河南省郸城县光明中学八年级数学下册 第19章 全等三角形综合复习指导题（二） 华东师大版

1 全等三角形综合指导全等三角形综合指导 一 基础知识回顾一 基础知识回顾 1 三角形的概念 由 的三条线段 相接所组成的图形叫做三角形 它有 条边和 个内角 三角形可用符号 表示 2 三角形的三条重要线段 1 在三角形中 一个内角的平分线与它的对边相交 这个角的顶点和交点之间的线段叫做 三角形的三 条角平分线一定在三角形的内部 且它们交于 2 在三角形中 连结一个顶点和它对边中点的线段 叫做 三角形的三条中线一定在三角形的内部 且 它们交于 3 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线 顶点和垂足之间的线段叫做 在 三角形中 三 条高在三角形的内部 因而交点也在三角形的内部 在 三角形中 只有一条高在三角形的内部 另外两条高恰 好是三角形的两条直角边 因而交点正好是 在 三角形中 有一条高在三角形的内部 另外两条高在 三角形的外部 这三条高的延长线相交于 3 三角形的有关性质 1 三角形的任意两边之和 第三边 任意两边之差 第三边 2 三角形的内角和为 直角三角形的两个锐角 3 三角形具有 即三角形的三边的长度确定后 其形状保持不变 4 三角形的分类 1 按 分类 三三三三三 三三三三三三三 三三三三三三三三 三三三三 三三三三三 2 按 分类 不等边三角形 三角形底边和腰不相等的等腰三角形 等腰三角形 等边三角形 5 全等三角形的性质 全等三角形的 相等 相等 6 三角形全等的判定 1 对应相等的两个三角形全等 简记为 SSS 2 和 对应相等的两个三角形全等 简记为 ASA 3 和 对应相等的两个三角形全等 简记为 AAS 4 和 对应相等的两个三角形全等 简记为 SAS 7 直角三角形全等的判定 直角三角形全等的判定除了可以利用 SSS ASA AAS SAS 判定外 它还可以利用 HL 来判定 即 和 对 应相等的两个直角三角形全等 三角形全等的应用 1 利用尺规作图 2 利用三角形全等测量距离 二 主要思想方法二 主要思想方法 1 方程思想 就是从分析问题的数量关系入手 通过设定未知数 把问题中的已知量与未知量的数量关系 转化为 方程模型 使问题得到解决 例 1 2008 年陕西省 一个三角形三个内角的度数之比为 2 3 7 这个三角形是 A 直角三角形 B 等腰三角形 C 锐角三角形 D 钝角三角形 2 析解 根据条件 可设三个内角的度数分别为 2 3 7xxx 于是有 237180 xxx 解得x 15 所以最大角的度数为 7 15 105 故选 D 评注 在解有关 边 角 的计算题时 如果设适当的未知数 再由已知条件找出相等关系 把问题转化为方程来解 往往思路清晰 解法简捷明了 2 转化思想 利用三角形全等是证明线段或角相等的重要方法之一 但有时不能直接应用 这就需要根据条件通过 作辅助线进行转化构造全等三角形 从而达到解决问题的目的 例 2 如图 1 在 ABC 中 A 90 AB AC BD 是 ABC 的平分线 从 C 点向 BD 作垂线 垂足为 E 试说明 BD 与 CE 之间的数量关系 并说明理由 析解 BD 2CE 理由如下 延长 CE 与 BA 的延长线交于一点 M 在 EBM 和 EBC 中 因为 MBE CBE BE BE BEM BEC 90 所以 EBM EBC ASA 所以 CE ME 即 CM 2CE 因为 MBE M 90 MCA M 90 所以 MBE MCA 在 ABD 和 ACM 中 因为 BAD CAM 90 AB AC MBE MCA 所以 ABD ACM ASA 所以 BD CM 2CE 评注 角平分线常常与全等三角形结合在一起证明线段相等 利用角平分线构造全等三角形的方法主要有翻折 截取 延长等 3 逆向思维的方法 逆向思维是指由果索因 从原问题的相反方向着手的一种思维 即在说明某个问题时 倒过来从结 论中寻找结论成立条件的方法 例 3 2008 年黄石市 如图 2 已知点 D 是 ABC 的边 AB 上一点 AB FC DF 交 AC 于点 E DE EF 试说明 AE CF 析解 若要说明 AE CF 只要说明 它们所在的两个三角形全等 即可 即 AEDEF C 现已具备 AED CEF 尚需要一角或一边对应相等 由 AB FC 可得 ADE CFE 在 AED 和 CEF 中 因为 图 2 图 1 3 ADE CFE DE EF AED CEF 所以 AEDEF C 所以 AE CF 评注 用这种逆向分析的方法 可以顺利地理清许多说理题的解题思路 为说理或证明作好铺垫 三 易错点突破三 易错点突破 1 运用三角形三边关系性质致误 例 1 若等腰三角形的一条边长为 6 厘米 另一边长为 2 厘米 则它的周长为 A 10 厘米 B 14 厘米 C 10 厘米或 14 厘米 D 无法确定 错解 由于本题未指明所给边长是等腰三角形的腰还是底 所以需讨论 当腰长为 6 厘米时 底边长为 2 厘米 则 周长为 66214 cm 当腰长为 2 厘米时 底边长为 6 厘米 则周长为 62210 cm 故选 C 分析 本题错在没有注意到三角形成立的条件 三角形的任意两边之和大于第三边 当腰长为 2 厘米 底边长为 6 厘米时 不能构成三角形 正解 本题只能把 6 厘米作为腰 2 厘米作为底 故三角形的周长为 14 厘米 故选 B 2 应用判定方法致误 例 2 如图 3 已知 AB DC OA OD A D 问 1 2 吗 试说明理由 错解 1 2 理由如下 在 AOB 和 DOC 中 因为 AB DC OA OD AOB DOC 所以 AOB DOC 所以 1 2 分析 不存在 角角角 AAA 和 边边角 SSA 的判定方法 即对于一般三角形 有三个角对应相等的两个三 角形不一定全等 和 有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等 正解 在 AOB 和 DOC 中 因为 AB DC A D OA OD 所以 AOB DOC SAS 所以 1 2 3 不理解 对应 致误 例 3 已知在两个直角三角形中 有一对锐角相等 又有一组边相等 那么这两个三角形是否全等 错解 这两个三角形全等 分析 对 ASA 全等判定法中 对应边相等 没有理解 错把边相等当成对应边相等 正解 这两个三角形不一定全等 如图 4 所示 在Rt EDC 12 CD AB 90CC 显然 ABC 与 EDC 不全等 四 重难点析解四 重难点析解 1 三角形的有关概念 例 1 2008 年邹城市 能把一个三角形分成面积相等的两部分的是该三角形的一条 图 3 图 4 4 1 2 A B D C E 图 6 A 中线 B 角平分线 C 高线 D 边的垂直平分线 分析 根据三角形中线的特征及其面积公式可知 等底同高的两三角形的面积相等 解 只有三角形的一条中线才能把三角形的面积分成相等的两部分 故选 A 评注 三角形的 三线 在解题中有着广泛的应用 因此 要正确认识其定义及特征 2 三角形的三边之间的关系 例 2 2008 年十堰市 下列长度的三条线段 能组成三角形的是 A 1 厘米 2 厘米 3 厘米 B 2 厘米 3 厘米 6 厘米 C 4 厘米 6 厘米 8 厘米 D 5 厘米 6 厘米 12 厘米 分析 判断三条线段能否构成三角形 只需检验两条较短的线段之和是否大于最长线段即可 若大于则能构成 否则 不能构成 解 根据 三角形的两边之和大于第三边 然后观察四个选项 满足两边之和大于第三边的只有 4 厘米 6 厘米 8 厘米 故选 C 评注 涉及三角形三边关系的问题时 应注意三角形三边关系的应用 3 三角形的内角和 例 3 2008 年聊城市 如图 5 11002145 那么 3 的度数是 A 55 B 65 C 75 D 85 分析 本题可利用平角及邻补角的定义 把1 和 2 转化为三角形的内角 解 由图 5 可知 与 1 相邻的补角为80 与 2 相邻的补角为35 由三角形的内角和为180 可得 3 180 803565 故选 B 评注 涉及三角形有关的角度计算问题 一般要考虑到三角形内角和的应用 4 全等三角形的性质 例 4 2008 年常州市 如图 6 已知ABAD AC AE 12 试说明BC DE 分析 要说明BC DE 只要说明 ABCADE 即可 由已知条件可 知 这两个三角形已经具备两边对应相等 因此再找这两边的夹角相等即可 解 12 所以 12DACDAC 1 2 3 图 5 5 即 BACDAE 又ABAD AC AE 所以 ABCADE SAS 所以BC DE 评注 因为全等三角形的对应边相等 所以要说明分别属于两个三角形的线段相等 常常通过说明这两个三角形全等 来解决问题 5 利用三角形全等解决实际问题 例 5 如图 7 A B C D 是四个村庄 B D C 在一条东西走向公路的沿线上 BD 1 千米 DC 1 千米 村庄 AC AD 间也有公路相连 且 AD BC AC 3 千米 只有村庄AB 之间由于间隔了一个小湖 所以无直接相连的公路 现准备在湖面上造一座斜拉桥 测得 AE 1 2 千米 BF 0 7 千米 试求所建造的斜拉桥长有多少千米 分析 由于村庄 AB 之间间隔了一个小湖 无法直接测量 故可利用转化思想 由 ADB ADC 得 AB