2012年全国部分地区中考数学试题分类解析汇编 第26章矩形、菱形与正方形

用心 爱心 专心1 20122012 年全国各地中考数学真题分类汇编年全国各地中考数学真题分类汇编 第第 2626 章章 矩形 菱形与正方形矩形 菱形与正方形 一 选择题 1 2012 烟台 一个由小菱形组成的装饰链 断去了一部分 剩下部分如图所示 则断去 部分的小菱形的个数可能是 A 3 B 4 C 5 D 6 考点 规律型 图形的变化类 专题 规律型 分析 答案中断去的菱形个数均为较小的正整数 由所示的图形规律画出完整的装饰链 可得断去部分的小菱形的个数 解答 解 如图所示 断去部分的小菱形的个数为 5 故选 C 点评 考查图形的变化规律 按照图形的变化规律得到完整的装饰链是解决本题的关键 2 2012 烟台 如图 O1 O O2的半径均为 2cm O3 O4的半径均为 1cm O 与其他 4 个圆均相外切 图形既关于 O1O2所在直线对称 又关于 O3O4所在直线对 称 则四边形 O1O4O2O3的面积为 A 12cm2 B 24cm2 C 36cm2 D 48cm2 考点 相切两圆的性质 菱形的判定与性质 用心 爱心 专心2 专题 探究型 分析 连接 O1O2 O3O4 由于图形既关于 O1O2所在直线对称 又因为关于 O3O4所在直线对 称 故 O1O2 O3O4 O O1 O2共线 O O3 O4共线 所以四边形 O1O4O2O3的面积为 O1O2 O3O4 解答 解 连接 O1O2 O3O4 图形既关于 O1O2所在直线对称 又关于 O3O4所在直线对称 O1O2 O3O4 O O1 O2共线 O O3 O4共线 O1 O O2的半径均为 2cm O3 O4的半径均为 1cm O 的直径为 4 O3 的直径为 2 O1O2 2 8 8 O3O4 4 2 6 S四边形 O1O4O2O3 O1O2 O3O4 8 6 24cm2 故选 B 点评 本题考查的是相切两圆的性质 根据题意得出 O1O2 O3O4 O O1 O2共线 O O3 O4共线是解答此题的关键 3 2012 烟台 如图 矩形 ABCD 中 P 为 CD 中点 点 Q 为 AB 上的动点 不与 A B 重合 过 Q 作 QM PA 于 M QN PB 于 N 设 AQ 的长度为 x QM 与 QN 的长度和为 y 则能表示 y 与 x 之间的函数关系的图象大致是 A B C D 考点 动点问题的函数图象 分析 根据三角形面积得出 S PAB PE AB S PAB S PAQ S PQB QN PB PA MQ 进 而得出 y 即可得出答案 解答 解 连接 PQ 作 PE AB 垂足为 E 过 Q 作 QM PA 于 M QN PB 于 N S PAB PE AB 用心 爱心 专心3 S PAB S PAQ S PQB QN PB PA MQ 矩形 ABCD 中 P 为 CD 中点 PA PB QM 与 QN 的长度和为 y S PAB S PAQ S PQB QN PB PA MQ PB QM QN PBy S PAB PE AB PBy y PE AD PB AB PB 都为定值 y 的值为定值 符合要求的图形为 D 故选 D 点评 此题主要考查了动点函数的图象 根据已知得出 y 再利用 PE AD PB AB PB 都为定值是解题关键 4 2012 泰安 如图 在矩形 ABCD 中 AB 2 BC 4 对角线 AC 的垂直平分线分别交 AD AC 于点 E O 连接 CE 则 CE 的长为 A 3 B 3 5 C 2 5 D 2 8 考点 线段垂直平分线的性质 勾股定理 矩形的性质 解答 解 EO 是 AC 的垂直平分线 AE CE 设 CE x 则 ED AD AE 4 x 在 Rt CDE 中 CE2 CD2 ED2 即 222 24 xx 解得 2 5x 即 CE 的长为 2 5 故选 C 用心 爱心 专心4 5 2012 泰安 如图 菱形 OABC 的顶点 O 在坐标原点 顶点 A 在 x 轴上 B 120 OA 2 将菱形 OABC 绕原点顺时针旋转 105 至 OA B C 的位置 则点 B 的坐标为 A B C 2012 泰安 22 2 2 D 33 考点 坐标与图形变化 旋转 菱形的性质 解答 解 连接 OB OB 过点 B 作 B E x 轴于 E 根据题意得 BOB 105 四边形 OABC 是菱形 OA AB AOB AOC ABC 120 60 OAB 是等边三角形 OB OA 2 AOB BOB AOB 105 60 45 OB OB 2 OE B E OB sin45 2 22 2 点 B 的坐标为 22 故选 A 用心 爱心 专心5 6 2012 泰安 如图 将矩形纸片 ABCD 沿 EF 折叠 使点 B 与 CD 的中点重合 若 AB 2 BC 3 则 FCB 与 B DG 的面积之比为 A 9 4 B 3 2 C 4 3 D 16 9 考点 翻折变换 折叠问题 解答 解 设 BF x 则 CF 3 x BF x 又点 B 为 CD 的中点 B C 1 在 Rt B CF 中 BF 2 B C2 CF2 即 22 1 3 xx 解得 即可得 CF 5 3 x 54 3 33 DB G DGB 90 DB G CB F 90 DGB CB F Rt DB G Rt CFB 根据面积比等于相似比的平方可得 2 416 39 故选 D 7 2012 成都 如图 在菱形 ABCD 中 对角线 AC BD 交于点 O 下列说法错误的是 A AB DC B AC BD C AC BD D OA OC A B C D O 考点 菱形的性质 解答 解 A 菱形的对边平行且相等 所以 AB DC 故本选项正确 B 菱形的对角线不一定相等 故本选项错误 C 菱形的对角线一定垂直 AC BD 故本选项正确 D 菱形的对角线互相平分 OA OC 故本选项正确 故选 B 用心 爱心 专心6 8 2012 济宁 如图 将矩形 ABCD 的四个角向内折起 恰好拼成一个无缝隙无重叠的四 边形 EFGH EH 12 厘米 EF 16 厘米 则边 AD 的长是 A 12 厘米 B 16 厘米C 20 厘米D 28 厘米 考点 翻折变换 折叠问题 勾股定理 分析 先求出 EFH 是直角三角形 再根据勾股定理求出 FH 20 再利用全等三角形的性 质解答即可 解答 解 设斜线上两个点分别为 P Q P 点是 B 点对折过去的 EPH 为直角 AEH PEH HEA PEH 同理 PEF BEF 这四个角互补 PEH PEF 90 四边形 EFGH 是矩形 DHG BFE HEF 是直角三角形 BF DH PF AH HP AD HF EH 12cm EF 16cm FH 20cm FH AD 20cm 故选 C 点评 本题考查的是翻折变换及勾股定理 全等三角形的判定与性质 解答此题的关键是 作出辅助线 构造出全等三角形 再根据直角三角形及全等三角形的性质解答 用心 爱心 专心7 9 2012 恩施州 如图 菱形 ABCD 和菱形 ECGF 的边长分别为 2 和 3 A 120 则图 中阴影部分的面积是 A B 2C 3D 考点 菱形的性质 解直角三角形 专题 常规题型 分析 设 BF CE 相交于点 M 根据相似三角形对应边成比例列式求出 CG 的长度 从而得 到 DG 的长度 再求出菱形 ABCD 边 CD 上的高与菱形 ECGF 边 CE 上的高 然后根据 阴影部分的面积 S BDM S DFM 列式计算即可得解 解答 解 如图 设 BF CE 相交于点 M 菱形 ABCD 和菱形 ECGF 的边长分别为 2 和 3 BCM BGF 即 解得 CM 1 2 DM 2 1 2 0 8 A 120 ABC 180 120 60 菱形 ABCD 边 CD 上的高为 2sin60 2 菱形 ECGF 边 CE 上的高为 3sin60 3 阴影部分面积 S BDM S DFM 0 8 0 8 故选 A 点评 本题考查了菱形的性质 解直角三角形 把阴影部分分成两个三角形的面积 然后 利用相似三角形对应边成比例求出 CM 的长度是解题的关键 用心 爱心 专心8 10 2012 荆门 如图 已知正方形 ABCD 的对角线长为 2 将正方形 ABCD 沿直线 EF 折叠 则图中阴影部分的周长为 A 8 B 4 C 8 D 6 解析 正方形 ABCD 的对角线长为 2 即 BD 2 A 90 AB AD ABD 45 AB BD cos ABD BD cos45 2 2 AB BC CD AD 2 由折叠的性质 A M AM D N DN A D AD 图中阴影部分的周长为 A M BM BC CN D N A D AM BM BC CN DN AD AB BC CD AD 2 2 2 2 8 故选 C 11 2012 黔东南州 如图 矩形 ABCD 边 AD 沿拆痕 AE 折叠 使点 D 落在 BC 上的 F 处 已知 AB 6 ABF 的面积是 24 则 FC 等于 A 1 B 2C 3D 4 解析 四边形 ABCD 是矩形 B 90 AD BC AB 6 S ABF AB BF 6 BF 24 BF 8 AF 10 用心 爱心 专心9 由折叠的性质 AD AF 10 BC AD 10 FC BC BF 10 8 2 故选 B 12 2012 黔东南州 点 P 是正方形 ABCD 边 AB 上一点 不与 A B 重合 连接 PD 并将线 段 PD 绕点 P 顺时针旋转 90 得线段 PE 连接 BE 则 CBE 等于 A 75 B 60 C 45 D 30 解析 过点 E 作 EF AF 交 AB 的延长线于点 F 则 F 90 四边形 ABCD 为正方形 AD AB A ABC 90 ADP APD 90 由旋转可得 PD PE DPE 90 APD EPF 90 ADP EPF 在 APD 和 FEP 中 APD FEP AAS AP EF AD PF 又 AD AB PF AB 即 AP PB PB BF AP BF BF EF 又 F 90 BEF 为等腰直角三角形 EBF 45 又 CBF 90 则 CBE 45 故选 C 用心 爱心 专心10 13 2012 长沙 已知 菱形 ABCD 中 对角线 AC 与 BD 相交于点 O OE DC 交 BC 于点 E AD 6cm 则 OE 的长为 A 6cm B 4cmC 3cmD 2cm 解答 解 四边形 ABCD 是菱形 OB OD CD AD 6cm OE DC BE CE OE CD 3cm 故选 C 14 2012 山西 如图 已知菱形 ABCD 的对角线 AC BD 的长分别为 6cm 8cm AE BC 于 点 E 则 AE 的长是 A B C D 考点 菱形的性质 勾股定理 解答 解 四边形 ABCD 是菱形 CO AC 3cm BO BD 4cm AO BO BC 5cm S菱形 ABCD 6 8 24cm2 S菱形 ABCD BC AD BC AE 24 AE cm 故选 D 用心 爱心 专心11 15 2012 黄石 如图 3 所示 矩形纸片中 现将ABCD6ABcm 8BCcm 其沿对折 使得点与点重合 则长为 B EFCAAF A B 25 8 cm 25 4 cm C D 25 2 cm8cm 考点 翻折变换 折叠问题 分析 设 AF xcm 则 DF 8 x cm 利用矩形纸片 ABCD 中 现将其沿 EF 对折 使得点 C 与点 A 重合 由勾 股定理求 AF 即可 解答 解 设 AF xcm 则 DF 8 x cm 矩形纸片 ABCD 中 AB 6cm BC 8cm 现将其沿 EF 对折 使得点 C 与点 A 重合 DF D F 在 Rt AD F 中 AF2 AD 2 D F2 x2 62 8 x 2 解得 x 25 4 cm 故选 B 点评 本题考查了图形的翻折变换 解题过程中应注意折叠是一种对称变换 它属 于轴对称 根据轴对称的性质 折叠前后图形的形状和大小不变是解题关 键 16 2012 张家界 顺次连接矩形四边中点所得的四边形一定是 A 正方形 B 矩形 C 菱形 D 等腰梯形 考点 菱形的判定 三角形中位线定理 矩形的性质 解答 解 连接 AC BD 在 ABD 中 AH HD AE EB EH BD 同理 FG BD HG AC EF AC 又 在矩形 ABCD 中 AC BD EH HG GF FE 四边形 EFGH 为菱形 故选 C D C A B CE F D 图 3 用心 爱心 专心12 17 2012 武汉 如图 矩形 ABCD 中 点 E 在边 AB 上 将矩形 ABCD 沿直线 DE 折叠 点 A 恰好落在边 BC 的点 F 处 若 AE 5 BF 3 则 CD 的长是 A 7B 8C 9D 10 考点 翻折变换 折叠问题 解答 解 DEF 由 DEA 翻折而成 EF AE 5 在 Rt BEF 中 EF 5 BF 3 BE 4 AB AE BE 5 4 9 四边形 ABCD 是矩形 CD AB 9 故选 C 18 2012 台湾 如图 边长 12 的正方形 ABCD 中 有一个小正方形 EFGH 其中 E F G 分别在 AB BC FD 上 若 BF 3 则小正方形的边长为何 A B C 5D 6 考点 相似三角形的判定与性质 勾股定理 正方形的性质 专题 探究型 分析 先根据相似三角形的判定定理得出 BEF CFD 再根据勾股定理求出 DF 的长 再由相似三角形的对应边成比例即可得出结论 解答 解 在 BEF 与 CFD 中 1 2 2 3 90 1 3 B C 90 BEF CFD 用心 爱心 专心13 BF 3 BC 12 CF BC BF 12 3 9 又 DF 15 即 EF 故选 B 点评 本题考查的是相似三角形的判定与性质及勾股定理 根据题意得出 BEF CFD 是 解答此题的关键 19 2012 苏州 如图 矩形 ABCD 的对角线 AC BD 相交于点 O CE BD DE AC 若 AC 4 则四边形 CODE 的周长 A 4 B 6C 8D 10 考点 菱形的判定与性质 矩形的性质 分析 首先由 CE BD DE AC 可证得四边形 CODE 是平行四边形 又由四边形 ABCD 是矩 形 根据矩形的性质 易得 OC OD 2 即可判定四边形 CODE 是菱形 继而求得答 案 解答 解 CE BD DE AC 四边形 CODE 是平行四边形 四边形 ABCD 是矩形 AC BD 4 OA OC OB OD OD OC AC 2 四边形 CODE 是菱形 四边形 CODE 的周长为 4OC 4 2 8 用心 爱心 专心14 故选 C 点评 此题考查了菱形的判定与性质以及矩形的性质 此题难度不大 注意证得四边形 CODE 是菱形是解此题的关键 20 2012 苏州 已知在平面直角坐标系中放置了 5 个如图所示的正方形 用阴影表示 点 B1在 y 轴上 点 C1 E1 E2 C2 E3 E4 C3在 x 轴上 若正方形 A1B1C1D1的边长为 1 B1C1O 60 B1C1 B2C2 B3C3 则点 A3到 x 轴的距离是 A B C D 考点 正方形的性质 全等三角形的判定与性质 解直角三角形 专题 规律型 分析 利用正方形的性质以及平行线的性质分别得出 D1E1 B2E2 B2C2 进而得出 B3C3 求出 WQ FW WA3 cos30 即可得出答案 解答 解 过小正方形的一个顶点 W 作 FQ x 轴于点 Q 过点 A3F FQ 于点 F 正方形 A1B1C1D1的边长为 1 B1C1O 60 B1C1 B2C2 B3C3 B3C3 E4 60 D1C1E1 30 E2B2C2 30 D1E1 D1C1 D1E1 B2E2 cos30 解得 B2C2 B3E4 cos30 解得 B3C3 用心 爱心 专心15 则 WC3 根据题意得出 WC3 Q 30 C3 WQ 60 A3 WF 30 WQ FW WA3 cos30 则点 A3到 x 轴的距离是 FW WQ 故选 D 点评 此题主要考查了正方形的性质以及锐角三角函数的应用等知识 根据已知得出 B3C3 的长是解题关键 二 填空题 1 2012 铜仁 以边长为 2 的正方形的中心 O 为端点 引两条相互垂直的射线 分别与正 方形的边交于 A B 两点 则线段 AB 的最小值是 考点 正方形的性质 垂线段最短 全等三角形的判定与性质 直角三角形斜边上的中线 解答 解 四边形 CDEF 是正方形 OCD ODB 45 COD 90 OC OD AO OB AOB 90 CAO AOD 90 AOD DOB 90 COA DOB 在 COA 和 DOB 中 用心 爱心 专心16 COA DOB OA OB AOB 90 AOB 是等腰直角三角形 由勾股定理得 AB OA 要使 AB 最小 只要 OA 取最小值即可 根据垂线段最短 OA CD 时 OA 最小 正方形 CDEF FC CD OD OF CA DA OA CF 1 即 AB 故答案为 2 2012 安徽 14 5 分 如图 P 是矩形 ABCD 内的任意 一点 连接 PA PB PC PD 得到 PAB PBC PCD PDA 设它们的面积分别是 S1 S2 S3 S4 给出如下结论 S1 S2 S3 S4 S2 S4 S1 S3 若 S3 2 S1 则 S4 2 S2 若 S1 S2 则 P 点在矩形的对角线上 其中正确的结论的序号是 把所有正确结论的序号都填在横线上 解析 过点 P 分别向 AD BC 作垂线段 两个三角形的面积之和等于矩形面积的一 42 SS 半 同理 过点 P 分别向 AB CD 作垂线段 两个三角形的面积之和等于矩形面积 31 SS 的一半 又因为 则 所以 一定成 31 SS 42 SS 21 SS 32 SS ABCD SSS 2 1 41 立 答案 点评 本题利用三角形的面积计算 能够得出 成立 要判断 成立 在这里充分利用所 给条件 对等式进行变形 不要因为选出 就认为找到答案了 对每个结论都要分析 当 然感觉不一定对的 可以举反例即可 对于 这一选项容易漏选 3 2012 绍兴 如图 在矩形 ABCD 中 点 E F 分别在 BC CD 上 将 ABE 沿 AE 折叠 使点 B 落在 AC 上的点 B 处 又将 CEF 沿 EF 折叠 使点 C 落在 EB 与 AD 的交点 C 处 则 BC AB 的值为 用心 爱心 专心17 考点 翻折变换 折叠问题 解答 解 连接 CC 将 ABE 沿 AE 折叠 使点 B 落在 AC 上的点 B 处 又将 CEF 沿 EF 折叠 使点 C 落在 EB 与 AD 的交点 C 处 EC EC EC C ECC DC C ECC EC C DC C 得到 CC 是 EC D 的平分线 CB C D 90 CB CD 又 AB AB 所以 B 是对角线 AC 中点 即 AC 2AB 所以 ACB 30 cot ACB cot30 BC 3 AB BC AB 的值为 3 故答案为 3 4 2012 扬州 如图 将矩形ABCD沿CE折叠 点B恰好落在边AD的F处 如果 那么 tan DCF的值是 用心 爱心 专心18 考点 翻折变换 折叠问题 分析 由矩形ABCD沿CE折叠 点B恰好落在边AD的F处 即可得BC CF CD AB 由 可得 然后设CD 2x CF 3x 利用勾股定理即可求得DF的值 继 而求得 tan DCF的值 解答 解 四边形ABCD是矩形 AB CD D 90 将矩形ABCD沿CE折叠 点B恰好落在边AD的F处 CF BC 设CD 2x CF 3x DF x tan DCF 故答案为 点评 此题考查了矩形的性质 折叠的性质以及勾股定理 此题比较简单 注意折叠中的 对应关系 注意数形结合思想的应用 5 2012 资阳 如图 O 为矩形 ABCD 的中心 M 为 BC 边上一点 N 为 DC 边上一点 ON OM 若 AB 6 AD 4 设 OM x ON y 则 y 与 x 的函数关系式为 考点 相似三角形的判定与性质 矩形的性质 用心 爱心 专心19 分析 求两条线段的关系 把两条线段放到两个三角形中 利用两个三角形的关系求解 解答 解 如图 作 OF BC 于 F OE CD 于 E ABCD 为矩形 C 90 OF BC OE CD EOF 90 EON FON 90 ON OM EON FOM OEN OFM O 为中心 即 y x 故答案为 y x 点评 此题主要考查的是相似三角形的判定与性质 解题的关键是合理的在图中作出辅助 线 熟练掌握相似三角形的判定定理和性质 6 2012 江西 如图 正方形 ABCD 与正三角形 AEF 的顶点 A 重合 将 AEF 绕顶点 A 旋转 在旋转过程中 当 BE DF 时 BAE 的大小可以是 考点 正方形的性质 全等三角形的判定与性质 旋转的性质 专题 分类讨论 用心 爱心 专心20 分析 利用正方形的性质和等边三角形的性质证明 ABE ADF SSS 有相似三角形的 性质和已知条件即可求出当 BE DF 时 BAE 的大小 应该注意的是 正三角形 AEF 可以 再正方形的内部也可以在正方形的外部 所以要分两种情况分别求解 解答 解 当正三角形 AEF 在正方形 ABCD 的内部时 如图 1 正方形 ABCD 与正三角形 AEF 的顶点 A 重合 当 BE DF 时 ABE ADF SSS BAE FAD EAF 60 BAE FAE 30 BAE FAD 15 当正三角形 AEF 在正方形 ABCD 的外部时 如图 2 正方形 ABCD 与正三角形 AEF 的顶点 A 重合 当 BE DF 时 ABE ADF SSS BAE FAD EAF 60 BAE FAE 360 60 300 BAE FAD 165 故答案为 15 或 165 用心 爱心 专心21 点评 本题考查了正方形的性质 等边三角形的性质 旋转的性质以及全等三角形的判定 和全等三角形的性质和分类讨论的数学思想 题目的综合性不小 7 2012 湛江 如图 设四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形 以对角线 AC 为边作第二个 正方形 ACEF 再以对角线 AE 为边作笫三个正方形 AEGH 如此下去 若正方形 ABCD 的边 长记为 a1 按上述方法所作的正方形的边长依次为 a2 a3 a4 an 则 an 解析 a2 AC 且在直角 ABC 中 AB2 BC2 AC2 a2 a1 同理 a3 a2 2 a4 a3 2 由此可知 an n 1a1 n 1 故答案为 n 1 8 2012 攀枝花 如图 正方形 ABCD 中 AB 4 E 是 BC 的中点 点 P 是对角线 AC 上一动 点 则 PE PB 的最小值为 考点 轴对称 最短路线问题 正方形的性质 专题 探究型 分析 由于点 B 与点 D 关于 AC 对称 所以如果连接 DE 交 AC 于点 P 那 PE PB 的值最 小 在 Rt CDE 中 由勾股定理先计算出 DE 的长度 即为 PE PB 的最小值 解答 解 连接 DE 交 BD 于点 P 连接 BD 点 B 与点 D 关于 AC 对称 DE 的长即为 PE PB 的最小值 AB 4 E 是 BC 的中点 CE 2 在 Rt CDE 中 DE 2 用心 爱心 专心22 故答案为 2 点评 本题考查了轴对称 最短路线问题和正方形的性质 根据两点之间线段最短 可确 定点 P 的位置 9 2012 宜宾 如图 已知正方形 ABCD 的边长为 1 连接 AC BD CE 平分 ACD 交 BD 于 点 E 则 DE 考点 正方形的性质 角平分线的性质 解答 解 过 E 作 EF DC 于 F 四边形 ABCD 是正方形 AC BD CE 平分 ACD 交 BD 于点 E EO EF 正方形 ABCD 的边长为 1 AC CO AC CF CO DF DC CF 1 DE 1 故答案为 1 三 解答题 用心 爱心 专心23 1 2012 临沂 如图 点 A F C D 在同一直线上 点 B 和点 E 分别在直线 AD 的两侧 且 AB DE A D AF DC 1 求证 四边形 BCEF 是平行四边形 2 若 ABC 90 AB 4 BC 3 当 AF 为何值时 四边形 BCEF 是菱形 考点 相似三角形的判定与性质 全等三角形的判定与性质 勾股定理 平行四边形的判 定 菱形的判定 解答 1 证明 AF DC AF FC DC FC 即 AC DF 在 ABC 和 DEF 中 ABC DEF SAS BC EF ACB DFE BC EF 四边形 BCEF 是平行四边形 2 解 连接 BE 交 CF 与点 G 四边形 BCEF 是平行四边形 当 BE CF 时 四边形 BCEF 是菱形 ABC 90 AB 4 BC 3 AC 5 BGC ABC 90 ACB BCG ABC BGC 即 CG FG CG FC 2CG AF AC FC 5 用心 爱心 专心24 当 AF 时 四边形 BCEF 是菱形 2 2012 临沂 已知 在矩形 ABCD 中 AB a BC b 动点 M 从点 A 出发沿边 AD 向点 D 运 动 1 如图 1 当 b 2a 点 M 运动到边 AD 的中点时 请证明 BMC 90 2 如图 2 当 b 2a 时 点 M 在运动的过程中 是否存在 BMC 90 若存在 请给与 证明 若不存在 请说明理由 3 如图 3 当 b 2a 时 2 中的结论是否仍然成立 请说明理由 考点 相似三角形的判定与性质 根的判别式 矩形的性质 解答 1 证明 b 2a 点 M 是 AD 的中点 AB AM MD DC a 又 在矩形 ABCD 中 A D 90 AMB DMC 45 BMC 90 2 解 存在 理由 若 BMC 90 则 AMB DMC 90 又 AMB ABM 90 ABM DMC 又 A D 90 ABM DMC 设 AM x 则 整理得 x2 bx a2 0 b 2a a 0 b 0 b2 4a2 0 方程有两个不相等的实数根 且两根均大于零 符合题意 当 b 2a 时 存在 BMC 90 用心 爱心 专心25 3 解 不成立 理由 若 BMC 90 由 2 可知 x2 bx a2 0 b 2a a 0 b 0 b2 4a2 0 方程没有实数根 当 b 2a 时 不存在 BMC 90 即 2 中的结论不成立 3 2012 烟台 1 问题探究 如图 1 分别以 ABC 的边 AC 与边 BC 为边 向 ABC 外作正方形 ACD1E1和正方形 BCD2E2 过点 C 作直线 KH 交直线 AB 于点 H 使 AHK ACD1作 D1M KH D2N KH 垂足分别为点 M N 试探究线段 D1M 与线段 D2N 的数量关系 并加以证明 2 拓展延伸 如图 2 若将 问题探究 中的正方形改为正三角形 过点 C 作直线 K1H1 K2H2 分别交 直线 AB 于点 H1 H2 使 AH1K1 BH2K2 ACD1 作 D1M K1H1 D2N K2H2 垂足分别为点 M N D1M D2N 是否仍成立 若成立 给出证明 若不成立 说明理由 如图 3 若将 中的 正三角形 改为 正五边形 其他条件不变 D1M D2N 是否仍成 立 要求 在图 3 中补全图形 注明字母 直接写出结论 不需证明 考点 全等三角形的判定与性质 等边三角形的性质 正方形的性质 正多边形和圆 专题 几何综合题 分析 1 根据正方形的每一个角都是 90 可以证明 AHK 90 然后利用平角等于 180 以及直角三角形的两锐角互余证明 D1CK HAC 再利用 角角边 证明 ACH 和 CD1M 全等 根据全等三角形对应边相等可得 D1M CH 同理可证 D2N CH 从 而得证 2 过点 C 作 CG AB 垂足为点 G 根据三角形的内角和等于 180 和平角等于 180 证明得到 H1AC D1CM 然后利用 角角边 证明 ACG 和 CD1M 全等 根据 全等三角形对应边相等可得 CG D1M 同理可证 CG D2N 从而得证 结论仍然成立 与 的证明方法相同 解答 1 D1M D2N 1 分 证明 ACD1 90 ACH D1CK 180 90 90 AHK ACD1 90 ACH HAC 90 用心 爱心 专心26 D1CK HAC 2 分 在 ACH 和 CD1M 中 ACH CD1M AAS D1M CH 3 分 同理可证 D2N CH D1M D2N 4 分 2 证明 D1M D2N 成立 5 分 过点 C 作 CG AB 垂足为点 G H1AC ACH1 AH1C 180 D1CM ACH1 ACD1 180 AH1C ACD1 H1AC D1CM 6 分 在 ACG 和 CD1M 中 ACG CD1M AAS CG D1M 7 分 同理可证 CG D2N D1M D2N 8 分 作图正确 9 分 D1M D2N 还成立 10 分 点评 本题考查了全等三角形的判定与性质 等边三角形的性质 正方形的性质 正多边 形的性质 读懂题意 证明得到 D1CK HAC 或 H1AC D1CM 是证明三角形全等 的关键 也是解决本题的难点与突破口 4 2012 益阳 已知 如图 1 在面积为 3 的正方形 ABCD 中 E F 分别是 BC 和 CD 边上 的两点 AE BF 于点 G 且 BE 1 1 求证 ABE BCF 2 求出 ABE 和 BCF 重叠部分 即 BEG 的面积 用心 爱心 专心27 3 现将 ABE 绕点 A 逆时针方向旋转到 AB E 如图 2 使点 E 落在 CD 边上的点 E 处 问 ABE 在旋转前后与 BCF 重叠部分的面积是否发生了变化 请说明理由 考点 相似三角形的判定与性质 全等三角形的判定与性质 正方形的性质 解直角三角 形 专题 几何综合题 分析 1 由四边形 ABCD 是正方形 可得 ABE BCF 90 AB BC 又由 AE BF 由 同角的余角相等 即可证得 BAE CBF 然后利用 ASA 即可判定 ABE BCF 2 由正方形 ABCD 的面积等于 3 即可求得此正方形的边长 由在 BGE 与 ABE 中 GBE BAE EGB EBA 90 可证得 BGE ABE 由相似三角形的面积 比等于相似比的平方 即可求得答案 3 首先由正切函数 求得 BAE 30 易证得 Rt ABE Rt AB E Rt ADE 可得 AB 与 AE 在同一直线上 即 BF 与 AB 的交点是 G 然后设 BF 与 AE 的交点为 H 可证得 BAG HAG 继而证得结论 解答 1 证明 四边形 ABCD 是正方形 ABE BCF 90 AB BC ABF CBF 90 AE BF ABF BAE 90 BAE CBF 在 ABE 和 BCF 中 ABE BCF 4 分 2 解 正方形面积为 3 AB 5 分 在 BGE 与 ABE 中 GBE BAE EGB EBA 90 BGE ABE 7 分 又 BE 1 用心 爱心 专心28 AE2 AB2 BE2 3 1 4 S BGE S ABE 8 分 3 解 没有变化 9 分 理由 AB BE 1 tan BAE BAE 30 10 分 AB AD AB E ADE 90 AE 公共 Rt ABE Rt AB E Rt ADE DAE B AE BAE 30 AB 与 AE 在同一直线上 即 BF 与 AB 的交点是 G 设 BF 与 AE 的交点为 H 则 BAG HAG 30 而 AGB AGH 90 AG 公共 BAG HAG 11 分 S四边形 GHE B S AB E S AGH S ABE S ABG S BGE ABE 在旋转前后与 BCF 重叠部分的面积没有变化 12 分 点评 此题考查了相似三角形的判定与性质 正方形的性质 全等三角形的判定与性质以 及三角函数等知识 此题综合性较强 难度较大 注意掌握旋转前后图形的对应关 系 注意数形结合思想的应用 5 2012 泰安 如图 E 是矩形 ABCD 的边 BC 上一点 EF AE EF 分别交 AC CD 于点 M F BG AC 垂足为 C BG 交 AE 于点 H 1 求证 ABE ECF 2 找出与 ABH 相似的三角形 并证明 3 若 E 是 BC 中点 BC 2AB AB 2 求 EM 的长 考点 相似三角形的判定与性质 矩形的性质 解直角三角形 解答 1 证明 四边形 ABCD 是矩形 ABE ECF 90 用心 爱心 专心29 AE EF AEB FEC 90 AEB BEA 90 BAE CEF ABE ECF 2 ABH ECM 证明 BG AC ABG BAG 90 ABH ECM 由 1 知 BAH CEM ABH ECM 3 解 作 MR BC 垂足为 R AB BE EC 2 AB BC MR RC 2 AEB 45 MER 45 CR 2MR MR ER RC 1 2 2 3 EM MR2 2 sin453 6 2012 聊城 如图 矩形 ABCD 的对角线相交于点 O DE AC CE BD 求证 四边形 OCED 是菱形 考点 菱形的判定 矩形的性质 专题 证明题 分析 首先根据两对边互相平行的四边形是平行四边形证明四边形 OCED 是平行四边形 再 根据矩形的性质可得 OC OD 即可利用一组邻边相等的平行四边形是菱形判定出结 论 解答 证明 DE AC CE BD 四边形 OCED 是平行四边形 用心 爱心 专心30 四边形 ABCD 是矩形 OC OD 四边形 OCED 是菱形 点评 此题主要考查了菱形的判定 矩形的性质 关键是掌握菱形的判定方法 菱形定 义 一组邻边相等的平行四边形是菱形 四条边都相等的四边形是菱形 对角 线互相垂直的平行四边形是菱形 7 2012 乐山 如图 1 ABC 是等腰直角三角形 四边形 ADEF 是正方形 D F 分别在 AB AC 边上 此时 BD CF BD CF 成立 1 当正方形 ADEF 绕点 A 逆时针旋转 0 90 时 如图 2 BD CF 成立吗 若成立 请证明 若不成立 请说明理由 2 当正方形 ADEF 绕点 A 逆时针旋转 45 时 如图 3 延长 BD 交 CF 于点 G 求证 BD CF 当 AB 4 AD 时 求线段 BG 的长 考点 相似三角形的判定与性质 全等三角形的判定与性质 勾股定理 等腰直角三角形 正方形的性质 旋转的性质 专题 几何综合题 分析 1 ABC 是等腰直角三角形 四边形 ADEF 是正方形 易证得 BAD CAF 根 据全等三角形的对应边相等 即可证得 BD CF 2 由 BAD CAF 可得 ABM GCM 又由对顶角相等 易证得 BMA CMG 根据相似三角形的对应角相等 可得 BGC BAC 90 即可证得 BD CF 首先过点 F 作 FN AC 于点 N 利用勾股定理即可求得 AE BC 的长 继而求得 AN CN 的长 又由等角的三角函数值相等 可求得 AM AB 然后利用 BMA CMG 求得 CG 的长 再由勾股定理即可求得线段 BG 的长 解答 解 1 BD CF 成立 理由 ABC 是等腰直角三角形 四边形 ADEF 是正方形 AB AC AD AF BAC DAF 90 BAD BAC DAC CAF DAF DAC BAD CAF 在 BAD 和 CAF 中 用心 爱心 专心31 BAD CAF SAS BD CF 3 分 2 证明 设 BG 交 AC 于点 M BAD CAF 已证 ABM GCM BMA CMG BMA CMG BGC BAC 90 BD CF 6 分 过点 F 作 FN AC 于点 N 在正方形 ADEF 中 AD DE AE 2 AN FN AE 1 在等腰直角 ABC 中 AB 4 CN AC AN 3 BC 4 在 Rt FCN 中 tan FCN 在 Rt ABM 中 tan ABM tan FCN AM AB CM AC AM 4 BM 9 分 BMA CMG CG 11 分 在 Rt BGC 中 BG 12 分 用心 爱心 专心32 点评 此题考查了相似三角形的判定与性质 全等三角形的判定与性质 等腰直角三角形 的性质 矩形的性质 勾股定理以及三角函数等知识 此题综合性很强 难度较大 注意数形结合思想的应用 注意辅助线的作法 8 2012 资阳 1 如图 1 正方形 AEGH 的顶点 E H 在正方形 ABCD 的边上 直接写 出 HD GC EB 的结果 不必写计算过程 2 将图 1 中的正方形 AEGH 绕点 A 旋转一定角度 如图 2 求 HD GC EB 3 把图 2 中的正方形都换成矩形 如图 3 且已知 DA AB HA AE m n 此时 HD GC EB 的值与 2 小题的结果相比有变化吗 如果有变化 直接写出变化后的结果 不必写计算过程 考点 相似三角形的判定与性质 全等三角形的判定与性质 勾股定理 等腰直角三角形 正方形的性质 分析 1 首先连接 AG 由正方形 AEGH 的顶点 E H 在正方形 ABCD 的边上 易证得 GAE CAB 45 AE AH AB AD 即 A G C 共线 继而可得 HD BE GC BE 即可求得 HD GC EB 的值 2 连接 AG AC 由 ADC 和 AHG 都是等腰直角三角形 易证得 DAH CAG 与 DAH BAE 利用相似三角形的对应边成比例与正方形的性质 即可求得 HD GC EB 的值 3 由矩形 AEGH 的顶点 E H 在矩形 ABCD 的边上 由 DA AB HA AE m n 易证 得 ADC AHG DAH CAG ADH ABE 利用相似三角形的对应边成比例 与勾股定理即可求得 HD GC EB 的值 解答 解 1 连接 AG 正方形 AEGH 的顶点 E H 在正方形 ABCD 的边上 GAE CAB 45 AE AH AB AD 用心 爱心 专心33 A G C 共线 AB AE AD AH HD BE AG AE AC AB GC AC AG AB AE AB AE BE HD GC EB 1 1 3 分 2 连接 AG AC ADC 和 AHG 都是等腰直角三角形 AD AC AH AG 1 DAC HAG 45 DAH CAG 4 分 DAH CAG HD GC AD AC 1 5 分 DAB HAE 90 DAH BAE 在 DAH 和 BAE 中 DAH BAE SAS HD EB HD GC EB 1 1 6 分 3 有变化 连接 AG AC 矩形 AEGH 的顶点 E H 在矩形 ABCD 的边上 DA AB HA AE m n ADC AHG 90 ADC AHG AD AC AH AG m DAC HAG DAH CAG 4 分 DAH CAG HD GC AD AC m 5 分 DAB HAE 90 DAH BAE DA AB HA AE m n ADH ABE DH BE AD AB m n HD GC EB m n 8 分 用心 爱心 专心34 点评 此题考查了相似三角形的判定与性质 正方形的性质 矩形的性质 全等三角形的 判定与性质以及勾股定理等知识 此题综合性较强 难度较大 注意掌握辅助线的 作法 注意数形结合思想的应用 9 2012 德州 如图所示 现有一张边长为 4 的正方形纸片 ABCD 点 P 为正方形 AD 边上 的一点 不与点 A 点 D 重合 将正方形纸片折叠 使点 B 落在 P 处 点 C 落在 G 处 PG 交 DC 于 H 折痕为 EF 连接 BP BH 1 求证 APB BPH 2 当点 P 在边 AD 上移动时 PDH 的周长是否发生变化 并证明你的结论 3 设 AP 为 x 四边形 EFGP 的面积为 S 求出 S 与 x 的函数关系式 试问 S 是否存在最 小值 若存在 求出这个最小值 若不存在 请说明理由 考点 翻折变换 折叠问题 二次函数的最值 全等三角形的判定与性质 正方形的性 质 分析 1 根据翻折变换的性质得出 PBC BPH 进而利用平行线的性质得出 APB PBC 即可得出答案 2 首先证明 ABP QBP 进而得出 BCH BQH 即可得出 PD DH PH AP PD DH HC AD CD 8 3 利用已知得出 EFM BPA 进而利用在 Rt APE 中 4 BE 2 x2 BE2 利 用二次函数的最值求出即可 解答 1 解 如图 1 PE BE EBP EPB 又 EPH EBC 90 EPH EPB EBC EBP 用心 爱心 专心35 即 PBC BPH 又 AD BC APB PBC APB BPH 2 PHD 的周长不变为定值 8 证明 如图 2 过 B 作 BQ PH 垂足为 Q 由 1 知 APB BPH 又 A BQP 90 BP BP ABP QBP AP QP AB BQ 又 AB BC BC BQ 又 C BQH 90 BH BH BCH BQH CH QH PHD 的周长为 PD DH PH AP PD DH HC AD CD 8 3 如图 3 过 F 作 FM AB 垂足为 M 则 FM BC AB 又 EF 为折痕 EF BP EFM MEF ABP BEF 90 EFM ABP 又 A EMF 90 EFM BPA EM AP x 在 Rt APE 中 4 BE 2 x2 BE2 解得 又四边形 PEFG 与四边形 BEFC 全等 即 配方得 当 x 2 时 S 有最小值 6 用心 爱心 专心36 点评 此题主要考查了翻折变换的性质以及全等三角形的判定与性质和勾股定理 二次函 数的最值问题等知识 熟练利用全等三角形的判定得出对应相等关系是解题关键 10 2012 娄底 如图 在矩形 ABCD 中 M N 分别是 AD BC 的中点 P Q 分别是 BM DN 的中点 1 求证 MBA NDC 2 四边形 MPNQ 是什么样的特殊四边形 请说明理由 考点 矩形的性质 全等三角形的判定与性质 直角三角形斜边上的中线 菱形的判定 分析 1 根据矩形的性质和中点的定义 利用 SAS 判定 MBA NDC 2 四边形 MPNQ 是菱形 连接 AN 有 1 可得到 BM CN 再有中点得到 PM NQ 再通过 证明 MQD NPB 得到 MQ PN 从而证明四边形 MPNQ 是平行四边形 利用三角形中位线的 性质可得 MP MQ 进而证明四边形 MQNP 是菱形 解答 证明 1 四边形 ABCD 是矩形 用心 爱心 专心37 AB CD AD BC A C 90 在矩形 ABCD 中 M N 分别是 AD BC 的中点 AM AD CN BC AM CN 在 MAB NDC MAB NDC