江西省2013年高考数学第二轮复习 第3讲 解答题题型特点与技法指导 理

1 第第 3 3 讲讲 解答题题型特点与技法指导解答题题型特点与技法指导 高考解答题一般有六大方向 三角函数与平面向量 概率与统计 立体几何 数列与不 等式 解析几何 不等式与函数及导数 一般来说 前三题属于中 低档题 第四题属中档 偏难题 后两题属难题 三角函数与平面向量 概率与统计 立体几何在前三题中出现的概 率较高 掌握解这几类题的解法是大多数学生成功的关键 目前的高考解答题已经由单纯的 知识综合型转化为知识 方法和能力的综合型解答题 能否做好解答题 是高考成败的关 键 1 三角函数 有关三角函数的大题即解答题 主要是考查基础知识 基本技能和基本方法 且难度不 大 凸显恒等变换与三角函数图象 性质在三角形内考查 主要考查以下 4 个方面 三角 函数的图象 性质 图象变换 主要是y Asin x b的图象 性质及图象变换 考 查三角函数的概念 奇偶性 周期性 单调性 最值及图象的平移和对称等 三角恒等变 换 主要考查公式的灵活运用 变换能力 一般需要运用和差角公式 倍角公式 尤其是对 公式的应用与三角函数性质的综合考查 三角函数性质的应用 通过解三角形来考查三角 恒等变形及应用三角函数性质的综合能力 三角函数与平面向量 数列 不等式等知识的 综合问题 例 1 已知向量a a cos x sin x sin x b b cos x sin x 2cos x 设函数f x a a b b x R R 的图象关于直线x 对称 其中 3 为常数 且 1 2 1 1 求函数f x 的最小正周期 2 若y f x 的图象经过点 求函数f x 在区间上的取值范围 4 0 0 3 5 点评点评 利用向量的工具作用 与向量结合在一起命制综合题 体现了在知识交汇点处命 题的指导思想 这类问题求解时 首先利用向量的运算 将向量式转化为代数式 再进行有 关的三角恒等变换 再研究三角函数的图象与性质 变式训练变式训练 1 1 2012 安徽高考 理 16 设函数f x cos sin2x 2 2 2x 4 1 求f x 的最小正周期 2 设函数g x 对任意x R R 有g g x 且当x 时 g x x 2 0 2 f x 求g x 在区间 0 上的解析式 1 2 2 立体几何 立体几何是高中数学的主干知识之一 命题形式比较稳定 立体几何解答题主要分两类 一类是空间线面关系的判定和推理证明 主要是证明平行和垂直 求解这类问题要依据线面 关系的判定定理和性质定理进行推理论证 另一类是空间几何量 空间角 空间距离 几何 体体积与面积 的计算 求解这类问题 常用方法是依据公理 定理以及性质等经过推理论 证 作出所求几何量并求之 一般解题步骤是 作 证 求 对以上两类问题特别要加强空间向量法的训练 例 2 2012 河南豫东 豫北十校阶段性检测 18 如图 已知直角梯形ACDE所在的 平面垂直于平面ABC BAC ACD 90 EAC 60 AB AC AE 2 1 在直线BC上是否存在一点P 使得DP 平面EAB 请证明你的结论 2 求平面EBD与平面ABC所成的锐二面角 的余弦值 点评点评 线线平行 线面平行 面面平行的判定与证明是相互转化的 垂直也是如此 对 于二面角 一般有两种方法 几何法与向量法 一般倾向于用向量法 变式训练变式训练 2 2 2012 陕西西安二模 19 如图 FD垂直于矩形ABCD所在的平面 CE DF DEF 90 1 求证 BE 平面ADF 2 若矩形ABCD的一个边AB 3 EF 2 则另一边BC的长为何值时 平面BEF与平 3 面CDFE所成角的大小为 45 3 概率与统计 概率与统计问题的解答题是每年高考必考内容 主要考查古典概型 几何概型 等可能 事件的概率计算公式 互斥事件的概率加法公式 对立事件的概率减法公式 相互独立事件 的概率乘法公式 事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率计算公式等五个基本公式 的应用及离散型随机变量分布列和数学期望 方差等内容 例 3 2012 天津宝坻质检 16 某学科奥赛分为初赛 复赛 决赛三个阶段进行 若某选手通过初赛 复赛 决赛的概率分别是 且各阶段通过与否相互独立 2 3 1 3 1 4 1 求该选手在复赛阶段被淘汰的概率 2 设该选手在比赛中比赛的次数为 求 的分布列和数学期望 点评点评 概率计算的关键是概率模型的判断 各事件之间的关系是互斥还是相互独立等 解题的关键是对概念理解到位 求概率分布列的关键在于依据题意准确分析 计算随机变量 在各个取值下对应的概率 变式训练变式训练 3 3 山东省第 23 届运动会将于 2014 年在济宁隆重召开 为了搞好接待工作 组委会在某学院招募了 12 名男志愿者和 18 名女志愿者 调查发现 这 30 名志愿者的身高 如图 单位 cm 3 若身高在 175 cm 以上 包括 175 cm 定义为 高个子 身高在 175 cm 以下 不包括 175 cm 定义为 非高个子 且只有 女高个子 才能担任 礼仪小姐 1 如果用分层抽样的方法从 高个子 和 非高个子 中抽取 5 人 再从这 5 人中选 2 人 则至少有一人是 高个子 的概率是多少 2 若从所有 高个子 中选 3 名志愿者 用 表示所选志愿者中能担任 礼仪小姐 的人数 试写出 的分布列 并求 的数学期望 4 数列与不等式 高考中数列解答题的求解主要有以下几个特点 1 与等差 等比数列基本量有关的计算 可根据题意列方程 方程组 或利用等差 等 比数列的性质求解 2 与求和有关的题目 首先要求通项公式 并根据通项公式选择恰当的求和方法 如错 位相减法 裂项相消法 分组求和法等 3 含Sn的式子 要根据题目特征利用an Error 进行转化 4 与递推数列有关的问题 要能合理转化 使之构造出新的等差 等比数列 5 与数列有关的不等式问题 可根据数列的特征选择方法 如比较法 放缩法 数学归 纳法等 6 与函数有关的问题 应根据函数的性质求解 例 4 2012 四川成都二诊 20 已知数列 an 和 bn b1 1 且 bn 1 3bn 2n 2 记an bn 1 bn 1 n N N 1 证明 数列 an 为等比数列 2 求数列 an 和 bn 的通项公式 3 记cn logan3 logan 23 数列 cn 的前n项和为Tn 若 45Tk 29 k N N 恒成立 求k的最大值 点评点评 第 1 问考查了等比数列的证明 它是为第 2 3 问服务的 第 2 问考查了求 数列通项公式的常规方法 第 3 问考查了数列的求和方法 是数列与不等式知识的综合问 题 变式训练变式训练 4 4 2012 湖北八校二联 19 各项为正数的数列 an 的前n项和为Sn 且满 足 Sn a an n N N 1 4 2n 1 2 1 4 1 求an 2 设函数f n Error cn f 2n 4 n N N 求数列 cn 的前n项和Tn 5 解析几何 解析几何解答题主要考查圆锥曲线的基本概念 标准方程及几何性质等基础知识和处理 有关问题的基本技能 基本方法 往往以中档偏难题或以压轴题形式出现 主要考查学生的 逻辑推理能力 运算能力 考查学生综合运用数学知识解决问题的能力 突破解答题 应重 点研究直线与曲线的位置关系 要充分运用一元二次方程根的判别式和韦达定理 注意运用 设而不求 的思想方法 灵活运用 点差法 解题 要善于运用数形结合思想分析问题 使数与形相互转化 根据具体特征选择相应方法 例 5 已知椭圆 1 点P是椭圆上异于顶点的任意一点 过点P作椭圆的切线 x2 4 y2 3 l 交y轴于点A 直线l 过点P且垂直于l 交y轴于点B 试判断以AB为直径的圆能否 经过定点 若能 求出定点坐标 若不能 请说明理由 点评点评 直线与圆锥曲线的位置关系一直是命题的热点 基本方法是联立方程 利用判别 式 根与系数关系求解 运算量一般较大 这类综合题中常涉及的问题有弦长问题 面积问 4 题 对称问题 定点定值问题等 是历年高考的热点问题 复习时要注重通性通法的训练 变式训练变式训练 5 5 2012 山东高考 文 21 如图 椭圆M 1 a b 0 的离心率为 x2 a2 y2 b2 3 2 直线x a和y b所围成的矩形ABCD的面积为 8 1 求椭圆M的标准方程 2 设直线l y x m m R R 与椭圆M有两个不同的交点P Q l与矩形ABCD有两个不 同的交点S T 求的最大值及取得最大值时m的值 PQ ST 6 函数与导数 以函数为载体 以导数为工具 以考查函数性质及导数的应用为目标 以导数为工具围 绕函数 不等式 方程等综合考查 在知识的交汇处命题 涉及到具体内容较多 如给定解 析式求参数值 给定条件求参数范围 以及对参数讨论与证明不等式问题 极值 最值 值 域及分析图象交点等问题 都以导数为工具 既考查函数部分的相关知识 又渗透函数与方 程 数形结合 化归与转化 分类与整合等数学思想 例 6 2012 河南许昌联考 21 设x 3 是函数f x x2 ax b e3 x x R R 的一 个极值点 1 求a与b的关系式 用a表示b 并求f x 的单调区间 2 设a 0 g x ex 若存在x1 x2 0 4 使得 f x1 g x2 1 成立 求 a2 25 4 a的取值范围 点评点评 本题考查了利用导数研究极值 单调区间 值域问题 考查了分类讨论思想等 变式训练变式训练 6 6 2012 广东中山一模 20 已知函数f x 4x3 3x2sin 其中 1 32 x R R 为参数 且 0 1 当 0 时 判断函数f x 是否有极值 说明理由 2 要使函数f x 的极小值大于零 求参数 的取值范围 3 若对 2 中所求的取值范围内的任意参数 函数f x 在区间 2a 1 a 内都是增 函数 求实数a的取值范围 参考答案参考答案 方法例析 例 1 解 解 1 因为f x sin2 x cos2 x 2sin x cos x 3 cos 2 x sin 2 x 3 2sin 2 x 6 由直线x 是y f x 图象的一条对称轴 可得 sin 1 2 6 所以 2 k k Z Z 6 2 即 k Z Z k 2 1 3 又 k Z Z 1 2 1 5 所以k 1 故 5 6 所以f x 的最小正周期是 6 5 2 由y f x 的图象过点 得f 0 4 0 4 即 2sin 2 5 6 4 6 2sin 42 即 2 故f x 2sin 5 3x 6 2 由 0 x 有 x 3 5 6 5 3 6 5 6 所以 sin 1 1 2 5 3x 6 得 1 2sin 2 2 5 3x 6 22 故函数f x 在上的取值范围为 1 2 3 0 5 22 变式训练 1 解 解 1 f x cos sin2x 2 2 2x 4 2 2 cos 2xcos 4 sin 2xsin 4 1 cos 2x 2 sin 2x 1 2 1 2 故f x 的最小正周期为 2 当x 时 g x f x sin 2x 故 0 2 1 2 1 2 当x 时 x 0 2 2 0 2 由于对任意x R R g g x x 2 从而g x g x 2 sin sin 2x 1 2 2 2 x 1 2 sin 2x 1 2 当x 时 x 2 0 2 从而g x g x sin 2 x sin 2x 1 2 1 2 6 综合 得g x 在 0 上的解析式为 1 sin2 22 1 sin2 0 22 x x g x x x 例 2 解 解 1 存在 线段BC的中点就是满足条件的点P 证明如下 取AB的中点F 连接DP PF EF 则PF AC 且FP AC 1 2 取AC的中点M 连接EM EC AE AC且 EAC 60 EAC是正三角形 EM AC 四边形EMCD为矩形 ED MC AC 1 2 又ED AC ED FP且ED FP 四边形EFPD是平行四边形 DP EF 又EF 平面EAB DP平面EAB DP 平面EAB 2 解法 1 过B作AC的平行线l 过C作l的垂线交l于G 连接DG ED AC ED l 则l是平面EBD与平面ABC的交线 平面EAC 平面ABC DC AC DC 平面ABC 又 CG l l DG DGC是所求二面角的平面角 设AB AC AE 2a 则CD a GC 2a 3 GD a GC2 CD27 cos cos DGC GC GD 2 7 7 7 解法 2 BAC 90 平面EACD 平面ABC 以点A为坐标原点 直线AB为x轴 直线AC为y轴 建立空间直角坐标系A xyz 如图所示 设AB AC AE 2a 由已知 得B 2a 0 0 E 0 a a D 0 2a a 33 2a a a 0 a 0 EB 3 ED 设平面EBD的法向量为n n x y z 则且 EB nED n Error 解之 得Error 取z 2 得平面EBD的一个法向量为 0 0 EB ED n n n n 0 2 3 又 平面ABC的一个法向量为n n 0 0 1 cos cos n n n n 3 0 0 0 2 1 r 3 2 02 22 02 02 12 2 7 7 变式训练 2 解 解 1 由ABCD是矩形得BC AD 推出BC 平面ADF 由CE DF得CE 平面ADF BC CE C 所以平面BCE 平面ADF BE 平面BCE 从而BE 平面ADF 2 如图 建立空间直角坐标系D xyz 设BC a CE b DF c 得B a 3 0 C 0 3 0 E 0 3 b F 0 0 c 0 3 c b 0 3 b EF DE 2 0EF DE EF 3 解得b 3 c 4 33 设平面BEF的一个法向量n n 1 p q 由n n 0 n n 0 求得平面BEF的一个法向量为n n EF BE 1 a 9 3 9 a 又 DA 平面DCEF 8 cos n n 解得a DA 2 2 9 2 当BC 时 平面BEF与平面CDFE所成角的大小为 45 9 2 例 3 解 解 1 记 该选手通过初赛 为事件A 该选手通过复赛 为事件B 该选 手通过决赛 为事件C 则P A P B P C 2 3 1 3 1 4 那么该选手在复赛阶段被淘汰的概率是 P P A P A P BB 2 3 1 1 3 4 9 2 可能的取值为 1 2 3 P 1 P 1 A 2 3 1 3 P 2 P A P A P BB 2 3 1 1 3 4 9 P 3 P AB P A P B 2 3 1 3 2 9 的分布列为 123 P 1 3 4 9 2 9 的数学期望E 1 2 3 1 3 4 9 2 9 17 9 变式训练 3 解 解 1 根据茎叶图 有 高个子 12 人 非高个子 18 人 用分层抽样的方法 每个人被抽中的概率是 5 30 1 6 所以选中的 高个子 有 12 2 人 非高个子 有 18 3 人 1 6 1 6 用A表示事件 至少有一名 高个子 被选中 则P A 1 1 2 3 2 5 C C 3 10 7 10 因此 至少有一人是 高个子 的概率是 7 10 2 依题意 的取值为 0 1 2 3 P 0 P 1 3 8 8 12 C C 14 55 12 48 8 12 C C C 28 55 P 2 P 3 21 48 6 12 C C C 12 55 3 4 6 12 C C 1 55 因此 的分布列如下 0123 P 14 55 28 55 12 55 1 55 所以E 0 1 2 3 1 14 55 28 55 12 55 1 55 例 4 解 解 1 bn 1 3bn 2n 2 bn 3bn 1 2 n 1 2 n 2 n N N 两式相减 得bn 1 bn 3bn 3bn 1 2 n 2 n N N 9 整理 得bn 1 bn 1 3 bn bn 1 1 n 2 n N N 即an 3an 1 n 2 n N N 数列 an 是公比为 3 的等比数列 2 b2 3 a1 3 1 1 3 an 3n n N N an bn 1 bn 1 3n bn bn 1 1 3n 1 bn 1 bn 2 1 3n 2 b2 b1 1 31 累加 得bn b1 n 1 1 1 3n 1 3 bn n n N N 3n 2 1 2 3 2 33 log 3 log3 nn n c 1 n n 2 1 2 1 n 1 n 2 Tn 1 2 1 1 2 1 n 1 1 n 2 3 4 1 2 1 n 1 1 n 2 由 45Tk 29 得 135 90 116 1 k 1 1 k 2 1 k 1 1 k 2 19 90 1 9 1 10 k 8 又k N N k的最大值为 7 变式训练 4 解 解 1 由Sn an2 an 1 4 1 2 1 4 得 当n 2 时 Sn 1 an 12 an 1 1 4 1 2 1 4 由 化简得 an an 1 an an 1 2 0 又 数列 an 的各项为正数 当n 2 时 an an 1 2 故数列 an 成等差数列 公差为 2 又a1 S1 a12 a1 1 4 1 2 1 4 解得a1 1 an 2n 1 2 由分段函数 f n Error 可以得到 c1 f 6 f 3 a3 5 c2 f 8 f 4 f 2 f 1 a1 1 当n 3 n N N 时 cn f 2n 4 f 2n 1 2 f 2n 2 1 2 2n 2 1 1 2n 1 1 故当n 3 时 Tn 5 1 22 1 23 1 2n 1 1 6 n 2 4 1 2n 2 1 2 2n n n 1 时 T1 5 不满足Tn 2n n n 2 时 T2 c1 c2 6 满足Tn 2n n 故Tn Error 例 5 解 解 设点P x0 y0 x0 0 y0 0 直线l的方程为y y0 k x x0 代入 1 x2 4 y2 3 10 整理得 3 4k2 x2 8k y0 kx0 x 4 y0 kx0 2 12 0 x x0是方程的两个相等实根 2x0 解得k 8k y0 kx0 3 4k2 3x0 4y0 直线l的方程为y y0 x x0 令x 0 得点A的坐标为 3x0 4y0 0 4y02 3x02 4y0 又 1 4y02 3x02 12 x02 4 y02 3 点A的坐标为 0 3 y0 又直线l 的方程为y y0 x x0 令x 0 得点B的坐标为 4y0 3x0 0 y0 3 以AB为直径的圆方程为x x 0 y 3 y0 y y0 3 整理得x2 y2 y 1 0 由Error 得Error y0 3 3 y0 以AB为直径的圆恒过定点 1 0 和 1 0 变式训练 5 解 解 1 设椭圆M的半焦距为c 由题意知Error 所以a 2 b 1 因此椭圆M的方程为 y2 1 x2 4 2 由Error 整理得 5x2 8mx 4m2 4 0 由 64m2 80 m2 1 80 16m2 0 得 m 55 设P x1 y1 Q x2 y2 则x1 x2 x1x2 8m 5 4 m2 1 5 所以 PQ x1 x2 2 y1 y2 22 x1 x2 2 4x1x2 m 4 5 2 5 m2 55 线段CD的方程为y 1 2 x 2 线段AD的方程为x 2 1 y 1 不妨设点S在AD边上 T在CD边上 可知 1 m S 2 m 2 D 2 1 5 所以 ST SD 1 m 2 3 m 222 因此 PQ ST 4 5 5 m2 3 m 2 令t 3 m 1 m 5 则m 3 t t 3 2 5 所以 PQ ST 4 5 5 3 t 2 t2 4 5 4 t2 6 t 1 11 4 5 4 1 t 3 4 2 5 4 由于t 3 2 5 所以 1 t 1 35 24 因此当 即t 时 取得最大值 此时m 1 t 3 4 4 3 PQ ST 2 5 5 5 3 不妨设点S在AB边上 T在CD边上 此时 1 m 1 因此 ST AD 2 此时 22 PQ ST 2 5 5 m2 所以当m 0 时 取得最大值 PQ ST 2 5 5 不妨设点S在AB边上 T在BC边上 m 1 由椭圆和矩形的对称性知 5 的最大值为 此时m PQ ST 2 5 5 5 3 综上所述m 或m 0 时 取得最大值 5 3 PQ ST 2 5 5 例 6 解 解 1 f x x2 a 2 x b a e3 x 由f 3 0 得 32 3 a 2 b a e3 3 0 即得b 3 2a 则f x x2 a 2 x 3 3a e3 x x 3 x a 1 e3 x 令f x 0 得x1 3 或x2 a 1 由于x 3 是函数的一个极值点 所以x1 x2 那么a 4 当a 4 时 x2 3 x1 则 在区间 3 上 f x 0