少美元 如果第二种方案中每半年加 300 美元改为每半年加 a 美元 问 a 取何值时 总是选择第二种方案比第一种方案多加工资 解解 设工作年数为 n n N 第一种方案总共加的工资为 S1 第二种方案总共加的工资 为 S2 则 S1 1000 1 1000 2 1000 3 1000n 500 n 1 n S2 300 1 300 2 300 3 300 2n 300 2n 1 n 由 S2 S1 即 300 2n 1 n 500 n 1 n 4 解得 n 2 从第 3 年开始 第二种方案比第一种方案总共加的工资多 当 n 10 时 由 得 S1 500 10 11 55000 S2 300 10 21 63000 S2 S1 8000 在该公司干 10 年 选第二种方案比选第一种方案多加工资 8000 美元 若第二种方案中的 300 美元改成 a 美元 则 1 2 S an 2n 1 n N a 12 1 500 n n 250 12 250 n 250 3 250 3 1000 变式训练变式训练 4 4 假设某市 2004 年新建住房 400 万平方米 其中有 250 万平方米是中低价房 预计 在今后的若干年内 该市每年新建住房面积平均比上一年增长 8 另外 每年新建住房中 中低 价房的面积均比上一年增加 50 万平方米 那么 到哪一年底 1 该市历年所建中低价房的累计面积 以 2004 年为累计的第一年 将首次不少于 4750 万平 方米 2 当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于 85 解 解 1 设中低价房面积形成数列 an 由题意可知 an 是等差数列 其中 a1 250 d 50 则 Sn 250n 50 2 1 nn 25n2 225n 令 25n2 225n 4750 即 n2 9n 190 0 而 n 是正整数 n 10 到 2013 年底 该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于 4750 万平方米 2 设新建住房面积形成数列 bn 由题意可知 bn 是等比数列 其中 b1 400 q 1 08 则 bn 400 1 08 n 1 0 85 由题意可知 an 0 85 bn 有 250 n 1 50 400 1 08 n 1 0 85 由计箅器解得满足上述不等式的最小正整数 n 6 到 2009 年底 当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于 85 1 欲证 an 为等差数列 最常见的做法是证明 an 1 an d d 是一个与 n 无