2012年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（安徽卷解析版）

1 20122012 年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题 安徽卷 解析年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题 安徽卷 解析 版 版 本试卷分第 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 第 卷第 1 至第 2 页 第 卷第 3 页至第 4 页 全卷满分 150 分 考试时间 120 分钟 考生注意事项 答题前 务必在试题卷 答题卡规定填写自己的姓名 座位号 并认真核对答题卡上所粘 贴的条形码中姓名 座位号与本人姓名 座位号是否一致 务必在答题卡背面规定的地方 填写姓名和座位号后两位 答第 卷时 每小题选出答案后 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改 动 用橡皮擦干净后 再选涂其他答案标号 答第 卷时 必须使用 0 5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写 要求字体工整 笔迹 清晰 作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出 确认后再用 0 5 毫米的黑色墨水签字 笔描清楚 必须在题号所指示的答题区域作答 超出书写的答案无效 在试题卷 草稿纸 上答题无效 考试结束后 务必将试题卷和答题卡一并上交 参考公式 如果事件与互斥 则AB P ABP AP B 如果事件与相互独立 则AB P ABP A P B 如果与是事件 且 则AB 0P B P AB P A B P B 第 卷 选择题 共 50 分 一 选择题 本大题共 10 小题 每小题 5 分 共 50 分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是 符合题目要求的 1 复数满足 则 z 2 5zii z A22i B22i Ci Di 解析 选D 55 2 2 522 2 2 2 i ziizizii iii 2 下列函数中 不满足 的是 2 2 fxf x A f xx B f xxx C f xx D f xx 解析 选C 与均满足 得 满足条件 f xkx f xk x 2 2 fxf x A B D 2 3 如图所示 程序框图 算法流程图 的输出结果是 A3 B4 C D 解析 选B x1248 y 1234 4 公比为等比数列的各项都是正数 且 则 3 2 n a 311 16a a A4 B5 C D 解析 选B 29 31177167216 1616432log5a aaaaaqa 5 甲 乙两人在一次射击比赛中各射靶 5 次 两人成绩的条形统计图如图所示 则 甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中 A B 位数 甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差 C D 解析 选 C 11 45678 6 5 369 6 55 xx 乙甲 3 甲的成绩的方差为 乙的成绩的方差为 22 1 22 12 2 5 22 1 1331 2 4 5 6 设平面与平面相交于直线 直线在平面内 直线在平面内 且 ma b bm 则 是 的 ab 充分不必要条件 必要不充分条件 A B 充要条件 即不充分不必要条件 C D 解析 选A 如果 则与条件相同 bmbba amab bm 7 的展开式的常数项是 25 2 1 2 1 x x A3 B2 C D 解析 选D 第一个因式取 第二个因式取 得 2 x 2 1 x 14 5 1 1 5C 第一个因式取 第二个因式取得 展开式的常数项是2 5 1 5 2 1 2 5 2 3 8 在平面直角坐标系中 将向量按逆时针旋转后 得向量 0 0 6 8 OPOP 3 4 OQ 则点的坐标是 Q A 7 2 2 B 7 2 2 C 4 6 2 D 4 6 2 解析 选A 方法一 设 34 10cos 10sin cos sin 55 OP 则 33 10cos 10sin 7 2 2 44 OQ 方法二 将向量按逆时针旋转后得 6 8 OP 3 2 8 6 OM 则 1 7 2 2 2 OQOPOM 4 9 过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点 点是原点 若 2 4yx F A BO3AF 则的面积为 AOB A 2 2 B2 C 3 2 2 D2 2 解析 选C 设及 则点到准线的距离为 0 AFx BFm A 1l x 3 得 又 1 323coscos 3 23 2cos 1 cos2 mmm 的面积为AOB 1132 23 2 sin1 3 22232 SOFAB 10 6 位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换 任意两位同学之间最多交换一次 进行交换 的两位同学互赠一份纪念品 已知 6 位同学之间共进行了 13 次交换 则收到份纪4 念品 的同学人数为 或 或 或 或 A13 B14 C23 D24 解析 选D 2 6 1315 132C 设仅有甲与乙 丙没交换纪念品 则收到份纪念品的同学人数为人42 设仅有甲与乙 丙与丁没交换纪念品 则收到份纪念品的同学人数为人44 第 II 卷 非选择题 共 100 分 考生注意事项 请用 0 5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答 在试题卷上答题无效 二 填空题 本大题共 5 小题 每小题 5 分 共 25 分 把答案填在答题卡的相应位置 11 若满足约束条件 则的取值范围为 x y 0 23 23 x xy xy xy 解析 的取值范围为xy 3 0 约束条件对应边际及内的区域 ABC 3 0 3 0 1 1 2 ABC 则 3 0 txy 12 某几何体的三视图如图所示 该几何体的表面积是 解析 表面积是 92 5 该几何体是底面是直角梯形 高为的直四棱柱4 几何体的表面积是 22 1 2 25 4 2544 52 492 2 S 13 在极坐标系中 圆的圆心到直线的距离是4sin 6 R 解析 距离是 3 圆的圆心 22 4sin 2 4xy 0 2 C 直线 点到直线 的距离是 30 6 lRxy Cl 02 3 3 2 14 若平面向量满足 则的最小值是 a b 23ab a b A 解析 的最小值是a b A 9 8 22 22 23494 9 444944 8 ababa b aba ba ba ba ba b A AAAA 15 设的内角所对的边为 则下列命题正确的是ABC A B C a b c 若 则 若 则 2 abc 3 C 2abc 3 C 若 则 若 则 333 abc 2 C 2ab cab 2 C 若 则 22222 2ab ca b 3 C 解析 正确的是 222 2 21 cos 2223 abcabab abcCC abab 222222 4 1 2cos 2823 abcabab abcCC abab 当时 与矛盾 2 C 22232233 cabca cb cab 333 abc 取满足得 2 1abc 2ab cab 2 C 取满足得 2 1abc 22222 2ab ca b 3 C 三 解答题 本大题共 6 小题 共 75 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 解 6 答写在答题卡的制定区域内 16 本小题满分 12 分 设函数 2 2 cos 2 sin 24 f xxx I 求函数的最小正周期 f x II 设函数对任意 有 且当时 g xxR 2 g xg x 0 2 x 1 2 g xf x 求函数在上的解析式 g x 0 解析 2 2111 cos 2 sincos2sin2 1 cos2 24222 f xxxxxx 11 sin2 22 x I 函数的最小正周期 f x 2 2 T 2 当时 0 2 x 11 sin2 22 g xf xx 当时 0 2 x 0 22 x 11 sin2 sin2 2222 g xg xxx 当时 2 x 0 2 x 11 sin2 sin2 22 g xg xxx 得 函数在上的解析式为 g x 0 1 sin2 0 22 1 sin2 22 xx g x xx 17 本小题满分 12 分 某单位招聘面试 每次从试题库随机调用一道试题 若调用的是类型试题 则使A 用后 该试题回库 并增补一道类试题和一道类型试题入 库 此次调题工作结束 若AB 调用 的是类型试题 则使用后该试题回库 此次调题工作结束 试题库中现共有B 7 道nm 试题 其中有道类型试题和道类型试题 以表示两次调题工作完成后 nAmBX 试 题库中类试题的数量 A 求的概率 2Xn 设 求的分布列和均值 数学期望 mn X 解析 I 表示两次调题均为类型试题 概率为2Xn A 1 2 nn mnmn 时 每次调用的是类型试题的概率为mn A 1 2 p 随机变量可取X 1 2n nn 2 1 1 4 P Xnp 1 1 2 1 2 P Xnpp 2 1 2 4 P Xnp Xn1n 2n P 1 4 1 2 1 4 111 1 2 1 424 EXnnnn 答 的概率为2Xn 1 2 nn mnmn 求的均值为X1n 18 本小题满分 12 分 平面图形如图 4 所示 其中是矩形 111 ABB AC C 11 BBC C 1 2 4BCBB 2ABAC 现将该平面图形分别沿和折叠 使与所在平 1111 5ABAC BC 11 BCABC 111 ABC 面都 与平面垂直 再分别连接 得到如图 2 所示的空间图形 对此空间图 11 BBC C 111 AA BA CA 形解答 下列问题 8 证明 求的长 1 AABC 1 AA 求二面角的余弦值 1 ABCA 解析 I 取的中点为点 连接 11 BC BC 1 O O 1111 AO OO AO AO 则 面面面ABACAOBC ABC 11 BBC CAO 11 BBC C 同理 面 得 共面 11 AO 11 BBC C 1111 AOAOA O A O 又面 11 OOBC OOAOO BC 111 AOO AAABC 延长到 使 得 11 AOD 1 O DOA 11 O D OAAD OO 面面面面 1 OOBC 111 A BC 11 BBC C 1 OO 111 A BC AD 111 A BC 2222 1 4 2 1 5AAADDA 是二面角的平面角 11 AOBC AOBCAOA 1 ABCA 在中 11 Rt OO A 2222 1111 422 5A OOOAO 在中 1 Rt OAA 222 11 1 1 5 cos 25 AOAOAA AOA AOAO 9 得 二面角的余弦值为 1 ABCA 5 5 19 本小题满分13 分 K 设 1 0 x x f xaeb a ae I 求在上的最小值 f x 0 II 设曲线在点的切线方程为 求的值 yf x 2 2 f 3 2 yx a b 解析 I 设 则 1 x te t 2 2 22 111a t yatbya atatat 当时 在上是增函数1a 0y 1 yatb at 1t 得 当时 的最小值为1 0 tx f x 1 ab a 当时 01a 1 2yatbb at 当且仅当时 的最小值为 1 1 ln x attexa a f x 2b II 11 xx xx f xaebfxae aeae 由题意得 2 22 2 2 12 2 33 3 131 2 2 22 faeba aee f aeb ae 20 本小题满分 13 分 如图 分别是椭圆 12 0 0 FcF c 22 22 1 0 xy Cab ab 的左 右焦点 过点作轴的垂线交椭圆的上半部分于点 1 FxP 过点作直线的垂线交直线于点 2 F 2 PF 2 a x c Q I 若点的坐标为 求椭圆的方程 Q 4 4 C II 证明 直线与椭圆只有一个交点 PQC 10 解析 I 点代入得 11 0 Pc yy 22 22 1 xy ab 2 1 b y a 2 12 0 40 1 4 b a PFQF ccc 又 2 4 a c 222 0 cab a b c 由 得 既椭圆的方程为2 1 3acb C 22 1 43 xy II 设 则 2 2 a Qy c 2 2 1222 0 0 12 b y a PFQFya acc c c 得 2 2 2 PQ b a c a k aa c c 2 222 2 22 222 2 22 2 1 b x xyb a ybxy aba b bx a 过点与椭圆相切的直线斜率PC xcPQ c kyk a 得 直线与椭圆只有一个交点 PQC 21 本小题满分 13 分 数列满足 n x 2 11 0 nnn xxxxc nN I 证明 数列是单调递减数列的充分必要条件是 n x0c II 求的取值范围 使数列是单调递增数列 c n x 解析 I 必要条件 当时 数列是单调递减数列0c 2 1nnnn xxxcx n x 充分条件 数列是单调递减数列 n x 22 12111 0 xxxxccx 得 数列是单调递减数列的充分必要条件是 n x0c II 由 I 得 0C 当时 不合题意0c 1 0 n a