广东省东莞市2008年高中数学竞赛决赛试题新人教A版

1 20082008 年东莞市高中数学竞赛决赛试题年东莞市高中数学竞赛决赛试题 一 选择题 本大题共 6 小题 每小题 6 分 共 36 分 每小题各有四个选择支 仅有一个 选择支正确 请把正确选择支号填在答题表的相应位置 1 若集合 cbaM 中的元素是ABC 的三边长 则ABC 一定不是 A 锐角三角形B 直角三角形C 钝角三角形D 等腰三角形 2 设k 100cos 则 80tan A k k 2 1 B k k 2 1 C k k 2 1 D 2 1k k 3 如图 一个空间几何体的正视图 左视图 俯视图均为全等的等腰直角三角形 如果直 角三角形的直角边长都为 1 那么这个几何体的体积为 A 6 1 B 3 1 C 2 1 D 1 4 若A B两点分别在圆04484048166 2222 yxyxyxyx和上运 动 则 AB的最大值为 A 13 B 19 C 32 D 38 5 设 21 x x是函数 2008xf x 定义域内的两个变量 且 21 xx 若 2 1 21 xxa 那 么 下列不等式恒成立的是 A 21 afxfxfaf B 2 21 afxfxf C 21 afxfxfaf D 21 afxfxfaf 6 已知函数 5 n cos Nnnf 则 43 32 21 10 2008 2 1 ffff fff A 1 B 0 C 1 D 4 二 填空题 本大题共6 小题 每小题6 分 共36 分 请把答案填在答题卡相应题的横线 正视图左视图俯视图 2 上 7 右图的发生器对于任意函数 xf Dx 可制造出一 系列的数据 其工作原理如下 若输入数据Dx 0 则发生器结束工作 若输入数据Dx 0 时 则发生 器输出 1 x 其中 01 xfx 并将 1 x反馈回输入端 现 定义 12 xxf 50 0 D 若输入1 0 x 那么 当发生器结束工作时 输出数据的总个数为 8 若点 1 1 到直线2sincos yx的距离为d 则d的最大值是 9 从 0 1 之间选出两个数 这两个数的平方和小于 0 25 的概率是 10 函数 2 1 2 yxx 1 nnx 其中n为正整数 的值域中共有 2008 个整数 则 正整数 n 11 把 1 2 3 100 这 100 个自然数任意分成 10 组 每组 10 个数 将每组中最大的 数取出来 所得 10 个数的和记为S 若S的最大值为M 最小值为N 则 NM 12 设集合 2 2 xxxA 2 xxB 其中符号 x表示不大于 x 的最大整数 则 BA 三 解答题 本大题共 6 小题 共 78 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 13 本小题满分 12 分 已知向量 tan1 tan1 xxAB 4 sin 4 sin xxAC 1 求证 BAC 为直角 2 若 4 4 x 求ABC 的边BC的长度的取值范围 10 xx 否 结束 第 7 题图 输出 1 x 是 01 xfx Dx 0 输入 0 x 3 14 本小题满分 12 分 已知函数1 2 2 xaaxxf 若a为整数 且函数 f x在 2 1 内恰有一个零 点 求a的值 15 本小题满分 12 分 设A B是函数xy 2 log 图象上两点 其横坐标分别为a和4 a 直线 2 axl与函数xy 2 log 的图象交于点C 与直线AB交于点D 1 求点D的坐标 2 当ABC 的面积大于 1 时 求实数a的取值范围 4 16 本小题满分 14 分 如图 在正方体 1111 DCBAABCD 中 E F分别 为棱AD AB的中点 1 求证 EF 平面 11D CB 2 求证 平面 11C CAA 平面 11D CB 3 如果1 AB 一个动点从点F出发在正方体的 表面上依次经过棱 1 BB 11C B 11D C DD1 DA上的点 最终又回到点F 指 出整个路线长度的最小值并说明理由 17 本小题满分 14 分 已知以点 0 2 tRt t tC为圆心的圆与x轴交于AO 两点 与y轴交于O B 两点 其中O为坐标原点 1 求证 OAB 的面积为定值 2 设直线42 xy与圆C交于点NM 若 ONOM 求圆C的方程 A B C D A1 B1 C1 D1 E F 5 18 本小题满分 14 分 对于函数 f x 若 f xx 则称x为 f x的 不动点 若 f fxx 则称 x为 f x的 稳定点 函数的 不动点 和 稳定点 的集合分别记为A和B 即 Ax fxx Bx ffxx 1 求证 AB 2 若 2 1 fxaxaR xR 且AB 求实数a的取值范围 3 若 f x是R上的单调递增函数 0 x是函数的稳定点 问 0 x是函数的不动点吗 若是 请证明你的结论 若不是 请说明的理由 2008 年东莞市高中数学竞赛决赛 参 考 答 案 一 选择题 D B A C D C 二 填空题 7 5 8 22 9 16 10 1003 11 1505 12 3 1 三 解答题 13 1 证明 因为 4 sin tan1 4 sin tan1 xxxxACAB 2 cossincossin sincos sincos 2coscos xxxx xxxx xx 0 4 分 所以ACAB 即 90BAC 5 分 所以ABC 是直角三角形 6 分 2 解 1 4 sin 4 sin 22 xxAC 因为ABC 是直角三角形 且ACAB 所以xACABBC 2222 tan23 9 分 6 又因为 4 4 x 1tan0 2 x 所以5 3 BC 所以 BC长度的取值范围是 5 3 12 分 14 解 1 0 a时 令012 xxf得 2 1 x 所以 f x在 2 1 内没有零点 2 分 2 0 a时 由 2 2 1 f xaxax 044 2 22 aaa恒成立 知1 2 2 xaaxxf必有两个零点 5 分 若0 2 f 解得Za 6 5 若0 1 f 解得Za 2 3 所以0 1 2 ff 7 分 又因为函数 f x在 2 1 内恰有一个零点 所以 2 1 0ff 即 65 23 0aa 10 分 解得 35 26 a 由 1aZa 综上所述 所求整数a的值为1 12 分 15 解 1 易知 D 为线段 AB 的中点 因 log 2 a aA log 4 4 2 a aB 所以由中点公式得 log 2 4 2 aa aD 2 分 2 连接 AB AB 与直线2 axl交于点 D D 点的纵坐标为 4 log log 2 1 22 aayD 4 分 所以 BCDACDABC SSS 22 2 1 CD 2 CD 7 4 log log 2 1 2 log2 222 aaa log2 4 2 2 aa a 8 分 由 S ABC log2 4 2 2 aa a 1 得2220 a 10 分 因此 实数 a 的取值范围是2220 a 12 分 16 1 证明 连结BD 在正方体 1 AC中 对角线 11 BDB D 又 E F 为棱 AD AB 的中点 EFBD 11 EFB D 2 分 又 B1D1平面 11 CB D EF 平面 11 CB D EF 平面 CB1D1 4 分 2 证明 在正方体 1 AC中 AA1 平面 A1B1C1D1 而 B1D1平面 A1B1C1D1 AA1 B1D1 又 在正方形 A1B1C1D1中 A1C1 B1D1 B1D1 平面 CAA1C1 6 分 又 B1D1平面 CB1D1 平面 CAA1C1 平面 CB1D1 8 分 3 最小值为 3 2 10 分 如图 将正方体六个面展开成平面图形 12 分 从图中 F 到 F 两点之间线段最短 而且依次经过棱 BB1 B1C1 C1D1 D1D DA 上的 中点 所求的最小值为 3 2 14 分 17 解 1 OC过原点圆 2 22 4 t tOC F F 8 设圆C的方程是 2 222 4 2 t t t ytx 令0 x 得 t yy 4 0 21 令0 y 得txx2 0 21 2 分 4 2 4 2 1 2 1 t t OBOAS OAB 即 OAB 的面积为定值 4 分 2 CNCMONOM OC 垂直平分线段MN 2 1 2 ocMN kk 直线OC的方程是xy 2 1 6 分 t t2 12 解得 22 tt或 8 分 当2 t时 圆心C的坐标为 1 2 5 OC 此时C到直线42 xy的距离5 5 1 d 圆C与直线42 xy相交于两点 10 分 当2 t时 圆心C的坐标为 1 2 5 OC 此时C到直线42 xy的距离5 5 9 d 圆C与直线42 xy不相交 2 t不符合题意舍去 13 分 圆C的方程为5 1 2 22 yx 14 分 18 解 1 若A 则AB 显然成立 若A 设tA 则 f tt ff tf tt tB 故AB 4 分 2 2 1Aaxx 有实根 1 4 a 又AB 所以 2 2 11a axx 即 3422 210a xa xxa 的左边有因式 2 1axx 从而有 222 110axxa xaxa 6 分 AB 22 10a xaxa 要么没有实根 要么实根是方程 2 10axx 的根 若 9 22 10a xaxa 没有实根 则 3 4 a 若 22 10a xaxa 有实根且实根是方程 2 10axx 的根 则由方程 2 10axx 得 22 a xaxa 代入 22 10a xaxa 有210ax 由