数学培优班题典五年级

专题一专题一 速算与巧算速算与巧算 知识对对碰 做四则混合运算时 首先要全面审题 确定先算哪一步 再算哪一步 最后算哪一步 弄清四则混 合运算的运算顺序至关重要 另外 要全面观察题目的结构 特征 分析题目中数与数之间的运算关系 能运用定律 性质的应尽可能选择简便方法 最后 计算时要做到做完一步 验算一步 以保证计算的 准确性 四则混合运算题根据不同的题型有不同的速算技巧 包括加项法 拆项法 基准数法 凑整法等 名题典中典 例 1 计算 2002 98 997 9996 99995 例 2 计算 2002 1999 1996 1993 1990 1987 16 13 10 7 4 例 3 计算 1 3 5 2001 2 4 6 2000 例 4 计算 13 14 例 5 计算 0 45 10 0 2 6 37 0 7 0 5 例 6 计算 07 256 16 3 9 18 3 85 4 45 0 例 7 计算 例 8 计算 7 例 9 计算 1 0 23 0 34 0 23 0 34 0 65 1 0 23 0 34 O 65 0 23 0 34 例 10 计算 1816 1 1614 1 1412 1 1210 1 例 11 计算 765 1 654 1 543 1 432 1 321 1 魔法训练营 1 计算 1 2 3 4 9 lO 11 27 25 24 22 2 计算 3 6 42 3 3 75 12 5 0 423 28 3 计算 10 5 11 7 57 85 1 7 l 9 3 5 7 9 ll 13 15 4 计算 8 7 98 7 6 87 6 5 76 5 4 65 4 3 54 5 计算 1009998 1 195 543 1 5 432 1 3 321 1 1 6 计算 2004 1 20042003 1 19511950 1 19501949 1 7 计算 90 19 72 17 56 15 42 13 30 1 20 9 12 7 6 5 1 i 8 计算 10297 1 1712 1 127 1 72 1 9 计算 1 234 3456 7 O 1234 12345 O 1234 53088 10 计算 1 0 12 0 23 0 12 0 23 0 34 1 0 12 0 23 5 0 34 0 12 0 23 11 计算 12 5 69 53 3 1 72 3 1 专题二专题二 小数的速算与巧算小数的速算与巧算 知识对对碰 小数的速算与巧算 除了可以灵活运用整数四则运算中我们已经学过的许多速算与巧算的方法外 还可以利用小数本身的特点 计算时要注意审题 善于观察题目中数字的特征 灵活地运用小数的性质 及运算性质 运算技巧 确定合理简便的算法 常用的运算技巧 1 一个数 5 这个数 2 10 一个数 25 这个数 4 100 一个数 125 这个数 8 1000 2 一个数 5 这个数 2 10 一个数 25 这个数 4 100 一个数 125 这个数 8 1000 名题典中典 例 1 计算 2 71 4 56 5 44 7 29 例 2 计算 4 75 2 25 3 5 5 9 例 3 计算 0 9 9 9 99 9 999 9 9999 9 99999 9 9 例 4 计算 l 125 2 125 3 125 4 125 5 125 50 125 例 5 计算 0 125 0 25 0 5 64 例 6 计算 8 6 99 8 6 例 7 计算 1990 198 9 1989 198 8 例 8 计算 053375 0 12507875 6 125875 6725 1 例 9 计算 25 125 0 841 例 10 计算 375 1261 0 75 1301 31375813 例 11 比较下面两个积的大小 2344 1 4322 5 2345 1 4321 5 BA 例 12 计算 2889625 0 10 222888625 0 625 0 625 0 个个个 魔法训练营 1 计算 5 76 1 1 57 7 0 8 2 计算 ll 22 0 22 3300 330 4 4 0 044 55000 3 计算 1 1 2 2 1 2 2 3 1 2 3 99 1 2 99 100 1 2 100 4 计算 1 050 1 01 01 01 01 01 01 0 个 5 计算 2000 199 9 1999 199 8 6 在 内填人一个数 使得下列等式成立 0 27 1 5 1 5 1 5 0 32 0 77 1 5 7 比较下面两个积的大小 A 9 3 B 9 3 8 计算 9999 8 4 999 8 4 99 8 4 9 8 4 9 计算 1 6 11111 1 6 1111 1 6 111 1 6 11 1 6 1 1 6 10 计算 36 2 54 1 8 49 2 11 如果把 0 记作 下面有两个小数 求 a b 和 a b 的值 25000 0 05 个 4000 0 25000 0 0200302001 个个 ba 12 31 719 1 2708 的整数部分是多少 13 0 1 0 2 0 3 0 3 0 4 0 4 0 5 0 5 0 6 0 6 0 7 0 7 0 8 0 8 0 9 14 1 2 3 4 2008 的末两位数字之积是 15 1 4 72 5 89 4 72 5 89 6 90 1 4 72 5 89 6 90 4 72 5 89 专题三专题三 数的整除特征数的整除特征 知识对对碰 1 常见数整除的特征 1 能被 11 整除的数的特征 奇位数字之和与偶位数字之和相减 以大减小 的差是 11 的倍数 2 能被 7 11 或 13 整除的数的特征 最后三位数与其余各位数所组成的数相减 以大减小 所 得差是 0 这个数既能被 7 整除 也能被 11 或 13 整除 如果所得的差是 7 11 或 13 的倍数 这 个数就能被 7 11 或 13 整除 3 能被 3 或 9 整除的数的特征 各位数字之和为 3 或 9 的倍数 4 能被 4 或 25 整除的数的特征 末两位数为 4 或 25 的倍数 5 能被 8 或 125 整除的数的特征 末三位数为 8 或 125 的倍数 6 能被 6 整除的数的特征 这个数既是 2 的倍数 又是 3 的倍数 2 数整除的性质 1 如果数 a b 都能被 c 整除 那么 a b 与 a b 也能被 c 整除 2 如果数 a 能被数 b 整除 c 是整数 那么口 c 也能被 b 整除 3 如果数 a 能被数 b 整除 b 又能被数 c 整除 那么 a 也能被 c 整除 4 如果数 a 能同时被数 b c 整除 而且 b c 互质 那么 a 一定能被积 bc 整除 名题典中题 例 1 判断 25102 能不能被 7 或 11 或 13 整除 例 2 在 内填上适当的数字 使六位数 43217 能被 4 或 25 整除 例 3 自然数 N 由两种数字 O 和 8 组成 且是 15 的倍数 当 N 可能小时 它是 15 的多少倍 例 4 在 685 后面补上三个数字 组成一个六位数 使它分别能被 3 4 5 整除 符合条件的最小六位 数是多少 例 5 已知一个五位数 l691 能被 55 整除 那么符合题意的五位数是几 例 6 四个学生同时做加法练习 老师在黑板上写出了一个六位数 然后把它的个位数字 不等于 0 拿到这个数最左边得到一个新的六位数 老师要求将这个新得的六位数与原来的六位数相加 结果 他们四个人的得数分别是 问 在这些答案中哪一个可能是正确的 为什么 例 7 试将 1 2 3 4 5 6 7 分别填人下面的方框中 每个数字只用 1 次 这是一个三位数 7 1 4 这是一个三位数 这是一位数 使得这三个数中任意两个都互质 其中一个三位数已填好 它是 714 例 8 三个连续自然数在 100 200 之间 其中最小的三位数能被 3 整除 中间的能被 5 整除 最 大的能被 7 整除 试写出所有这样的三个自然数 例 9 如果下面这个 41 位数能被 7 整除 那么中间方格内的数字是几 205209 5555 9999 A 个个 例 10 用 0 1 2 9 十个数字 各用 1 次 组成一个十位数 将这个十位数依次分成三 段 每一段不少于三位数 第一段的数分别能被 1 2 3 整除 第二段的数分别能被 4 5 6 整除 第三段的数分别能被 7 8 9 整除 那么第一段的数是多少 只要求写 1 个答案 魔法训练营 1 在 25 79 这个数的口内填上一个数字 使这个数能被 11 整除 方格内应填 2 在下式 中分别填入三个质数 使等式成立 50 3 有 55 块糖分给甲 乙 丙三个人 甲分的块数是乙的 2 倍 丙最少 但也多于 10 块 三个人各分 到糖多少块 4 把 7 14 20 21 28 30 分成两组 每三个数相乘 使两组数的乘积相等 5 一个三位数减去它的各个数位的数字之和 其差还是一个三位数 求是多少 51xx 6 用数字 1 9 组成九位数 左起第一位能被 1 整除 前两位能被 2 整除 前三位能被 3 整除 前 九位能被 9 整除 已知第七位是 7 求这个九位数 7 173 是个四位数 在 中先后填人三个数字 所得到的三个四位数依次可被 9 11 6 整除 问先 后填入的三个数字的和是多少 8 在 内填上合适的数 使五位数 7 36 能被 15 整除 共有几种不同的填法 9 小明的妈妈要到银行去取钱 可是她忘了存折的密码 她记得密码是六位数 头三位是 586 而且 这个六位数能同时被 3 4 5 整除 且是符合条件中最小的一个 聪明的同学们 你能帮助小明的妈妈 回忆起存折的密码吗 10 有 0 1 4 7 9 五个数字 从中选出四个数字组成一个四位数 例如 1409 把其中能被 3 整 除的四位数从小到大排列起来 第 5 个数的末位数字是多少 专题四专题四 质数 合数及分解质因数质数 合数及分解质因数 知识对对碰 1 概念 质数 一个数除了 1 和它本身没有别的约数 这个数叫做质数 如 5 7 29 合数 一个数除了 1 和它本身 还有别的约数 这个数叫做合数 如 20 45 30 互质数 公约数只有 1 的两个数叫做互质数 分解质因数 把一个合数用质因数相乘的形式表示 叫做分解质因数 如 12 2 2 3 这时 2 和 3 都 是 12 的质因数 2 性质 1 任何大于 1 的合数都能表示成质数的乘积 2 1 既不是质数 也不是合数 质数有无限多个 最小的质数是 2 在质数中只有 2 是偶数 其余的质数全是奇数 每个质数只有两个约数 l 和它本身 3 如果一个质数是某个数的约数 就说这个质数是这个数的质因数 4 合数有无限多个 最小的合数是 4 每个合数至少有三个约数 5 如果把相同的质因数合并为它的幂 则任意大于 1 的整数 N 只能唯一地表示成 是自然数 它们分别是 P1 P2 Pn的指数 此式称为 的标准分解 12 1212 n rrr nn NPPPr rr 式 3 分解质因数的方法 主要是短除法 在小学阶段 试除时一般从最小质数开始 名题典中典 例 1 连续 9 个自然数中至多有几个质数 例 2 边长为自然数 面积为 165 的形状不同的长方形共有多少种 例 3 某小学六年级 4 班王老师带领学生参加植树活动 全班学生恰好平均分成 3 个小组 老师与学 生每人种同样棵数的树 一共种了 364 棵 问六 4 班有学生多少人 每人种树多少棵 例 4 五个相邻自然数的积是 55440 求这五个自然数 例 5 如图 4 1 4 个小三角形的顶点处有 6 个圆圈 如果在这些圆圈中分别填上一个质数 它们的 和是 20 且每个小三角形顶点的数之和相等 问这 6 个质数的积是多少 例 6 100 101 102 2001 2002 的末尾有多少个连续的 0 例 7 已知 其中 p q 为质数 且 P q 均小于 1000 奇数 求的最大值 xqp 1xx 例 8 a b c 都是质数 如果 a b b c 342 求 a b c 例 9 问 360 中共有多少个约数 例 10 一个整数 a 与 1080 的乘积是一个完全平方数 求 a 的最小值与这个平方数 例 11 把后面 8 个数 14 30 33 35 39 75 143 169 等分成两组 使每组中四个数的乘积相等 例 12 已知 a b c 209 请把 a b c 各换成一个质数 使前面的等式成立 魔法训练营 1 2340 有多少个约数 2 有两个质数的和是 33 求这两个质数的积 3 四年级某学生参加数学竞赛 他获得的名次 他的年龄 他得的分数三项的乘积是 2910 这个学 生得第几名 分数是多少 4 已知自然数是两个连续奇数的积 这两个连续奇数的和是多少 5 原价 5 元一本的书 降低几角钱出售 共得款 235 元 那么售出书多少本 6 有两个质数 它们的和既是一个小于 100 的奇数 又是 13 的倍数 这是两个怎样的质数 7 a 与 b 是两个大于 1 的自然数 a 2b a 4b a 6b a 8b a 10b 都是质数 则 a b 8 两个相邻自然数的积是 1980 求这两个相邻的自然数 9 在下面的算式里 四个小纸片各盖住了一个数字 被盖住的四个数字的总和是多少 10 在乘积 1000 999 998 3 2 l 中 末尾连续有多少个零 11 用 1 2 3 4 5 6 7 8 9 这 9 个数字组成质数 如果每个数字都要用到 并且只能用一次 那么这 9 个数字最多能组成几个质数 12 有三个自然数 最大的比最小的大 6 另一个是它们的平均数 而且这三个自然数的乘积是 15400 求这三个自然数 专题五专题五 最大公约数和最小公倍数最大公约数和最小公倍数 知识对对碰 1 基本知识 1 约数与最大公约数 几个数公有的约数 叫做这几个数的公约数 所有的公约数中最大的一个叫做这几个数的最大公约 数 自然数 a b 的最大公约数记作 a b 例如 12 8 4 4 6 10 2 如果 a b l 则 a 与 b 互质 如果 a 是 b 的倍数 则 a b b 自然数 a 能被自然数 b 整除 则称 a 是 b 的倍数 b 是 a 的约数 2 倍数与最小公倍数 几个自然数公有的倍数 叫做这几个数的公倍数 公倍数中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数 一般用符号 a b 表示 a b 的最小公倍数 例如 4 10 20 3 求解方法 求最大公约数常用的方法 短除法 列举法 分解质因数法 辗转相除法 求最小公倍数常用的方法 短除法 分解质因数法 列举法 最大公约数法 2 性质 1 两个数的最大公约数的约数 都是这两个数的公约数 如果 a b d c d 那么 c a c b 2 两个数分别除以它们的最大公约数 所得的商一定是互质的 如果 a b d 那么 a d b d 1 3 若一个数 c 能同时被两个自然数 a b 整除 那么 c 一定能被这两个数的最小公倍数整除 或者 说 一些数的公倍数一定是这些数的最小公倍数的倍数 4 两个自然数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积 例 1 已知两个数分别是 4 和 B 已知 4 2 2 3 5 B 2 3 3 5 求 A B 的最大公约数 例 2 一箱图书可以平均分给 2 3 4 5 6 名小朋友 这箱图书最少有多少本 例 3 三个人绕环行跑道练习骑自行车 他们骑一圈的时间分别是半分钟 45 秒钟和 1 分 15 秒钟 三 人同时从起点出发 最少需要多长时间才能再次同时在起点相会 例 4 在 1500 8000 之间能同时被 12 18 24 和 42 四个数整除的自然数共有多少个 例 5 将一块长 3 57 米 宽 1 05 米 高 0 84 米的长方体木料 锯成同样大小的正方体小木块 问当 正方体的边长是多少时 用料最省且小木块的体积最大 不计锯时的损耗 锯完后木料不许有剩余 例 6 加工某种机器零件 要经过三道工序 第一道工序每个工人每小时可完成 6 个零件 第二道工序 每个工人每小时可完成 10 个零件 第三道工序每个工人每小时可完成 15 个零件 要使加工生产均衡 试设计三道工序工人人数的分配方案 例 7 有 3 根钢管 其中第一根的长度是第二根的 1 6 倍 是第三根的一半 第三根比第二根长 220 厘米 现在把这三根钢管截成尽可能长而又相等的小段 问共可以截成多少段 例 8 四 1 班学生分组做游戏 如果每 3 人一组就多出 1 人 如果每 4 人一组就多出 2 人 如果每 5 人一组就多出 3 人 问 这个班至少有多少个学生 例 9 一支队伍不超过 1000 人 列队时分别按 2 人 3 人 4 人 5 人 6 人一排 最后一排都缺 1 人 改为 7 人一排时正好 问 这支队伍共有多少人 例 10 用自然数 a 去除 374 410 464 得到相同的余数 a 最大是多少 例 11 两个自然数的差是 27 它们的最大公约数与最小公倍数的和是 1179 那么这两个数的和是 魔法训练营 1 A B 两个数都恰恰只含有质因数 3 和 5 它们的最大公约数是 75 已知 A 有 12 个约数 B 有 10 个约数 那么 A B 两数的和等于多少 2 有 12 分米长的铁丝 12 根 18 分米长的铁丝 9 根 24 分米长的铁丝 10 根 现在要把它们截成一 样长的铁丝 不能浪费 截下的铁丝要最长 铁丝长是多少分米 可以截成多少根 3 有铅笔 433 支 橡皮 260 块 平均分配给若干小学生 学生人数在 30 50 之间 分到最后余铅 笔 13 支 橡皮 8 块 问小学生究竟有多少人 4 把一张长 147 厘米 宽 105 厘米的长方形纸截成大小一样且长与宽之比是 5 3 的长方形纸 且没 有剩余 问最少可截成几张 5 现有 252 个红球 396 个蓝球 498 个黄球 把它们分组装在 n 个袋子里 要求每个袋子里都有 红 黄 蓝三种颜色的球 而且每个袋子里的红球数相同 黄球数相同 蓝球数也相同 求 n 最大是几 6 一箱鸡蛋 两个两个数 三个三个数 四个四个数 五个五个数 六个六个数均多出一个 如果 七个七个数正好数尽 问这箱鸡蛋至少有多少个 7 六年级学生参加植树活动 人数在 30 和 50 之间 如果分成 3 人一组 4 人一组 6 人一组或 8 人一组 都恰好分完 六年级参加植树活动的学生有多少人 8 用长 9 厘米 宽 6 厘米 高 7 厘米的长方体木块叠成一个正方体 至少需要这种长方体木块多少 块 9 某班学生参加一次考试 成绩分为优 良 中 下四等 已知该班有的学生得优 有的学生 2 1 3 1 得良 有的学生得中 其余学生得下 该班学生人数不超过 60 人 该班得下的学生有多少人 7 1 10 从甲地到乙地原来每隔 45 米安装一根电线杆 加上两端的共 53 根 现在改为每隔 60 米安装一 根 除两端的两根不必移动外 中间还有多少根不必移动 11 甲校和乙校有同样多的同学参加数学竞赛 学校用汽车把学生送往考场 甲校用的汽车 每车坐 15 人 乙校用的汽车 每车坐 13 人 结果甲校比乙校少派一辆汽车 后来每校各增加一个人参加竞赛 这样两校需要的汽车就一样多了 最后又决定每校再各增加一个人参加竞赛 乙校又要比甲校多派一辆 汽车 问最后两校共有多少人参加竞赛 12 有一个电子钟 每走 9 分钟亮一次灯 每到整时响一次铃 中午 12 时整 电子钟既响铃又亮灯 问 下一次既响铃又亮灯是几时 13 大雪后的一天 小飞和爷爷共同步测一个圆形花圃的周长 他俩的起点和走的方向完全相同 小 飞每步长 48 厘米 爷爷每步长 72 厘米 由于两人脚印有重合 所以各走完一圈后雪地上只留下 40 个脚 印 求花圃的周长 14 有两个油桶 一个容积为 27 升 另一个容积为 15 升 只利用这两个油桶怎样从一个大油桶中倒 出 6 升油来 逻辑学的用处逻辑学的用处 有个学生请教数学家逻辑学有什么用 数学家问他 两个人从烟囱里爬出去 一个满脸烟灰 一 个干干净净 你认为哪一个该去洗澡 当然是脏的那个 学生说 不对 脏的那个看见对方干干净净 以为自己也不会脏 哪里会去洗澡 这就是数学家的逻辑学 专题六专题六 带余除法及同余带余除法及同余 知识对对碰 1 如果 a 是整数 b 是自然数 必有唯一的整数 q 和唯一的整数 r 使得 a b q r r b 其中 r 叫做a 除以 b的余数 q叫做a 除以 b 的不完全商 一个整数 a 除以自然数 b 时的余数只有 0 1 2 3 b 1 这 b 种可能 2 在有余数的除法里 如果被除数和除数都能被同一个自然数整除 那么 余数也能被这个自然数整除 3 在有余数的除法里 如果除数和余数能被同一个自然数整除 那么被除数也能被这个自然数整除 4 如果两个整数 a b 除以同一个自然数 m 所得的余数相同 那么就说 a b 对于 m 是同余的 记作 a b modm 5 一个数除以 11 的余数 与它的奇数位上的数字之和减去偶数位上的数字之和所得的差除以 11 的余数 相同 6 一个数除以 4 的余数 与它的末两位除以 4 的余数相同 7 一个数除以 8 的余数 与它的末三位除以 8 的余数相同 8 一个数除以 9 的余数 与它的各位数字之和除以 9 的余数相同 这个余数也叫做这个数的 弃九数 或 九余数 9 同余的主要性质 1 反射性 a modm 2 对称性若 a b modm 则b a modm 3 传递性 若 a b modm b modm 则 a c modm 4 若 a b modm c d modm 则a c b d modm a c b d modm ac bd modm 名题典中典 例 1 一排吊灯 3 个 3 个地数剩 2 个 4 个 4 个地数剩 3 个 6 个 6 个地数剩 5 个 这排吊灯至少有 多少个 例 2 四盏灯如图 6 1 所示组成舞台彩灯 且每 30 秒钟灯的颜色改变一次 第一次上下两灯互换颜色 第二次左右两灯互换颜色 第三次又上下两灯互换颜色 这样一直进行下去 请问开灯 1 小时四盏 灯的颜色如何排列 例 3 523 除以一个数所得的不完全商是 10 并且除数与余数的差是 5 求除数和余数 例 4 自然数 m 除 13511 13903 和 14589 余数都相同 m 的最大值是多少 例 5 一个数除以 3 余 2 除以 5 余 3 除以 7 余 4 求符合条件的最小自然数 例 6 求 14389除以 7 的余数 例 7 的余数是多少 5555 5555573 个 例 8 70 个数排成一排 除了两头的两个数以外 每个数的 3 倍恰好等于它两边两个数的和 这 一行最左边的几个数是这样的 0 1 3 8 21 问 最右边的一个被 6 除的余数是几 例 9 两个代表团从甲地乘车到乙地 每辆车可乘 35 人 两代表团各坐满若干辆车后 第一代表 团剩下的成员 15 人与第二代表团剩下的成员正好又坐满一辆车 会后 第一个代表团的每个成员分别与 第二个代表团的每个成员都拍一张照留念 如果每个胶卷可拍 35 张照片 那么第一个代表团的每个成员 拍完照片后 相机中的胶卷还可拍几张照片 魔法训练营 1 一个小于 200 的数 它除以 11 余 8 除以 13 余 10 那么这个数是 2 19983除以 7 余数是 A 1B 2 C 3 D 6 3 求乘积 34 37 41 43 除以 13 所得的余数 4 今天是星期五 再过天是星期几 5 用一个正整数去除另一个整数 商是 33 余数是 52 已知被除数 除数 商 余数的和是 2143 求被除数和除数各是多少 6 某班学生分组做游戏 如果每 3 人一组就多出 2 人 如果每 5 人一组就多出 3 人 如果每 7 人一 组就多出 4 人 问这个班至少有多少个学生 7 四位数 2 81 被 17 除余 3 则百位数字 应该代表几 8 一个两位数被它的各位数字的和去除能得到的最大余数是多少 9 两个整数相除 商是 12 余数是 8 并且被除数与除数相差 822 求这两个整数 10 小张在计算有余数的除法时 把被除数 113 错写成 131 结果商比原来多 3 但余数恰好相同 那么 该题的余数是多少 11 一个布袋中装有小球若干个 如果每次取 3 个 最后剩 1 个 如果每次取 5 个或 7 个 最后都 剩 2 个 布袋中至少有小球多少个 12 所有自然数如图 6 2 排列 问 300 位于哪个字母下面 13 求 被 7 除的余数 添添看添添看 在 999 中添一个数字 使形成的四位数可以被四位数 1357 整除 你知道这个数字是几吗 好 告诉你 它是 4 即 9499 验证 9499 1357 7 在 888 中添上两个数字 形成的五位数可以被 1357 整除 有趣的是得数就是你所填写的那两 个数构成的两位数 好了 你来添添看 专题七专题七 分数计算分数计算 知识对对碰 1 有关概念 最简分数 分子和分母是互质数的分数叫做最简分数 也叫做既约分数 分数化简 根据分数的基本性质 把一个分数化为最简分数的过程 叫做分数化简 约分 把一个分数的分子和分母都除以它们的公约数 1 除外 化成与原来分数相等的分数 这种 运算叫做约分 2 分数的基本性质 分数的分子和分母同时乘或除以一个不为 0 的数 分数值的大小不变 分数的基本性质是通分的基础和依据 3 约分方法 1 逐次约分法 把分数的分子和分母逐次除以它们的公约数 直到得出一个最简分数为止 2 一次约分法 把分数的分子和分母都除以它们的最大公约数 就得到一个最简分数 3 辗转相除法 当分子和分母都比较大时 一般先用辗转相除法求它们的最大公约数再约分 4 比较分数的大小 对于分数和来说 如果 则 a b c d adbc c d a b 如果 则 adbc c d a b 如果则 adbc c d a b 名题典中典 例 1 一个分数的分子扩大为原来的 2 倍 分母不变 分数值会发生什么变化 如果分数的分母扩大为 原来的 2 倍 分子不变 分数值会发生什么变化 例 2 计算 01 0 25 4 379625 例 3 计算 48 4 3 6 5 12 11 例 4 化简 525252 252252 525525 252525 例 5 化简 35217201241062531 211471284642321 例 6 计算 8 7 4 6 3 5 2 1 例 7 把下面各分数化成小数 125 11 25 24 25 11 20 17 20 9 例 8 比较和的大小 33335 33331 22227 22224 例 9 一个真分数 分子 分母是两个连续自然数 如果分母加 3 这个分数是 求原分数 5 4 例 10 分母是 1998 的最简真分数有多少个 例 11 比大 比小 分子是 17 的分数共有多少个 7 2 3 1 魔法训练营 1 写出所有分子是 l 分母是两位数 而且只能化成不循环部分有一位数字 循环节最少位数是 2 的混循环小数的分数来 2 指出下面的分数 哪些能化成有限小数 哪些能化成纯循环小数 哪些能化成混循环小数 有限 小数的位数 不循环部分数字的个数 循环节最少位数各是几 40 3 14 3 77 88 12 5 37 75 505 4 3 计算 10098 1 64 1 53 1 42 1 31 1 4 不求值比较和的大小 1991 1988 1990 1990 1989 1991 1991 1988 1989 1990 1989 1992 5 要使成立 那么 A 最多可能表示为多少个不同的自然数 43 3743 37 29 A 6 在分数中 最大数是哪一个 301 151 201 100 35 17 9 4 7 3 7 比较和的大小 654321 218191 456789 152347 8 比 1 大 比 2004 小 分母是 10 的最简分数有多少个 9 观察下面一串分数 则是第几个分数 1 4 2 3 3 2 4 1 1 3 2 2 3 1 1 2 2 1 1 1 30 17 10 分母不大于 50 分子不大于 5 的最简真分数有多少个 11 分母是 20 的所有最简真分数的和是多少 12 化简 1055844633422211 151051284963642321 13 化简 2004100 2003100 2004200420042004042004200420200420042004 2003200320032003032003200320200320032003 个 个 14 分子与分母都是不为 0 的自然数 而且分子 分母的和是十位上数字为 2 的两位数的质数 如果分母 增加 17 则得到的新分数化简后得 求原来的分数 7 1 15 是最简真分数 a 可取的整数有多少个 请写出从小到大排的第五个数 48 7 a 专题八专题八 完全平方数完全平方数 知识对对碰 1 基本概念 一个数如果是某一个整数的平方 那么就称这个数为完全平方数 完全平方数具有下列性质 性质 1 任何一个完全平方数的个位数字只能是 0 1 4 5 6 9 性质 2 个位数字是 2 3 7 8 的数一定不是完全平方数 性质 3 奇数平方的十位数字必是偶数 性质 4 个位数字与十位数字均为奇数的数一定不是完全平方数 性质 5 完全平方数被 2 或 3 或 4 除的余数是 0 或 1 性质 6 完全平方数被 8 除的余数为 0 或 1 或 4 性质 7 在相邻两个完全平方数之间的数一定不是完全平方数 2 判断完全平方数的方法 1 完全平方数个位数字是奇数时 其十位上的数字必为偶数 2 完全平方数的个位数字为 6 时 其十位数字必为奇数 3 凡个位数字是 5 但末两位数字不是 25 的自然数不是完全平方数 4 末尾只有奇数个 0 的自然数不是完全平方数 5 个位数字为 1 4 9 而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数 6 任何偶数的平方一定能被 4 整除 7 任何奇数的平方被 4 或 8 除余 1 即被 4 除余 2 或 3 的数一定不是完全平方数 8 一个完全平方数被 3 除的余数是 0 或 1 即被 3 除余 2 的数一定不是完全平方数 名题典中典 例 1 试问 在 324 897 211 247 546 中 哪些数是完全平方数 例 2 用 300 个 2 和若干个 O 组成的整数有没有可能是完全平方数 例 3 已知一个自然数减去 50 是一个完全平方数 而这个自然数加上 39 也是一个完全平方数 求这 个自然数 例 4 能否找到一个自然数 n 使得 n 和 n 2004 都是完全平方数 例 5 一个四位正整数 加上 400 后就成为一个自然数的完全平方数 这样的四位数的个数是 A 8 B 32 C 64 D 128 例 6 已知一个自然数的平方的十位数字是 6 求这个平方数的个位数字是多少 例 7 下式中的 香港 中国 均代表一个两位自然数 那么香港 中国 香港 2 1997 中国 2 1949 例 8 试证明在 11 111 1111 中没有完全平方数 例 9 一个四位数具有这样的性质 用它的后两位数 如果它的十位数是零 就只用个位数字 去 除这个四位数得到一个完全平方数 即一个自然数的平方 且这个平方数正好是四位数的前两位数加 1 后平方 试写出所有具有上述性质的四位数 魔法训练营 1 试求一个四位数 它是一个完全平方数 并且它的前两位数字相同 后两位数字也相同 2 有两个数 它们各个数位的数字从左到右越来越大 其中一个六位数是另一个数的平方 求这两 个数 3 求一个四位数 使它等于它的四个数字和的四次方 并证明此数是唯一的 4 能不能找到自然数 n 使凡 n 97 都是完全平方数 5 2904 是否为完全平方数 6 有多少个小于 2004 的数 使得它们与 72 相乘均为完全平方数 7 试证不论 o 6 是什么整数 35a 45b 2 都不可能是完全平方数 高僧下棋高僧下棋 在古代印度 一位高僧十分精通棋术 国王正好也喜欢下棋 有一天 国王把这位高僧召到宫里 要与他对奕 国王对他说 听说你棋术十分高超 所以把你请来与我下棋 你不要因为我是国王就不 敢赢我 你要拿出真本事来 如果你赢了我 我可以答应你提出的任何条件 高僧说 既然陛下恩准 我就斗胆与陛下下上几盘 不过如果我赢了你 我只有一个小小的要求 国王说 刚才我说了 你可 以提任何条件 我将满足你的要求 高僧说 我的要求很简单 这棋盘上不是有 64 个格吗 我赢你 一盘 你在第一个格给我一粒米 赢两盘 第二个格里给我两粒米 赢三盘 给我四粒米 四盘给我八 粒米 每一盘都比前一盘多一倍 直到这第六十四格 国王一听哈哈大笑 说 这还不容易 我国 库里有的是米 这点米连九牛一毛也没有 高僧说 陛下可不要反悔 国王说 一言为定 于是 两人就下起棋来 结果高僧赢了 30 盘 你猜国王应该给高僧多少米 专题九专题九 棋盘中的数学棋盘中的数学 知识对对碰 所谓棋盘 常见的有中国象棋棋盘 如图 9 1 1 围棋盘 如图 9 1 2 还有国际象棋棋盘 如 图 9 1 3 以这些棋盘为背景而提出的问题统称为棋盘问题 这里面与数学推理 计算相关的棋盘问 题 就叫做棋盘中的数学问题 解决棋盘中的数学问题所使用的数学知识 统称为棋盘中的数学 名题典中典 例 1 这是一个中国象棋盘 图 9 2 中小方格都是相等的正 方形 河界 的宽等于小正方形的边长 黑方有一个 象 它只 能在 1 2 3 4 5 6 7 位置中的一个 红方有两个 相 它 们只能在 8 9 10 11 12 13 14 中的两个位置 问 这三个棋子 一个黑 象 和两个红 相 各在什么位 置时 以这三个棋子为顶点构成的三角形的面积最大 例 2 如图 9 4 是一个围棋盘 另有一堆围棋子 将这堆棋子往棋盘上放 当按格点摆成某个方阵时 尚余 12 枚棋子 如果要将这个方阵改摆成每边各加一枚棋子正方阵 则差 9 枚棋子才能摆满 问 这堆 棋子原有多少枚 例 3 如图 9 6 1 是一个国际象棋棋盘 A 处有只蚂蚁 蚂蚁只能由黑格进入白格再由白格进入黑 格这样黑白交替地行走 已经走过的格子不能第二次进入 请问 蚂蚁能否从 A 出发 经过每个格子最 后返回到 A 处 若能 请你设计一种路线 若不能 请你说明理由 例 4 国际象棋的棋盘有 64 个方格 有一种威力很大的棋子叫 皇后 当它放在某格上时 它能吃 掉此格所在的斜线和直线上对方的棋子 中间没有棋子的情况下 如图 9 7 1 上虚线所示 如果有五 个 皇后 放在棋盘上 就能把整个棋盘都 管 住 不论对方棋子放在哪一格 都会被吃掉 那么 这五个 皇后 应该放在哪几格上才能控制整个棋盘 例 5 如图 9 8 是半张棋盘 请你用两个车 两个马 两个炮 一个相和一个兵这八个子放在这半个 棋盘上 使得其余未被占据的点都在这八个点的控制二下 要符合象棋规则 相 走 田 字 只能放 在 相 所能到的位置 同样 兵 也只能放在 兵 所能到的位置 马 走 日 字 车 走直线 炮 隔子控制等 例 6 如图 9 10 1 在中国象棋盘上 乙方一只边卒已经过河 它可以向前移一步到 8 也可 以横行一步到 A 要使这个小卒沿最短路线走到对方帅所在的位置 假定前进路上没任何阻难 问有多 少种不同的走法 例 7 围棋盘上横竖各有 19 条线 如图 9 12 在棋盘上组成许多大小不同的正方形 问其中有 多少个和图中右侧小正方形大小一样的正方形 小正方形面积是这个围棋盘面积的 4 1 魔法训练营 1 如图 9 16 是一个棋盘 将一个白子和一个黑子放在棋盘线交叉点上 但不能在同一条棋盘线上 问 共有多少种不同的放法 2 如图 9 17 是象棋盘的一部分 一个小卒过河后沿最短的路线走到对方 帅 处 试问这小卒有多 少种不同的走法 3 如图 9 18 表示某城市的街道图 若从 A 走到日 只能由北往南 由西向东 问共有多少种不同的 走法 4 图 9 19 是一个道路图 4 处有一大群孩子 这群孩子向东或向北走 在从 A 开始的每个路口 都有 一半人向北走 另一半人向东走 如果最后有 60 个孩子到过路口 B 问 先后共有多少孩子到过路口 C 5 如图 9 20 在 5 5 的棋盘上放了二十枚棋子 问 以这些棋子为顶点的正方形共有多少个 6 从 8x8 的方格棋盘 图 9 21 中取出一个由三个小方格组成的 L 形 可旋转 问有多 少种不同的取法 7 如图 9 22 在 5x5 棋盘格中 共有多少个正方形 8 图 9 23 中的正方形被分成 9 个相同的小正方形 它们一共有 16 个顶点 共同的顶点算一个 以 其中不在一条直线上的三个点为顶点 可以构成三角形 在这些三角形中 与阴影三角形有同样大小面 积的有多少个 数学家刘徽数学家刘徽 刘徽 生于公元 250 年左右 是中国数学史上一个非常伟大的数学家 在世界数学史上 也占有重 要的地位 他的杰作 九章算术 和 海岛算经 是我国宝贵的数学遗产 九章算术 约成书于东汉之初 共有 246 个问题的解法 在许多方面 如解联立方程 分数四则 运算 正负数运算 几何图形的体积面积计算等 都属于世界先进之列 但在此之前因解法比较原始 缺乏必要的证明 而刘徽则对此均作了补充证明 在这些证明中 显示了他在多方面的创造性的贡献 他是世界上最早提出十进小数概念的人 并用十进小数来表示无理数的立方根 在代数方面 他正确地 提出了正负数的概念及其加减运算的法则 改进了线性方程组的解法 在几何方面 提出了 割圆术 即将圆周用内接或外切正多边形穷竭的一种求圆面积和圆周长的方法 他利用割圆术科学地求出了圆周 率是 3 14 的结果 刘徽在割圆术中提出的 割之弥细 所失弥少 割之又割以至于不可割 则与圆合体 而无所失矣 这可视为中国古代极限观念的佳作 海岛算经 一书中 刘徽精心选编了九个测量问题 这些题目的创造性 复杂性和富有代表性 都在当时为西方所瞩目 刘徽思想敏捷 方法灵活 既提倡推理又主张直观 他是我国最早明确主张用逻辑推理的方式来论 证数学命题的人 刘徽的一生是为数学刻苦探求的一生 他虽然地位低下 但人格高尚 他不是沽名钓誉的庸人 而 是学而不厌的伟人 他给我们中华民族留下了宝贵的财富 专题十专题十 平面图形的面积平面图形的面积 知识对对碰 1 常她图形的面积 1 三角形面积 底 高 2 2 ahS三角形 2 平行四边形面积 底 高 ahS 平行四边形 3 梯形面积 上底 下底 高 2 2 hbaS梯形 4 长方形面积 长 宽 abS 长方形 5 正方形面积 边长 2 2 aS 正方形 6 圆的面积 2 半径 2 rS 圆 7 菱形的面积 两条对角线乘积的一半 BDACS 2 1 菱形 8 扇形面积 360 2 r 圆心角度数 360 2 rn S 扇形 9 环形面积 大圆半径 2 小圆半径2 22 rRS 环形 2 常用性质 1 等底等高的三角形面积相等 2 高不变 底扩大 或缩小 为原来的多少倍 或几分之一 三角形面积就扩大 或缩小 为原来的 多少倍 或几分之一 3 底不变 高扩大 或缩小 为原来的多少倍 或几分之一 三角形面积就扩大 或缩小 为原来的 多少倍 或几分之一 4 高相等的两个三角形的面积比等于它们的底之比 类似地 底相等的两个三角形的面积比等于它们的 高之比 名题典中典 例 1 正方形 ABCD 的面积是 16 平方米 见图 10 1 E F 分别是 AB 和 BC 的中点 求梯形 AEFC 的 面积是多少 例 2 图 10 2 是平行四边形 面积是 48 平方厘米 求阴影部分的面积 单位 厘米 例 3 如图 10 3 所示 ABC 中 BD 3AD AE EC S ADE 6cm2 求 S ABC 例 4 有一个等腰梯形 底角为上底为 8 厘米 下底为 12 厘米 如图 10 4 所示 求这个梯形的 45 面积是多少平方厘米 例 5 如图 10 5 在正方形 ABCD 中 ABE 的面积是 8 平方厘米 它是 DEC 面积的 求正方形 5 4 ABCD 的面积 例 6 如图 10 6 所示 四边形 ABCD 和四边形 EFDG 都是平行四边形 证明它们的面积相等 例 7 如图 10 7 1 矩形被分成 A B C D 四个小矩形 已知 A 的面积是 2 平方厘米 日的面积是 4 平方厘米 C 的面积是 6 平方厘米 问原矩形的面积是多少 例 8 如图 10 8 所示 在边长为 8 厘米的一个正方形内 以正方形的三条边为直径向正方形内作三 个半圆 求阴影部分的面积 例 9 如图 10 9 两个正方形边长分别是 10 厘米和 6 厘米 求阴影部分的面积 取 3 例 10 一条正方形手帕 它的边长是 18 厘米 手帕上横竖各有两道彩条 其他部分为白色 如图 10 10 1 所示 彩条宽都是 2 厘米 问这条手帕白色部分的面积是多少平方厘米 例 11 将长 15 厘米 宽 9 厘米的长方形的长和宽都分成三等份 长方形内任意一点与分点及顶点连 接 如图 10 11 1 求阴影部分的面积 魔法训练营 1 如图 10 12 大圆的直径为 4 厘米 求阴影部分的面积 取 3 14 2 如图 10 13 大扇形半径是 6 厘米 小扇形半径是 3 厘米 求阴影部分的面积 3 如图 10 14 正方形 ABCD 的边长为 5 厘米 CEF 的面积比 ADF 的面积大 5 平方厘米 求 CE 的长 4 如图 10 15 四个一样大的长方形和一个小的正方形拼成一个大正方形 其中大 小正方形的面积分 别是 64 平方米和 9 平方米 求长方形的长 宽各是多少 5 如图 10 16 ABCD 的底边长 BC 10 直角三角形 BCE 的直角边长 EC 8 已知阴影部分的面积比 A EFG 的面积大 10 求 CF 的长 6 已知正方形 ABCD 的边长为 10 厘米 过这个正方形的四个顶点可作一个大圆 过它的各边中点可作一 个小网 此时再将正方形的对边中点用直线连接起来 得到网 10 17 那么图中阴影部分面积是多少 7 如图 10 18 A B 是两个扇形的圆心 那么两个阴影部分的面积差是多少 8 如图 10 19 在一个直角边长分别为 3 和 4 斜边长为 5 的直角三角形上作三个半圆 求阴影部分的 面积 9 将正面是红色 背面是白色的纸剪成一个直角三角形 ABC 如图 10 20 盖在桌面上 然后将 A 向 上折叠使 A 与 C 重合 这时红色部分的面积为 5 25 平方分米 盖住桌面的面积比原来减少了 9 375 平 方分米 BD 4 8 分米 问折痕的长度是多少分米 1O 用一张斜边长为 29 的红色直角三角形纸片 一张斜边长为 49 的蓝色直角三角形纸片 一张黄色的正 方形纸片 如图 10 21 所示拼成一个直角三角形 问红 蓝两张三角形纸片面积之和是多少 11 如图 10 22 ABCD 是直角梯形 AB 4 厘米 AD 5 厘米 DE 3 厘米 那么 OBC 的面积是多少 12 如图 10 23 甲 乙两图