小学奥数-几何五大模型(燕尾模型)

page 1 of 18 例题精讲例题精讲 燕尾定理 燕尾定理 在三角形在三角形中 中 相交于同一点相交于同一点 ABCADBECFO 那么 那么 ABOACO SSBD DC O F E D CB A 上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段 因为和的形状很象燕子的尾巴 所ABO ACO 以这个定理被称为燕尾定理 该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用 它的特殊性在于 它可以存在于 任何一个三角形之中 为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径 通过一道例题通过一道例题 证明燕尾定理证明燕尾定理 如右图 如右图 是是上任意一点 请你说明 上任意一点 请你说明 DBC 1423 SSSSBD DC S3 S1S4 S2 E D C B A 解析 三角形与三角形同高 分别以 为底 所以有 BEDCEDBDDC 14 SSBD DC 三角形与三角形同高 ABEEBD 12 SSED EA 三角形与三角形同高 所以 ACECED 43 SSED EA 1423 SSSS 综上可得 1423 SSSSBD DC 燕尾定理燕尾定理 page 2 of 18 例例 1 20092009 年第七届希望杯五年级一试试题 如图 三角形年第七届希望杯五年级一试试题 如图 三角形的面积是的面积是 是是的中点 点的中点 点ABC1EAC 在在上 且上 且 与与交于点交于点 则四边形 则四边形的面积等于的面积等于 DBC 1 2BD DC ADBEFDFEC F E D C B A 3 3 3 21 F E D C B A A BC D E FF E D CB A 解析 方法一 连接 CF 根据燕尾定理 1 2 ABF ACF SBD SDC 1 ABF CBF SAE SEC 设份 则份 份 份 如图所标1 BDF S 2 DCF S 3 ABF S 3 AEFEFC SS 所以 55 1212 DCEFABC SS 方法二 连接 由题目条件可得到 DE 11 33 ABDABC SS 所以 1121 2233 ADEADCABC SSS 1 1 ABD ADE SBF FES 1111111 22323212 DEFDEBBECABC SSSS 而 所以则四边形的面积等于 211 323 CDEABC SS DFEC 5 12 巩固巩固 如图 已知如图 已知 三角形 三角形的面积是的面积是 求阴影部分面积 求阴影部分面积 BDDC 2ECAE ABC30 D E F CB A D E F CB A D E F CB A 解析 题中条件只有三角形面积给出具体数值 其他条件给出的实际上是比例的关系 由此我们可以初步 判断这道题不应该通过面积公式求面积 又因为阴影部分是一个不规则四边形 所以我们需要对它 进行改造 那么我们需要连一条辅助线 法一 连接 因为 三角形的面积是 30 CFBDDC 2ECAE ABC 所以 1 10 3 ABEABC SS 1 15 2 ABDABC SS 根据燕尾定理 1 2 ABF CBF SAE SEC 1 ABF ACF SBD SCD 所以 1 7 5 4 ABFABC SS 157 57 5 BFD S 所以阴影部分面积是 30107 512 5 法二 连接 由题目条件可得到 DE 1 10 3 ABEABC SS 所以 112 10 223 BDEBECABC SSS 1 1 ABE BDE SAF FDS page 3 of 18 111111 2 5 223232 DEFDEAADCABC SSSS 而 所以阴影部分的面积为 21 10 32 CDEABC SS 12 5 巩固巩固 如图 三角形如图 三角形的面积是的面积是 在在上上 点 点在在上 且上 且 ABC 2 200 cmEACDBC 3 5AE EC 与与 交于点交于点 则四边形 则四边形的面积等于的面积等于 2 3BD DC ADBEFDFEC F E D C B A A BC D E FF E D CB A 解析 连接 CF 根据燕尾定理 26 39 ABF ACF SBD SDC 36 510 ABF CBF SAE SEC 设份 则份 份 份 份 6 ABF S 9 ACF S 10 BCF S 545 9 358 EFC S 3 106 23 CDF S 所以 2 4545 200 6910 6 8 6 93 cm 88 DCFE S 巩固巩固 如图 已知如图 已知 与与相交于点相交于点 则则被分成的被分成的部分面积各占部分面积各占3BDDC 2ECAE BECDOABC 4 面积的几分之几 面积的几分之几 ABC O E D CB A 13 5 4 5 9 2 1 1 2 13 O E D CB A 解析 连接 设份 则其他部分的面积如图所示 所以份 所以四部CO1 AEO S 1291830 ABC S 分按从小到大各占面积的ABC 124 51393 13 59 303060 30103020 巩固巩固 年香港圣公会数学竞赛年香港圣公会数学竞赛 如图所示 在如图所示 在中 中 与与相交相交2007ABC 1 2 CPCB 1 3 CQCA BQAP 于点于点 若 若的面积为的面积为 则 则的面积等于的面积等于 XABC 6ABX X Q P AB C X Q P AB C 4 4 1 1 X Q P C B A 解析 方法一 连接 PQ 由于 所以 1 2 CPCB 1 3 CQCA 2 3 ABQABC SS AA 11 26 BPQBCQABC SSS AAA 由蝴蝶定理知 21 4 1 36 ABQBPQABCABC AXXPSSSS AAAA page 4 of 18 所以 44122 62 4 55255 ABXABPABCABC SSSS AAAA 方法二 连接设份 根据燕尾定理标出其他部分面积 CX1 CPX S 所以6 1 144 42 4 ABX S 巩固巩固 如图 三角形如图 三角形的面积是的面积是 与与相交于点相交于点 请写出这 请写出这部分部分ABC12BDDC 2CEAE ADBEF4 的面积各是多少的面积各是多少 A B C D E F 48 6 2 1 A B C D E F 解析 连接 设份 则其他几部分面积可以有燕尾定理标出如图所示 所以 CF1 AEF S 1 21 AEF S 62 217 ABF S 8 21 BDF S 242 217 FDCE S 巩固巩固 如图 如图 在在上 上 在在上 且上 且 与与交于点交于点 四边形 四边形EACDBC 2 3AE EC 1 2BD DC ADBEF 的面积等于的面积等于 则三角形 则三角形的面积的面积 DFEC 2 22 cmABC A B C D E F A B C D E F 2 4 1 6 2 A B C D E F 1 2 解析 连接 根据燕尾定理 CF 1 2 ABF ACF SBD SDC 2 3 ABF CBF SAE SEC 设份 则份 份 份 份 1 BDF S 2 DCF S 2 ABF S 4 AFC S 2 41 6 23 AEF S 份 如图所标 所以份 份 3 42 4 23 EFC S 22 44 4 EFDC S 2349 ABC S 所以 2 224 4945 cm ABC S 巩固巩固 三角形三角形中 中 是直角 已知是直角 已知 那么三角形 那么三角形 阴影阴影ABCC2AC 2CD 3CB AMBM AMN 部分部分 的面积为多少 的面积为多少 A BC D M N A BC D M N 解析 连接 BN 的面积为ABC 3223 根据燕尾定理 2 1ACNABNCD BD page 5 of 18 同理 1 1CBNCANBMAM 设面积为 1 份 则的面积也是 1 份 所以的面积是份 而的AMN MNB ANB 1 12 ACN 面积就是份 也是 4 份 这样的面积为份 所以的224 CBN ABC 441 110 AMN 面积为 3 10 10 3 巩固巩固 如图 长方形如图 长方形的面积是的面积是平方厘米 平方厘米 是是的中点 阴影部分的面积是多少的中点 阴影部分的面积是多少ABCD22ECDE FDG 平方厘米平方厘米 x y y x A BC D EF G G FE D CB A 33 G F E D CB A 2 1 3 解析 设份 则根据燕尾定理其他面积如图所示平方厘米 1 DEF S 55 1212 BCD SS 阴影 例例 2 如图所示 在四边形如图所示 在四边形中 中 四边形 四边形的面积是的面积是 那么平行四 那么平行四ABCD3ABBE 3ADAF AEOF12 边形边形的面积为的面积为 BODC O F ED C B A 6 8 4 6 2 1 O F ED C B A 解析 连接 根据燕尾定理 设 AO BD 1 2 ABOBDO SSAF FD 2 1 AODBOD SSAE BE 1 BEO S 则其他图形面积 如图所标 所以 22 1224 BODCAEOF SS 例例 3 是边长为是边长为厘米的正方形 厘米的正方形 分别是分别是 边的中点 边的中点 与与交于交于 则四边 则四边ABCD12EFABBCAFCEG 形形的面积是的面积是 平方厘米 平方厘米 AGCD G F E DC B A G F E DC B A 解析 连接 设份 根据燕尾定理得份 份 则ACGB1 AGC S 1 AGB S 1 BGC S 份 份 所以1 1 126S 形形形 形形314 ADCG S 22 126496 cm ADCG S 例例 4 如图 正方形如图 正方形的面积是的面积是平方厘米 平方厘米 是是的中点 的中点 是是的中点 四边形的中点 四边形 的的ABCD120EABFBCBGHF 面积是面积是 平方厘米 平方厘米 page 6 of 18 H G F E D CB A H G F E D CB A 解析 连接 根据沙漏模型得 设份 根据燕尾定理份 份 BH 1 2BG GD 1 BHC S 2 CHD S 2 BHD S 因此份 所以 平方厘米 122 210S 形形形 形 127 236 BFHG S 7 1201014 6 BFHG S 例例 5 如图所示 在如图所示 在中 中 是是的中点 那么的中点 那么 ABC 3 1BE EC DAE AF FC F E D CB A F E D CB A 解析 连接 CD 由于 所以 1 1 ABDBED SS 3 4 BEDBCD SS 3 4 ABDBCD SS 根据燕尾定理 3 4 ABDBCD AF FCSS 巩固巩固 在在中 中 求 求 ABC 3 2BD DC 3 1AE EC OB OE A BCD E O A BCD E O 解析 连接 OC 因为 根据燕尾定理 即 3 2BD DC 3 2 AOBAOC SSBD BC 3 2 AOBAOC SS 又 所以 则 3 1AE EC 4 3 AOCAOE SS 334 2 223 AOBAOCAOEAOE SSSS 所以 2 1 AOBAOE OB OESS 巩固巩固 在在中 中 求 求 ABC 2 1BD DC 1 3AE EC OB OE A BCD E O page 7 of 18 解析 题目求的是边的比值 一般来说可以通过分别求出每条边的值再作比值 也可以通过三角形的面积 比来做桥梁 但题目没告诉我们边的长度 所以应该通过面积比而得到边长的比 本题的图形一看 就联想到燕尾定理 但两个燕尾似乎少了一个 因此应该补全 所以第一步要连接 OC 连接 OC A BCD E O 因为 根据燕尾定理 即 2 1BD DC 2 1 AOBAOC SSBD BC 2 AOBAOC SS 又 所以 则 1 3AE EC 4 AOCAOE SS 2248 AOBAOCAOEAOE SSSS 所以 8 1 AOBAOE OB OESS 例例 6 2009 年清华附中入学测试题 如图 四边形年清华附中入学测试题 如图 四边形是矩形 是矩形 分别是分别是 上的点 且上的点 且ABCDEFABBC 与与相交于相交于 若矩形 若矩形的面积为的面积为 则 则与与的的 1 3 AEAB 1 4 CFBC AFCEGABCD120AEG CGF 面积之和为面积之和为 A B C D E F G H A B C D E F G A B C D E F G 解析 法 1 如图 过做的平行线交于 则 FCEABH 1 3EH HBCF FB 所以 即 1 2 2 AEEBEH 2AG GFAE EH 2AGGF 所以 12231 10 33942 AEGABFABCD SSS A 且 故 则 2231 3342 EGHFECEC CGGE 1 15 2 CGFAEG SS 所以两三角形面积之和为 10515 法 2 如上右图 连接 ACBG 根据燕尾定理 3 1 ABGACG SSBF CF 2 1 BCGACG SSBE AE 而 1 60 2 ABCABCD SS A 所以 3 321 ABG S 1 6030 2 ABC S 2 321 BCG S 1 6020 3 ABC S 则 1 10 3 AEGABG SS 1 5 4 CFGBCG SS 所以两个三角形的面积之和为 15 例例 7 如右图 三角形如右图 三角形中 中 求 求 ABC 4 9BD DC 4 3CE EA AF FB page 8 of 18 OF E D CB A 解析 根据燕尾定理得 4 912 27 AOBAOC SSBD CD 3 412 16 AOBBOC SSAE CE 都有的面积要统一 所以找最小公倍数 AOB 所以 27 16 AOCBOC SSAF FB 点评 本题关键是把的面积统一 这种找最小公倍数的方法 在我们用比例解题中屡见不鲜 如AOB 果能掌握它的转化本质 我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量 巩固巩固 如右图 三角形如右图 三角形中 中 求 求 ABC 3 4BD DC 5 6AE CE AF FB OF E D CB A 解析 根据燕尾定理得 3 415 20 AOBAOC SSBD CD 5 615 18 AOBBOC SSAE CE 都有的面积要统一 所以找最小公倍数 AOB 所以 20 1810 9 AOCBOC SSAF FB 巩固巩固 如图 如图 则则 2 3BD DC 5 3AE CE AF BF GF E D C B A 解析 根据燕尾定理有 所以 2 310 15 ABGACG SS 5 310 6 ABGBCG SS 15 65 2 ACGBCG SSAF BF 巩固巩固 如右图 三角形如右图 三角形中 中 求 求 ABC 2 3BD DC 5 4EA CE AF FB OF E D CB A 解析 根据燕尾定理得 2 310 15 AOBAOC SSBD CD 5 410 8 AOBBOC SSAE CE 都有的面积要统一 所以找最小公倍数 AOB 所以 15 8 AOCBOC SSAF FB page 9 of 18 点评 本题关键是把的面积统一 这种找最小公倍数的方法 在我们用比例解题中屡见不鲜 如AOB 果能掌握它的转化本质 我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量 例例 8 2008 2008 年年 学而思杯学而思杯 六年级数学试题六年级数学试题 如右图 三角形如右图 三角形中 中 ABC 且三角形 且三角形的面积是的面积是 则三角形 则三角形的面积为的面积为 三 三 3 2AF FBBD DCCE AE ABC1ABE 角形角形的面积为的面积为 三角形 三角形的面积为的面积为 AGEGHI I H G F E D CB A I H G F E D CB A 分析 连接 AHBICG 由于 所以 故 3 2CE AE 2 5 AEAC 22 55 ABEABC SS 根据燕尾定理 所以 2 3 ACGABG SSCD BD 3 2 BCGABG SSCE EA 则 4 6 9 ACGABGBCG SSS 4 19 ACG S 9 19 BCG S 那么 2248 551995 AGEAGC SS 同样分析可得 则 所以 9 19 ACH S 4 9 ACGACH EG EHSS 4 19 ACGACB EG EBSS 同样分析可得 4 5 10EG GH HB 10 5 4AG GI ID 所以 5521 101055 BIEBAE SS 5511 1919519 GHIBIE SS 巩固巩固 如右图 三角形如右图 三角形中 中 且三角形 且三角形的面积是的面积是 求三角 求三角ABC 3 2AF FBBD DCCE AE GHI1 形形的面积 的面积 ABC I H G F E DC B A I H G F E DC B A 解析 连接 BG 份 AGC S 6 根据燕尾定理 3 26 4 AGCBGC SSAF FB 3 29 6 ABGAGC SSBD DC 得 份 份 则 份 因此 4 BGC S 9 ABG S 19 ABC S 6 19 AGC ABC S S 同理连接 AI CH 得 6 19 ABH ABC S S 6 19 BIC ABC S S 所以 196661 1919 GHI ABC S S 三角形 GHI 的面积是 1 所以三角形 ABC 的面积是 19 page 10 of 18 巩固巩固 2009 2009 年第七届年第七届 走进美妙的数学花园走进美妙的数学花园 初赛六年级初赛六年级 如图 如图 中中 ABC 2BDDA 2CEEB 那么 那么的面积是阴影三角形面积的的面积是阴影三角形面积的 倍 倍 2AFFC ABC A B C D E F G H I I H G F E D C B A 分析 如图 连接 AI 根据燕尾定理 2 1 BCIACI SSBD AD 1 2 BCIABI SSCF AF 所以 1 2 4 ACIBCIABI SSS 那么 22 1247 BCIABCABC SSS 同理可知和的面积也都等于面积的 所以阴影三角形的面积等于面积ACG ABH ABC 2 7 ABC 的 所以的面积是阴影三角形面积的 7 倍 21 13 77 ABC 巩固巩固 如图在如图在中 中 求求的值 的值 ABC 1 2 DCEAFB DBECFA GHI ABC 的面积 的面积 I H G F E D C B A I H G F E D C B A 解析 连接 BG 设1 份 根据燕尾定理 BGC S 2 1 AGCBGC SSAF FB 2 1 ABGAGC SSBD DC 得 份 份 则 份 因此 同理连接 AI CH 得2 AGC S 4 ABG S 7 ABC S 2 7 AGC ABC S S 2 7 ABH ABC S S 2 7 BIC ABC S S 所以 72221 77 GHI ABC S S 点评 如果任意一个三角形各边被分成的比是相同的 那么在同样的位置上的图形 虽然形状千变万化 但面积是相等的 这在这讲里面很多题目都是用 同理得到 的 即再重复一次解题思路 因此我 们有对称法作辅助线 巩固巩固 如图在如图在中 中 求求的值 的值 ABC 1 3 DCEAFB DBECFA GHI ABC 的面积 的面积 page 11 of 18 I H G F E D C B A I H G F E D C B A 解析 连接 BG 设1 份 根据燕尾定理 BGC S 3 1 AGCBGC SSAF FB 3 1 ABGAGC SSBD DC 得 份 份 则 份 因此 同理连接 AI CH 得3 AGC S 9 ABG S 13 ABC S 3 13 AGC ABC S S 13 ABH ABC S S 3 13 BIC ABC S S 所以 133334 1313 GHI ABC S S 巩固巩固 如右图 三角形如右图 三角形中 中 且三角形 且三角形的面积是的面积是 求角形 求角形ABC 4 3AF FBBD DCCE AE ABC74 的面积 的面积 GHI I H G F E DC B A I H G F E DC B A 解析 连接 BG 12 份 AGC S 根据燕尾定理 4 312 9 AGCBGC SSAF FB 4 316 12 ABGAGC SSBD DC 得 份 份 则 份 因此 9 BGC S 16 ABG S 9121637 ABC S 12 37 AGC ABC S S 同理连接 AI CH 得 12 37 ABH ABC S S 12 37 BIC ABC S S 所以 371212121 3737 GHI ABC S S 三角形 ABC 的面积是 所以三角形 GHI 的面积是74 1 742 37 例例 9 两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形 如图所示 两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形 如图所示 三个三角形的面积三个三角形的面积 分别是分别是 37 则阴影四边形的面积是多少 则阴影四边形的面积是多少 7 7 7 3 7 7 3 F E D CB A x 3 x 7 7 3 F E D CB A 解析 方法一 遇到没有标注字母的图形 我们第一步要做的就是给图形各点标注字母 方便后面的计算 再看这道题 出现两个面积相等且共底的三角形 设三角形为 和交于 则 再连结 ABCBECDFBFFE DE page 12 of 18 所以三角形的面积为 3 设三角形的面积为 DEFADEx 则 所以 四边形的面积为 33 10 10 xAD DBx 15x 18 方法二 设 根据燕尾定理 得到 再根据向右下 ADF Sx ABFBFCAFEEFC SSSS 3 AEF Sx 飞的燕子 有 解得四边形的面积为 37 7 3xx 7 5x 7 57 5318 巩固巩固 右图的大三角形被分成右图的大三角形被分成 5 5 个小三角形 其中个小三角形 其中 4 4 个的面积已经标在图中 那么 阴影三角形的面积是个的面积已经标在图中 那么 阴影三角形的面积是 4 3 2 1 解析 方法一 整个题目读完 我们没有发现任何与边长相关的条件 也没有任何与高或者垂直有关系的 字眼 由此 我们可以推断 这道题不能依靠三角形面积公式求解 我们发现右图三角形中存在一 个比例关系 解得 2 13 4S 阴影 2S 阴影 方法二 回顾下燕尾定理 有 解得 2 41 3S 阴影 2S 阴影 例例 10 如图 三角形如图 三角形被分成被分成个三角形 已知其中个三角形 已知其中个三角形的面积 问三角形个三角形的面积 问三角形的面积是的面积是ABC64ABC 多少多少 35 30 40 84 O F E DC B A 解析 设 由题意知根据燕尾定理 得 BOF Sx 4 3BD DC 所以 4 3 ABOACOBDOCDO SSSS 33 84 63 44 ACO Sxx 再根据 列方程解得 ABOBCOAOECOE SSSS 3 84 4030 6335 35 4 xx 56x 所以 35 5684 4030 AOE S 70 AOE S 所以三角形 ABC 的面积是844030355670315 例例 11 三角形三角形 ABC 的面积为的面积为 15 平方厘米 平方厘米 D 为为 AB 中点 中点 E 为为 AC 中点 中点 F 为为 BC 中点 求阴影部分中点 求阴影部分 的面积 的面积 F E D C B A N M F E D C B A 解析 令 BE 与 CD 的交点为 M CD 与 EF 的交点为 N 连接 AM BN 在中 根据燕尾定理 ABC 1 1 ABMBCM SSAE CE 1 1 ACMBCM SSAD BD page 13 of 18 所以 1 3 ABMACMBCNABC SSSS 由于S 所以 11 22 AEMAMCABM SSS 2 1BM ME 在中 根据燕尾定理 EBC 1 1 BENCEN SSBF CF 1 2 CENCBN SSME MB 设 份 则 份 份 份 1 CEN S 1 BEN S 2 BCN S 4 BCE S 所以 因为 F 为 BC 中点 11 24 BCNBCEABC SSS 11 48 BNEBCEABC SSS 2 1BM ME 所以 2211 33812 BMNBNEABCABC SSSS 1111 2248 BFNBNCABC SSS 所以 平方厘米 1155 153 125 1282424 ABCABC SSS 阴影 例例 12 如右图 如右图 中 中 是是的中点 的中点 是是边上的四等分点 边上的四等分点 与与交于交于ABC GACDEFBCADBG 与与交于交于 已知 已知的面积比四边形的面积比四边形的面积大的面积大平方厘米平方厘米 则则的的MAFBGNABM FCGN7 2ABC 面积是多少平方厘米 面积是多少平方厘米 N M G A B CDEF N M G A B CDEF 解析 连接 CMCN 根据燕尾定理 所以 1 1 ABMCBM SSAG GC 1 3 ABMACM SSBD CD 1 5 ABMABC SS 再根据燕尾定理 所以 所以 1 1 ABNCBN SSAG GC 4 3 ABNFBNCBNFBN SSSS 那么 所以 4 3AN NF 142 2437 ANG AFC S S 2515 1 77428 FCGNAFCABCABC SSSS 根据题意 有 可得 平方厘米 15 7 2 528 ABCABC SS 336 ABC S 巩固巩固 2007 2007 年四中分班考试题年四中分班考试题 如图 如图 中 点中 点是边是边的中点 点的中点 点 是边是边的三等分点 的三等分点 ABC DACEFBC 若若的面积为的面积为 1 1 那么四边形 那么四边形的面积是的面积是 ABC CDMF F A B C D E M N F A B C D E M N 解析 由于点是边的中点 点 是边的三等分点 如果能求出 三段的比 DACEFBCBNNMMD 那么所分成的六小块的面积都可以求出来 其中当然也包括四边形的面积 CDMF 连接 CMCN 根据燕尾定理 而 所以 那 2 1 ABMACM SSBF CF 2 ACMADM SS 24 ABMACMADM SSS 么 即 4BMDM 4 5 BMBD page 14 of 18 那么 4214 53215 BMFBCD BMBF SS BDBC 147 21530 CDMF S 四边形 另解 得出后 可得 24 ABMACMADM SSS 1111 55210 ADMABD SS 则 117 31030 ACFADMCDMF SSS 四边形 例例 13 如图 三角形如图 三角形的面积是的面积是 三角形 三角形被分成被分成部分 部分 ABC1BDDEEC CFFGGA ABC9 请写出这请写出这部分的面积各是多少部分的面积各是多少 9 G F EDC B A N M Q P G F E D C B A 解析 设 BG 与 AD 交于点 P BG 与 AE 交于点 Q BF 与 AD 交于点 M BF 与 AE 交于点 N 连接 CP CQ CM CN 根据燕尾定理 设 份 则 1 2 ABPCBP SSAG GC 1 2 ABPACP SSBD CD 1 ABP S 份 所以1225 ABC S 1 5 ABP S 同理可得 而 所以 2 7 ABQ S 1 2 ABN S 1 3 ABG S 213 7535 APQ S 121 3721 AQG S 同理 所以 3 35 BPM S 1 21 BDM S 1239 273570 PQMN S 四边形 1395 3357042 MNED S 四边形 1151 321426 NFCE S 四边形 1115 321642 GFNQ S 四边形 巩固巩固 如图 如图 的面积为的面积为 1 点 点 是是边的三等分点 点边的三等分点 点 是是边的三等分点 那么四边的三等分点 那么四ABC DEBCFGAC 边形边形的面积是多少 的面积是多少 JKIH K J I H AB C D E F G K J I H AB C D E F G 解析 连接 CKCICJ 根据燕尾定理 1 2 ACKABK SSCD BD 1 2 ABKCBK SSAG CG 所以 那么 1 2 4 ACKABKCBK SSS 11 1247 ACK S 11 321 AGKACK SS 类似分析可得 2 15 AGI S 又 可得 2 1 ABJCBJ SSAF CF 2 1 ABJACJ SSBD CD 1 4 ACJ S 那么 1117 42184 CGKJ S page 15 of 18 根据对称性 可知四边形的面积也为 那么四边形周围的图形的面积之和为CEHJ 17 84 JKIH 所以四边形的面积为 172161 22 8415370 CGKJAGIABE SSS JKIH 619 1 7070 例例 14 如右图 面积为如右图 面积为 的的中 中 1ABC 1 2 1BD DE EC 1 2 1CF FG GA 求阴影部分面积 求阴影部分面积 1 2 1AH HI IB I H G F ED CB A P N M A BC DE F G H I 解析 设交于 交于 交于 连接 IGHFMIGHDNDFEIPAM IF 3 4AI AB 3 4AF AC 9 16 AIFABC SS 2 FIMAMF SSIH HA 2 FIMAIM SSFG GA 19 464 AIMAIFABC SSS 1 3AHAI 3 64 AHMABC SS 1 4AHAB 3 4AF AC 3 16 AHFABC SS 同理 3 16 CFDBDHABC SSS 7 16 FDHABC SS 33 1 4 64 16 HM HF 3 4 3 4AI ABAF AC IFBC 又 3 4 1 2IF BCDE BC 2 3 2 3DE IFDP PF 同理 2 3HN ND 1 4HM HF 2 5HN HD 177 10160160 HMNHDFABC SSS 同理 个小阴影三角形的面积均为 6 7 160 阴影部分面积 721 6 16080 例例 15 如图 面积为如图 面积为 l 的三角形的三角形 ABC 中 中 D E F G H I 分别是分别是 AB BC CA 的三等分点的三等分点 求阴求阴 影部分面积影部分面积 I G H F E D CB A I N M Q P G H F E D CB A 解析 三角形在开会 那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧 page 16 of 18 令 BI 与 CD 的交点为 M AF 与 CD 的交点为 N BI 与 AF 的交点为 P BI 与 CE 的交点为 Q 连接 AM BN CP 求 在中 根据燕尾定理 ADMI S四边形ABC 1 2 ABMCBM SSAI CI 1 2 ACMCBM SSAD BD 设 份 则 份 份 份 1 ABM S 2 CBM S 1 ACM S 4 ABC S 所以 所以 1 4 ABMACMABC SSS 11 312 ADMABMABC SSS 1 12 AIMABC SS 所以 111 12126 ABCABCADMI SSS 四边形 同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是面积的ABC 1 6 求 在中 根据燕尾定理 DNPQE S五边形ABC 1 2 ABNACN SSBF CF 1 2 ACNBCN SSAD BD 所以 同理 1111 33721 ADNABNABCABC SSSS 1 21 BEQABC SS 在中 根据燕尾定理 ABC 1 2 ABPACP SSBF CF 1 2 ABPCBP SSAI CI 所以 1 5 ABPABC SS 所以 11111 52121105 ABPADNBEPABCABCDNPQE SSSSSS 五边形 同理另外两个五边形面积是面积的ABC 11 105 所以 11113 133 610570 S 阴影 例例 16 如图 面积为如图 面积为