整式的乘除知识点梳理

1 整整 式式 的的 乘乘 除除 知识点归纳 回顾 代数式 1 单项式的概念 由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式单项式 单项式的数字因数叫做单项式的系数系数 所有字母指数和叫单项式的次数次数 次数如何判断 次数如何判断 如 的 系数为 次数为 4 单独的一个非零数的次数是 0 bca 2 2 2 单独的数字或字母也称单项式 2 多项式的概念 几个单项式的和叫做多项式 多项式中每个单项式叫多项式的项 次数最高项的次数叫多项式的次数 次数如何判断 次数如何判断 二次项 一次项二次项 一次项 判断根据 判断根据 如 项有 1 二次项为 一次项为 12 2 xaba 2 aab2 x 2 aab2 x 常数项为 1 各项次数分别为 2 2 1 0 系数分别为 1 2 1 1 叫二次四项式 3 整式 单项式和多项式统称整式 代数式分类总结代数式分类总结 2 注意 凡分母含有字母代数式都不是整式 也不是单项式和多项式 4 多项式按字母的升 降 幂排列 如 122 3223 yxyyxx 按的升幂排列 x 3223 221xyxxyy 按的降幂排列 x122 3223 yxyyxx 5 同底数幂的乘法法则 什么是同底数幂 3 同底数幂中的底数可以是具体的数字 也可以是单项式或多项式 但和不 是同底数幂 都是正整数 解释解释 nmnm aaa nm 结论 同底数幂相乘 底数不变 指数相加 注意底数可以是多项式或单项式 如 532 bababa 1 填空 1 m a 叫做a的 m 次幂 其中 a 叫幂的 m 叫幂的 2 写出一个以幂的形式表示的数 使它的底数为 c 指数为 3 这个数为 3 4 2 表示 4 2 表示 4 根据乘方的意义 3 a 4 a 因此 43 aa 2 计算 1 64 aa 2 5 bb 3 32 mmm 4 953 cccc 5 pnm aaa 6 12m tt 7 qqn 1 8 112pp nnn 3 计算 1 23 bb 2 3 aa 3 32 yy 4 43 aa 5 24 33 6 67 5 5 4 7 32 qq n 8 24 mm 9 3 2 10 54 2 2 11 69 bb 12 33 aa 4 下面的计算对不对 如果不对 应怎样改正 1 523 632 2 633 aaa 3 nnn yyy 2 2 4 22 mmm 5 422 aaa 6 1243 aaa 7 33 4 4 8 632 7777 9 32 nnn 5 选择题 1 22 m a 可以写成 A 1 2 m a B 22 aa m C 22 aa m D 12 m aa 2 下列式子正确的是 A 4334 B 44 3 3 C 44 33 D 34 43 3 下列计算正确的是 A 44 aaa B 844 aaa C 444 2aaa D 1644 aaa 6 幂的乘方法则 都是正整数 解释解释 mnnm aa nm 5 结论 幂的乘方 底数不变 指数相乘 如 1025 3 3 幂的乘方法则可以逆用 即 mnnmmn aaa 如 已知 23 a 326 b 求 310 2 ab 的值 23326 4 4 4 7 积的乘方法则 是正整数 解释解释 nnn baab n 结论 积的乘方 等于各因数乘方的积 如 523 2zyx 51015552535 32 2 zyxzyx 8 同底数幂的除法法则 都是正整数 且解释解释 nmnm aaa nma 0 nm 结论 同底数幂相除 底数不变 指数相减 如 3334 baababab 1 22 1 3 ab c 23 naa 2 52 37 pqpq 23 4 nnnn a b 3 3 214 aaa 4 2 3222 3 aaa 6 5 221 nn x yxy 6 100100 1 3 3 2 20042003 1 7 若 2 3 nn xy 则 nxy 23 nx y 8 若 43 12882n 则 n 二 选择题 9 若 a 为有理数 则 3 2 a 的值为 A 有理数 B 正数 C 零或负数 D 正数或零 10 若 3 3 0ab 则 a 与 b 的关系是 A 异号 B 同号 C 都不为零 D 关系不确定 11 计算 82 33 2 ppp 的结果是 A 20 p B 20 p C 18 p D 18 p 12 4 4 xy A 16 xy B 4 xy C 16 x y D 2 2 x y 13 下列命题中 正确的有 33 m nm n xx m 为正奇数时 一定有等式 4 4 mm 成立 等式 2 2 mm 无论 m 为何值时都不成立 三个等式 2 363 26236 aaaaaa 都不成立 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 14 已知 x 1 y 1 2 则 20 332 xx y 的值等于 A 3 4 或 5 4 B 3 4或 5 4 C 3 4 D 5 4 7 15 已知 554433 2 3 4abc 则 a b c 的大小关系是 A b c a B a b c C c a b D a b c 16 计算 62 0 25 32 等于 A 1 4 B 1 4 C 1 D 1 三 解答题 17 计算 1 4224223322 xxx xxxxx 2 31 231 2 1 4 4 nmn abab 3 211 216 8 4 8 mmmm m 为正整数 18 已知10 5 106 ab 求 1 23 1010 ab 的值 2 23 10 ab 的值 8 19 比较 100 2 与 75 3 的大小 20 已知 33 3 2 mn ab 求 233242 mnmnmn ababab 的值 21 若 a 3 b 25 则 19991999 ab 的末位数是多少 9 零指数和负指数 1 0 a 任何不等于零的数的零次方等于 1 是正整数 p p a a 1 pa 0 一个不等于零的数的次方等于这个数的次方的倒数 p p 如 8 1 2 1 2 33 9 10 科学记数法 如 0 7 21 第一个不为零的数前面有几个零就是负几次方 6 10 11 单项式的乘法法则 单项式与单项式相乘 把他们的系数 相同字母分别相乘 对于只在一个单项式里 含有的字母 则连同它的指数作为积的一个因式 注意 积的系数等于各因式系数的积 先确定符号 再计算绝对值 相同字母相乘 运用同底数幂的乘法法则 一个单项式里含有的字母 则连同它的指数作为积的一个因式 单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用 单项式乘以单项式 结果仍是一个单项式 如 xyzyx32 32 12 单项式乘以多项式 单项式乘以多项式 就是用单项式去乘多项式的每一项 再把所得的积相加 即 都是单项式 mcmbmacbam cbam 注意 积是一个多项式 其项数与多项式的项数相同 运算时要注意积的符号 多项式的每一项都包括它前面的符号 在混合运算时 要注意运算顺序 结果有同类项的要合并同类项 如 3 32 2yxyyxx 10 13 多项式与多项式相乘的法则 多项式与多项式相乘 先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项 再把所的 的积相加 如 6 5 2 3 23 1 xxbaba 14 平方差公式 22 bababa 注意平方差公式展开只有两项 公式特征 左边是两个二项式相乘 并且这两个二项式中有一项完全相同 另一项 互为相反数 右边是相同项的平方减去相反项的平方 如 a b 1 a b 1 计算 2x y z 5 2x y z 5 15 完全平方公式 222 2 bababa 公式特征 左边是一个二项式的完全平方 右边有三项 其中有两项是左边二项式 中每一项的平方 而另一项是左边二项式中两项乘积的 2 倍 注意 abbaabbaba2 2 2222 abbaba4 22 222 bababa 11 222 bababa 完全平方公式的口诀 首平方 尾平方 加上首尾乘积的 2 倍 如 试说明不论 x y 取何值 代数式的值总是正数 22 6415xyxy 已知 求与的值 2 16 4 abab 22 3 ab 2 ab 16 三项式的完全平方公式 bcacabcbacba222 2222 17 单项式的除法法则 单项式相除 把系数 同底数幂分别相除 作为商的因式 对于只在被除式里含有 的字母 则连同它的指数作为商的一个因式 注意 首先确定结果的系数 即系数相除 然后同底数幂相除 如果只在被除式 里含有的字母 则连同它的指数作为商的一个因式 如 bamba 242 497 18 多项式除以单项式的法则 多项式除以单项式 先把这个多项式的每一项除以这个单项式 在把所的的商相加 即 cbamcmmbmmammcmbmam 12 方法总结 方法总结 乘法与除法互为逆运算 乘法与除法互为逆运算 被除式被除式 除式除式 商式商式 余式余式 例如 已知一个多项式除以多项式所得的商式是 余式是 2 43aa 21a 28a 求这个多项式 单项式与多项式的乘法复习题 1 若的展开式中项的系数为 2 则的值为 2 121xxax 2 xa 2 若化简后的结果中不含有的一次项 则的值为 2 1xkx xk 3 若 分别是关于的 7 次多项式与 5 次多项式 则 MNxMN A 一定是 12 次多项式 B 一定是 35 次多项式 C 一定是不高于 11 次的多项式 D 无法确定 4 多项式能被整除 那么的值为 22 32xknk 1x k 5 若等式成立 则的值为 2 3557xmxxx m 6 已知 求的值 20ab 33 248aab abb 7 已知 求的值 2 10mm 32 22014mm 13 8 已知 求的值 2 210 xx 32 2342xxx 9 已知 求代数式的值 22 46xayxbyxxyy 32abab 10 若的乘积中不含和项 求和的值 22 33xnxxxm 2 x 3 xmn 怎样熟练运用公式 一 明确公式的结构特征 这是正确运用公式的前提 1 如平方差公式的结构特征是 符号左边是两个二项式 相乘 且在这四项中有两项完全相同 另两项是互为相反数 等号右边是乘式中两项的 平方差 且是相同项的平方减去相反项的平方 明确了公式的结构特征就能在各种情况 下正确运用公式 二 理解字母的广泛含义 乘法公式中的字母a b可以是具体的数 也可以是单项式或多项式 理解了字母 含义的广泛性 就能在更广泛的范围内正确运用公式 如计算 x 2y 3z 2 若视 x 2y为公式中的a 3z为b 则就可用 a b 2 a2 2ab b2来解了 14 三 熟悉常见的几种变化 有些题目往往与公式的标准形式不相一致或不能直接用公式计算 此时要根据公式 特征 合理调整变化 使其满足公式特点 常见的几种变化是 1 位置变化 如 3x 5y 5y 3x 交换 3x和 5y的位置后即可用平方差公式计 算了 2 符号变化 如 2m 7n 2m 7n 变为 2m 7n 2m 7n 后就可用平方 差公式求解了 思考 不变或不这样变 可以吗 3 数字变化 如 98 102 992 912等分别变为 100 2 100 2 100 1 2 90 1 2后就能够用乘法公式加以解答了 4 系数变化 如 4m 2m 变为 2 2m 2m 后即可用平方差公 2 n 4 n 4 n 4 n 式进行计算了 5 项数变化 如 x 3y 2z x 3y 6z 变为 x 3y 4z 2z x 3y 4z 2z 后 再适当分组就可以用乘法公式来解了 四 注意公式的灵活运用 有些题目往往可用不同的公式来解 此时要