河南省沁阳市2013届高三数学一模考前训练（理）试题（一）

1 沁阳市沁阳市 20132013 年高三一模考前训练题年高三一模考前训练题 理科数学 一 理科数学 一 说明 本试卷分为第 I 卷 选择题 和第 II 卷 非选择题 两部分 全卷满分 150 分 考试时间 120 分钟 第 卷 共 60 分 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 有一 项是符合题目要求的 答案填涂在答题卷相应位置上 1 已知集合 U R 集合 集合 则等于 21 x Ax log 20 x Bx U AC B A B C D 1 x x 01 xx 01 xx 1 x x 2 在复平面内复数 1 1i 对应的点分别为 A B 若点 C 为线段 AB 的中点 则点 C 1 1i 对应的复数是 A 1 B 1 2 C i D i 1 2 3 设等比数列 的公比 q 2 前 n 项和为 则的值为 n a n S 4 3 S a A B C D 15 4 15 2 7 4 7 2 4 设函数 f x x x 4 x R 则函数 f x 是 2 sin 4 2 cos A 最小正周期为 的奇函数 B 最小正周期为 的偶函数 C 最小正周期为的奇函数 D 最小正周期为的偶函数 2 2 5 若 则有1 01abx A B ab xx xx ba C D loglog ab xx loglog xx ab 6 三棱椎 A BCD 的三视图为如图所示的三个直角三角形 则三棱锥 A BCD 的表面积为 A 2 2 B 4 455 C D 4 45 3 4 6 2 7 如果双曲线 m 0 n 0 的渐近线方程为 y x 则椭圆 的离 2 1 x mn 2 y 1 2 2 1 x mn 2 y 心率为 A B C D 3 2 3 4 5 4 5 16 8 的展开式中各项系数的和为 2 则该展开式中常数项为 5 1 2 a xx xx A 40 B 20 C 20 D 40 9 某学校对高一新生的体重进行了抽样调查 右图是根据抽 样调查后的数据绘制的频率分布直方图 其中体重 单位 kg 的范围是 45 70 样本数据分组为 45 50 50 55 55 60 60 65 65 70 已知被调查的学生中体重不 足 55kg 的有 36 人 则被调查的高一新生体重在 50kg 至 65kg 的人数是 A 90 B 75 C 60 D 45 10 已知函数的图象在点 1 2 处的切线恰好与直线平行 32 f xmxnx 30 xy 若在区间上单调递减 则实数 t 的取值范围是 f x 1 t t A B C D 2 1 2 1 2 11 已知函数 f x sin x 0 f x 在区间 0 2 上只有一个最大值和 3 一个最小值 则实数 的取值范围为 A B C D 7 12 13 12 2 6 2 6 3 12 过点作抛物线的两条切线 切点分别为 A B 若线段 AB 2 2 Mp 2 2 0 xpy p 中点的纵坐标为 6 则抛物线的方程为 A B 2 2xy 2 4xy C D 22 24xyxy 或 22 32xyxy 或 3 第 卷 共 90 分 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 把答案填在答题卷相应位置上 13 如图所示 程序框图 算法流程图 的输出结果是 14 甲 乙两名同学从四门选修课程中各选修两门 则两人所选课程中恰有一门相同的概 率为 15 如果内接于单位圆 且 则面积的最大值为 ABC bbaca 2 22 ABC 16 关于 x 的方程 k有四个不同的实根 则实数 k 的取值范围为 2 2x 2 x 三 解答题 本大题共 6 个小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤写 在答题卷相应位置上 17 本小题满分 12 分 设是公比大于 1 的等比数列 为数列的前项和 已知 且 n a n S n an 3 7S 构成等差数列 123 334aaa 1 求数列的通项公式 n a 2 令设数列的前项和 31 ln12 nn ban n bn n T 若对恒成立求的取值范围 n TTT 111 21 Nn 18 本小题满分 12 分 受轿车在保修期内维修费等因素的影响 企业产生每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障 的时间有关 某轿车制造厂生产甲 乙两种品牌轿车 保修期均为 2 年 现从该厂已售出 的两种品牌轿车中随机抽取 50 辆 统计书数据如下 将频率视为概率 解答下列问题 I 从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆 求首次出现故障发生在保修期内的概 率 4 II 若该厂生产的轿车均能售出 记住生产一辆甲品牌轿车的利润为 1 X 生产一辆 乙品牌轿车的利润为 2 X 分别求 1 X 2 X的分布列 III 该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当 由于资金限制 只能生产其中一种品 牌轿车 若从经济效益的角度考虑 你认为应该产生哪种品牌的轿车 说明理由 19 本小题满分 12 分 如图 在四棱锥 P ABCD 中 侧面 PAD 是正三角形 且垂直于底面 ABCD 底面 ABC 是边 长为 2 的菱形 BAD 60 M 为PC 的中点 20 本小题满分 12 分 已知椭圆 22 1 22 1 0 xy Cab ab 的离心率为 3 3 直线l 2yx 与以原点为圆心 以 椭圆 1 C的短半轴长为半径的圆相切 I 求椭圆 1 C的方程 II 设椭圆 1 C的左焦点为 1 F 右焦点 2 F 直线 1 l过点 1 F且垂直于椭圆的长轴 动直线 2 l垂直 1 l于点P 线段 2 PF垂直平分线交 2 l于点M 求点M的轨迹 2 C的方程 III 设 2 C与x轴交于点Q 不同的两点SR 在 2 C上 且满足0 QR RS 求QS 的 取值范围 21 本小题满分 12 分 5 函数 其中a为常数 且函数和的图像在 x f xa e axxglnln xfy xgy 其与坐标轴的交点处的切线互相平行 求此平行线的距离 若存在x使不等式成立 求实数m的取值范围 x xf mx 对于函数和公共定义域中的任意实数 我们把的 xfy xgy 0 x 00 xgxf 值称为两函数在处的偏差 求证 函数和在其公共定义域内的所有偏差 0 x xfy xgy 都大于 2 选考题 从下列两道解答题中任选一道作答 作答时 请注明题号 若多做 则按首做 题计入总分 满分 10 分 请将答题的过程写在答题卷中指定的位置 22 本小题满分 10 分 选修 4 1 几何证明选讲 选修 4 1 几何证明选讲 如图 是 的直径 是 的切线 与的延长线交于点 CBOAPOAPCBP 为切点 若 的平分线与和 分别交A10 PA5 PBBAC AEBCO 于点 求的值 DEAEAD 23 本小题满分 10 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 已知曲线 为参数 sin3 cos4 y x C 将的方程化为普通方程 C 若点是曲线上的动点 求的取值范围 yxPCyx 2 A C E BPDO 6 24 本小题满分 10 分 选修 4 5 不等式选讲 已知不等式axx2 4 3 2 若 求不等式的解集 1 a 若已知不等式的解集不是空集 求 a 的取值范围 沁阳市沁阳市 20132013 年高三一模考前训练题年高三一模考前训练题 理科数学 一 答案理科数学 一 答案 一 选择题 CBAACCBAAC AADACAADAC ACAC 二 填空题 13 15 14 15 15 16 16 3 2 2 12 1 k 三 解答题 17 解 1 由已知得 123 13 2 7 3 4 3 2 aaa aa a 解得 设数列的公比为 由 可得 2 2a n aq 2 2a 13 2 2aaq q 又 可知 即 3 7S 2 227q q 2 2520qq 解得 由题意得 12 1 2 2 qq 12qq 故数列的通项为 1 1a n a 1 2n n a 2 由于 31 ln12 nn ban 由 1 得 3 31 2 n n a 3 ln23 ln2 n n bn 又是等差数列 1 3ln2 nnn bb n b 12nn Tbbb 1 2 3ln23ln2 2 3 1 ln2 2 n n bb n n n 故 3 1 ln2 2 n n n T 7 1 11 2ln3 2 1 1 2ln3 21 nnnnTn 所以 1 1 1 2ln3 2 1 11 3 1 2 1 2 1 1 2ln3 2111 21 n nnTTT n 所以 2ln3 2111 21 n TTT 2ln3 2 18 解 I 首次出现故障发生在保修期内的概率为 231 5010 P II 随机变量 1 X的分布列为 随机变量 2 X的分布列为 III 1 139 1232 86 255010 EX 万元 2 19 1 82 92 79 1010 EX 万元 12 EXEX 所以应该生产甲品牌汽车 19 解 1 证明 证明 如图连接 AC OM 因为 ABCD 为菱形 所以点 O 为 AC 的中点 又 M 为 PC 的中点 所以 在中 PAC BDMPABDMOMOMPA平面平面又 所以BDMPA平面 2 X 1 8 2 9 P 1 10 9 10 1 X 123 P 1 25 3 50 9 10 8 33 3 3 0 2 0 0 0 22 1 00 2 0 1 sin 4 ACADDM ADMnx ynADn DM ACn xyACADM ACn 设平面的法向量为 则且 设直线和平面所成角为 则 20 解 222 222 22 31 23 33 cab eeab ac 直线 222 02 byxyxl 与圆相切 2 2 2 2 2 bbb 3 2 a 椭圆 C1的方程是 1 23 22 yx MP MF2 动点 M 到定直线1 1 xl的距离等于它到定点 F1 1 0 的距离 动点 M 的轨迹是 C 为l1准线 F2为焦点的抛物线 点 M 的轨迹 C2的方程为 xy4 2 Q 0 0 设 4 4 2 2 2 1 2 1 y y Sy y R 4 4 12 2 1 2 2 1 2 1 yy yy RSy y QR 0 RSQR 0 16 121 2 1 2 2 2 1 yyy yyy 0 121 yyy 化简得 16 1 12 y yy 6432256232 256 2 1 2 1 2 2 y yy 9 当且仅当 4 16 256 1 2 1 2 1 2 1 yy y y时等号成立 6464 8 4 1 4 2 2 22 2 2 2 2 2 2 yyy y QS 又 当 58 8 64 min2 2 2 QSQSyy 故时 的取值范围是 58 21 解 的图像与坐标轴的交点为 x fxae 1 gx x yf x 0 a 的图像与坐标轴的交点为 由题意得 即 yg x a 0 f0g a 1 a a 又 a0 1a 函数和的图像在其坐标轴的交点处的切线方 x f xe g xlnx yf x yg x 程分别为 两平行切线间的距离为 xy10 xy10 2 由得 故在有解 xm x f x x xm x e x mxxe x0 令 则 当时 x h xxxe max mhx x0 m0 当时 x0 xxx 11 hx1exe1x e 2 x2 x x0 x 11 x2x2 e1 2 x2 x x 1 x e2 2 x 故 x 1 hx1x e0 2 x 即在区间上单调递减 故 x h xxxe 0 max h xh 00 m0 即实数 m 的取值范围为 0 解法一 函数和的偏差为 yf x yg x ln x F xex 0 x 设为的解 则当 1 x F xe x 0 xx 1 0 x F xe x 0 0 xx 0F x 当 在单调递减 在单调递增 0 xx 0F x F x 0 0 x 0 x 故 1 10Fe 0 5 20Fe 0 1 1 2 x 又 故 0 0 1 0 x e x 0 min000 00 11 ln2 x Fxexxx xx 10 即函数和在其公共定义域内的所有偏差都大于 yf x yg x 2 解法二 由于函数和的偏差 yf x yg x x F xf xg xelnx x0 令 令 x 1 F xex x0 2 Fxxlnx x0 在单调递增 在单调 x 1 Fxe1 2 11x Fx1 xx 1 F x 0 2 Fx 0 1 递减 在单调递增 1 11 F xF 01 22 FxF 11 x 12 F xelnxF xFx2 即函数和在其其公共定义域内的所有偏差都大于 2 yf x yg x 22 证明 连结 CEPCPBPA 2 10 PA5 PB 20 PC15 BC 又 与 相切于点 PA OAACPPAB PAB PCA 2 1 PA PB AC