2012年高考数学考前15天模拟解析分类汇编 专题八 直线和圆

1 20122012 年高考数学考前年高考数学考前 1515 天模拟解析分类汇编天模拟解析分类汇编 高考预测高考预测 1 考查圆锥曲线的概念与性质 2 求曲线方程和求轨迹 3 关于直线与圆及圆锥曲线的位置关系的问题 易错点点睛易错点点睛 易错点 1 直线的方程 1 2012 精选模拟题 已知点 A 0 3 0 0 1 3 等于其中那么有相交于与的平分线设 CEBCEBCAEBACCB 3 1 3 2 1 2 DCBA C故选 2 2 11 11 1 11 22 错解分析 在运用点到直线的距离公式时 没有理解直线 Ax By C 0 中 B 的取值 B 应取 1 而不是取 1 正确解答 2 23 11 1 1 1 11 22 D故选 2 2012 精选模拟题 若直线 2x y c 0 按向量 a 1 1 平移后与圆 x2 y2 5 相切 则 c 的值为 A 8 或 2 B 6 或 4 C 4 或 6 D 2 或 8 错误解答 C 直线 2x y c 0 按向量 a 1 1 平移后的直线方程为 2 x 1 y 1 c 0 即 2x y 1 c 0 此直线与圆相切 故圆心到直线的距离等于半径 即 2 4 5 5 1 12 10 1 02 22 c cc 或 6 故选 C 错解分析 坐标平移公式运用错误 应用 x h y k 分别来替换原来的 x y 正确解答 A 直线 2x y c 0 按向量 a 1 1 平移后的直线为 2x y 3 c 0 此直线与 圆相切有 8 5 3 1 020 c或者说 c 2 故选 A 4 2012 精选模拟题 设直线 ax by c 0 的倾斜角为 a 且 sina cosa 0 则 a b 满足 A A b 1 B a b 1 C a b 0 D a b 0 错误解答 C 0 1 9 tan 1tan0cossinCba b kaaaa故选又 错解分析 直线 Ax By c 0 的斜率 k B A B A 而不是 答案 D 解析 略 012 2 2 2 0 3 1 3222111 的方程为则 角得直线逆时针方向旋转绕的纵截距为角得直线沿逆时针方向旋转上一点绕的倾斜角为设 l yxlPlllPlll 答案 16 2x y 8 0 解析 由已知可设 l2 的方程为 y tan2 x 2 l1与 l3垂直 l1 的斜率为 k1 2 tan2 3 4 tan1 tan2 2 即 l2的方程为 y 3 4 x 2 解方程组得 P 点坐 标 3 2 由点斜式得 l1 的方程为 y 2 x 3 2 3 易错点易错点 2 2 两直线的位置关系两直线的位置关系 1 2012 精选模拟题 已知过点 A 2 m 和 B M 4 的直线与直线 2x y 1 0 平行 则 m 的值为 A 0 B 8 C 2 D 10 正确解答 B 法一 由题意知所求直线必不与任何坐标轴平行可设直线 y kx b 即 kx y b 0 符合题意有两条直线时或 平行不合题意舍去与解得 2 5 0 4 3 2 1 2 1 2 1 13 1 1 2 2 2 2 1 bbk kk k bk d k bk d AB 法二 以 A 为圆心 1 为半径画圆 以 B 为圆心 2 为半径作圆 圆心距 AB 2 15 A 与 B 必相交 则 A 与 B 的分切线有两条 即到点 A 距离为 1 到点 B 距离为 2 的直线有 2 条 3 2012 精选模拟题 如下图 定圆半径为 a 圆心为 b c 则直线 ax by c 0 与直线 x y 1 0 的交点在 4 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 错误解答 B 由图知 b a c 0 取 b 3 a 2 c 1 解方程组 5 1 5 4 01 0132 Byx yx yx 故交点在第二象限选得 错解分析 由图看出的是长度大小关系 在比较时坐标值与长度值相混淆 正确解答 C 由图形如此图圆心在第二象限且 a b c 满足球队 0 c a b 取 c 1 a 2 b 3 解方程组 01 0132 yx yx 得 x 2 y 1 故选 C 此题也可以讨论 ax by c 0 在 y 轴截距及斜率与直线 x y 1 0 进行比较去解决 4 2012 精选模拟题 由动点 P 向圆 x2 y2 1 引两条切线 PA PB 切点分别为 A B 0 时 z 最大 当 B1 当 x 1 y 0 3 已知两点 A 1 0 B 0 2 若点 P 是圆 x 1 2 y2 1 上的动点 则 ABP 面积的最大值和最小值分别为 11 25 2 1 52 2 1 53 2 1 53 2 1 54 2 1 54 2 1 15 2 1 54 2 1 D C B A 点 C 为线段 AB 上任一点 P Q 分别以 AC 和 BC 为直径的两圆 O1 O 2的外公切线的切点 求线段 PQ 的中点的轨迹方程 答案 解 作 MC AB 交 PQ 于点 M 则 MC 是两圆的公切线 MC MQ MC MP 即 M 为 PQ 的中点 设 M x y 则点 C O1 O2的坐标 1 已知直线 L 过点 2 0 当直线 L 与圆xyx2 22 有两个交点时 其斜率 k 取值范围是 8 1 8 1 4 2 4 2 2 2 22 22 DC BA 错误解答错误解答 设此直线为 2 xky圆心到直线的距离刚好好等于半径 即相切 时 8 1 1 1 3 2 2 k k k 8 1 2 k故选 D 错解分析错解分析 计算出 2 k见答案中有此结果 便盲目选出答案 并没有开方算出 12 4 2 k 正确解答正确解答 可设直线方程为 2 xky代入圆的方程中 用 4 2 4 2 8 1 0 2 kk故可得选 C 2 2012 2012 精选模拟题精选模拟题 a b j 是 直线2 xy与圆 2 ax 相切的2 2 by 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分又不必要条件 错误解答错误解答 当 ba 时圆心坐标为 aa 圆心到直线的距离为 2 2 2 aa 与半径杨等 故ba 是直线和圆相切的充分人条件 同理不直线与圆相切时 圆心 ba 到2 xy的距离为 2 2 2 ba ba 故ba 是直线与圆相切的充分必要 条件 错解分析错解分析 在运用点到直线的距离公式时 2 xy应先变为02 yx 再计算 这刊里 y 的系数应为 1 而不是未变形前的 1 错解分析错解分析 在算出 r 后 往 22 0 2 0 ryyxx 中代入时 忘记后面是 r2 正确解答正确解答 由圆心到直线的距离等于半径得 r 2 4 2 1 22 yx圆的方程为 13 4 4 2012 2012 精选模拟题精选模拟题 设 P 0 是一常数 过点 Q 2P 0 的直线与抛物线pxy22 交 于相 由 1 21 21 2 2 1 1 xx yy x y x y kk OAOB 故不存在最小值又 取最小值时当 上在圆 0 0 1 4 25 1 2 51 2 2 2 2 2 2 22121 r k k p yyxx OHr HOOAOB 错解分析错解分析 0 1 2 k 时 虽然不成立 而0 1 2 k 时说 明 k 不存在 即直线 AB轴x 正确解答 法一 由题意 直线 AB 不能是水平线 故可设 直线方程为 2pxky 又设 A BBBA yxByx则其坐标 满足 pxy pxky 2 2 2 消去 x 得 0 42 22 ppkyy 由此得 4 2 2 Pyy pkyy BA BA 14 由前已证 OH 应是圆 H 的半径 且 OH 22 HH yx 45 24 pkk 从而当 k 0 时 圆 H 的半径最小 亦使 圆 H 和面积最小 此时 直线 AB 的方程为 2px 法二 由题意 直线 AB 不能是水平线 故可设直线方程 为 2 BBAA yxByxApxky又设 则其坐标满足 0 4 2 2 0 42 2 2 222 22 2 pxkpx ppkyy yx pxy pxky 得分别消去 故 特别提醒特别提醒 15 1 直线与圆 圆与圆的位置关系判断时利用几何法 即圆心到直线 圆心与圆心之间 的距离 结合直角三角形求解 2 有关过圆外或圆上一点的切线问题 要熟悉切线方程的形式 变式训练变式训练 1 已知直线 ax by c 0 abc 0 与圆 x2 y2 1 相切 则三条 边分别为 a b c 的三角形是 A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 不存在 答案 B 解析 1 22 ba c 2 若 a2 b2 2c2 0 则直线 ax by c 0 被 x2 y2 1 所截得的弦长为 A 2 1 B 1 C 2 2 D 2 答案 D 解析 设圆心到直线的距离为 d 弦长为 l 则 d2 2 1 22 2 ba c l 2 2 22 dR 3 如图 已知点 F 0 1 直线 L y 2 及圆 C x2 y 3 2 1 1 若动点 M 到点 F 的距离比它到直线 L 的距离小 1 求动点 M 的轨迹 E 的方程 答案 解 x2 4y x1x2 4 P 2 1 Smin 7 2 过点 F 的直线 g 交轨迹 E 于 C x1 y1 H x2 y2 两点 求证 xlx2为定值 3 过轨迹 E 上一点 P 作圆 C 的切线 切点为 A B 要使四边形 PACB 的面积 S 最小 求点 P 的坐标及 S 的最小值 答案 设 D 的坐标为 0 a 圆 D 的半径为 r 则 r 2 2 16 a2 16 设 PA PB 的斜率为 k1 k2 又 A B 的坐标分别为 0 a r 0 a r 则 k1 3 3 2 ra k ra tan APB 9 6 33 1 33 22 ra r rara rara 由 解出 a2代人 得 tan APB 68 9 2 3 334 6 rr r 而 8r 6 为单调增函数 r 2 tan APB 5 12 2 3 APB 的最大值为 arttan 5 12 3 在 x 轴上是否存在定点 Q 当圆 D 在 y 轴上运动时 AQB 是定值 如果存在 求出 点 Q 坐标 如果不存在 说明理由 答案 假设存在 Q 点 设 Q b 0 QA QB 的斜率分别为 k1 k2 则中 k1 2 b ra k b ra tan AQB 222 12 12 1 1 1 rab br b ra b ra b ra b ra kk kk 将 a2 r 2 2 16 代人上式 得 tan AQB 4 12 2 412 2 22 r b b rb br 欲使 AQB 大小与 r 无关 则应有 b2 12 即 b 23 此时 tan AQB 3 AQB 60 存在 Q 点 当圆 D 变动时 AQB 为定值 60 这 Q 点坐标为 23 0 知识导学知识导学 难点难点 1 1 直线的方程直线的方程 1 求与直线 3x 4y 12 0 平行 且与坐标轴构成的三角形面积是 24 的直线乙的方程 17 2 设正方形 ABCD A B C D 顺时针排列 的外接圆方程为 x2 y2 6x a 0 a 9 C D 点所在直线 l 的斜率为 3 1 1 求外接圆圆心 M 点的坐标及正方形对角线 AC BD 的斜率 2 如果在 x 轴上方的 A B 两点在一条以原点为顶点 以 x 轴为对称轴的抛物线上 求此抛物线的方程及直线 l 的方程 3 如果 ABCD 的外接圆半径为 2 在 x 轴上方的 A B 两点在一条以 x 轴为对称轴 的抛物线上 求此抛物线的方程及直线 l 的方程 解析 1 利用斜率公式求倾斜角 2 3 运用轨迹法 答案 1 由 x 3 2 y2 9 a a 9 可知圆心 M 的坐标为 3 0 依题意 ABM BAM 4 kAB 3 1 MA MB 的斜率 A 满足 k k 3 1 1 3 1 1 解得 kAC 2 1 kAB 2 2 设 MB MA 的倾斜角分别为 l 2 则 tan 1 2 tan 2 2 1 可以推出 cos 1 5 5 设抛物线方程为了 y2 a x m 将 A 1 2 B 5 4 的坐标代入 得 5 16 1 4 ma ma 解得 a 2 m 3 18 抛物线的方程为 y2 2 x 3 A 1 2 点关于 M 3 0 的观点为 C 7 2 故直线 l 的方程为 y 2 3 1 x 7 即 x 3y 13 0 难点难点 2 2 两直线的位置关系两直线的位置关系 1 若直线 mx y 2 0 与线段 AB 有交点 其中 A 2 3 B 3 2 求 实数 m 的取值范围 解析 运用数形结合的思想来解 直线 mx y 2 0 的斜率 m 应为 倾角的正切 而当倾角在 0 90 或 90 180 内 角的正切函数 都是单调递增的 因此当直线在 ACB 内部变化时 众应大于或等于 kBC 或者 k 小于或等于 kAC 当 A B 两点的坐标变化时 求出 m 的范围 1 当 k 为定值时 动点 P 的纵坐标 y 是横坐标 x 的函数 求这个函数 y f x 的解 析式 2 根据 A 的取值范围 确定 y f x 的定义域 解析 1 设点的坐标而不求 直接转化 19 2 垂足 N 必须在射线 OB 上 所以必须满足条件 y0 b 0 则 OM a 2 1k ON b 2 1k 由动点 P 在 AOx 的内部 得 0 y kx 22 22 11 11 k ykx k ykx PN k ykx k ykx PM S四边形 ONPM S ONP S OPM 2 1 0M PM ON PN 2 1 a kx y b kx y 2 1 k a b x a b y k k a b x a b y 2k 又由 kPM k 1 ax kay kPN bx kby k 1 但垂足 N 必须在射线 OB 上 否则 O N P M 四点不能组成四边形 所以还必须满足 条件 y k 1 x 将它代入函数解析式 得1 22 kx1 或 x A 02 20 当 0 k 1 时 定义域为 x 1 2 k x1 时 定义域为 x 1 2 k x0 即 t 0 而且直线 l 往右平移时 t 随之增大 当直线 l 平移至 ll 的位置时 直线经过可行域上的点 B 此时 所对应的 t 最大 当 l 在 l0 的左上方时 直线 l 上的点 x y 满足 2x y 0 即 t 0 而且 直线 l 往左平移时 t 随之减小 当直线 l 平移至 l2的位置时 直线经过可行域上的点 C 此时所对应的 t 最小 由 03053 043 yx yx 解得点 B 的坐标为 5 3 由 03053 1 yx x 解得点 C 的坐标为 1 5 27 所以 z最大值 2 5 3 7 z最小值 2 2 已知三种食物 P Q R 的维生素含量与成本如下表所示 食物 P食物 Q食物 R 维生素 A 单位 kg 400600400 维生素 B 单位 kg 800200400 成本 元 kg 654 现在将 xkg 的食物 P 和 ykg 的食物 Q 及 zkg 的食物 R 混合 制成 100kg 的混合物 如 果这 100kg 的混合物中至少含维生素 A44000 单位与维生素 B48000 单位 那么 x y z 为 何值时 混合物的成本最小 解析 由 x y z 100 得 z 100 x y 所以上述问题可以看作只含 x y 两个变 量 设混合物的成本为 k 元 那么 k 6x 5y 4 100 x y 2x y 400 于是问题就归结为求 在已知条件下的线性规划问题 21 答案 已知条件可归结为下列不等式组 100 48000 100 400200800 44000 100 400600400 100 0 0 yx yxyx yxyx yx y x 402 20 yx y 即 在平面直角坐标系中 画出不等式组 所表示的平面 区域 这个区域是直线 x y 100 y 20 2x y 40 围成的 一个三角形区域 EFG 包括边界 即可行域 如图所示的 阴影部分 设混合物的成本为 k 元 那么 k 6x 5y 4 100 x y 2x y 400 作直线 l0 2x y 0 把直线 l0向右上方平移至 l1位置时 直线经过可行域上的点 E 且与原点的距离最小 此时 2x y 的值最小 从而 A 的值最小 由 20 402 y yx 得 20 30 y x 即点 E 的坐标是 30 20 所以 k最小值 2 30 20 400 480 元 此时 z 100 30 20 50 答 取 x 30 y 20 z 50 时 混合物的成本最小 最小值是 480 元 难点难点 4 4 直线与圆直线与圆 22 3 1 1 1 1 2 0 1 1 1 0 01 2 2 2 2 2 t tt t t t t t t k tt k QTPT 由直线 PT 的斜率和直线 QT 的斜率互为相反数知 由点 P 发出的光线经点 T 反射 反 射光线通过点 Q 2 已知 M x2 y 2 2 1 Q 是 x 轴上的动点 QA QB 分别切 OM 于 A B 两点 1 如果 AB 3 24 求直线 MQ 的方程 2 求动弦 AB 的中点 P 的轨迹方程 解析 1 由射影定理知 MB 2 MP MQ 得 MQ 3 在 Rt MOQ 求出 OQ 再求直线 MQ 的方程 利用点 M P Q 在一直线上 斜率相等求动弦 AB 的中点 P 的轨 迹方程 答案 1 由 AB 3 24 可得 MP 3 1 3 22 1 2 2222 AB MA 由射影定 理 得 MB 2 MP MQ 得 MQ 3 在 RtAMOQ 中 OQ 523 2222 MOMQ 故 a 5或 a 5 所以直线 MQ 方程是 2x 5y 25 0 或 2x 5y 25 0 2 连接 MB MQ 设 P x y p a 0 由点 M P Q 在一直线上 得 x y a 22 由射影定理得 MB 2 MP MQ 即 14 2 222 ayx 答案 把 及 答案 消去 a 并注意到 y0 AM1 BM1 100 又当直线倾斜角等于 2 时 A 4 y1 B 4 y2 AM1 BM1 e 4 1 10 AM1 BM1 100 24 故 AM1 BM1 100 典型习题导炼典型习题导炼 1 方程 1 1 21 21 yy y xx x R 且 1 表示的曲线是 A 以点 M1 x1 y1 M2 x2 y2 为端点的线段 B 过点 M1 x1 y1 M2 x2 y2 的直线 C 过点 Ml x1 y1 M2 x2 y2 两点的直线 去掉点 M1的部分 D 过点 M1 x1 y1 M2 x2 y2 两点的直线去掉 M2的部分 答案 D 2 直线 l 经过 A 2 1 B 1 m2 m R 两点 那么直线 l 的倾斜角的取值范围是 A 0 B 0 4 2 C 0 4 D 0 4 4 3 答案 B 3 曲线 y 1 2 4x x 2 2 与直线 y k x 2 4 有两个交点时 实数 k 的取值范 围是 答案 D 4 若 x y 满足 x2 y2 2x 4y 0 则 x 2y 的最大值是 5 2 10 8 2 3 DC BA 答案 C 5 使可行域为 4 3 yx xy xy 的目标函数 z ax by ab 0 在 x 2 y 2 取得最大值的充要 条件是 A a b B a b C a b D a b 答案 A 解析 画出可行区域 直线 l ax by 0 的斜率为 b a 要使目标函数 z ax by 在 x 2 y 2 时 取得最大值 必须且只需 b a 1 且直线 l 向上平移时 纵截 距变大 所以必须且只需 b a 1 且 b 0 6 已知向量 a 2cos 2sina b 3cos 3sin a 与 b 的夹角为 60 则直 25 线 xcos ysin 2 1 0 与圆 x cos 2 y sin 2 2 1 的位置关系是 A 相切 B 相交 C 相离 D 随 的值而定 答案 C 解析 略 7 当 x y 满足约束条件 02 0 kyx xy x k 为常数 时 能使 z x 3y 的最大值为 12 的 k 的值为 A 9 B 9 C 12 D 12 答案 A 解析 画出线性约束条件所表示的平面区域 由图可知 目标函数 y 33 zx 的图像过直线 y x 与 2x y k 0 的交点时 z 最大 解得交点为 3 k 3 k 得 z 12 所以选 A 说明 8 11 解析 略 8 已知点 M 3 0 N 3 0 O 1 0 C 与直线 MN 切于 点 B 过 M N 与 C 相 切的两直线相交于点 P 则 P 点的轨迹方程为 A x2 8 2 y 1 B x2 8 2 y 1 x 1 C x2 8 2 y 1 D x2 10 2 y 1 答案 B 9 有下列 4 个命题 两直线垂直的充要条件是 k1k2 1 点 M x0 y0 在直线 Ax By C 0 外时 过点 M x0 y0 与直线 Ax By C 0 AB 0 平行 的直线方程为 A x x0 B y y0 0 直线 l1 y 2x 1 到 l2 y 3 1 x 5 的角是 4 两平行直线 Ax By C1 0 与 Ax By C2 0 间的距离是 d 22 21 BA CC 其中正确的命题有 A B C D 以上答案均对 26 答案 C 的平分线所在直线的方程为 x 4y 10 0 求边 BC 所在直线的方程 答案 解 设 B a b B 在直线 BT 上 a 4b 10 0 又 AB 中点 M 2 1 2 3 ba 在直线 CM 上 点 M 的坐标满足方程 6x 10y 59 0 6 2 3a 10 2 1 b 59 0 解 组成的方程组可得 a 10 b 5 B 10 5 又由角平分线的定义可知 直线 BC 到 BT 的角等于直线 BT 到直线 BA 的角 又 kAB 7 6 kBT 4 1 BTBA BTBA BCBT BCBT kk kk kk kk 11 kBC 9 2 BC 所在直线的方程为 y 5 9 2 x 10 即 2x 9y 65 0 14 某人有楼房一幢 室内面积共 180m2 拟分隔成两类房间作为旅游客房 大房间 27 每间面积为 18m2 可住游客 5 名 每名游客每天住宿费为 40 元 小房间每间面积为 15m2 可住游客 3 名 每名游客