数列通项公式的常用解法归纳整理学生

数列通项公式的求法集锦数列通项公式的求法集锦 一 一 观察法观察法 例例 1 写出数列的一个通项公式 使它的前 5 项分别是下列各数 1 3 5 9 17 33 2 1 2 1 2 3 8 1 4 5 32 3 2 22 222 2222 22222 注注 在平时学习中要牢记常见的一些数列通项公式 如 n 1 n 2n 2n 1 n n n 1 等 其 1 n 他数列往往由这些基本数列和其他常数进行四则运算得到的 二 公式法二 公式法 1 利用等差数列的通项公式 2 利用等比数列的通项公式 3 利用数列前 n 项和和通项公式的关系式 n S n a 1 1 1 2 n nn Sn a SSn 有些数列给出 n a 的前 n 项和 n S与 n a的关系式 n S n f a 利用该式写出 11 nn Sf a 两式做差 再利用 11nnn aSS 导出 1n a 与 n a的递推式 从而求出 n a 例例 2 数列 n a 的前 n 项和为 n S 求 n a 的通项公式 n 31 例例 3 已知各项均为正数的数列 n a 的前 n 项和为 n S满足 1 S 1 且 6 n S 1 2 nn aa n N 求 n a 的通项公式 例例 4 数列 n a 的前 n 项和为 n S 1 a 1 1 2 nn aS n N 求 n a 的通项公式 三 三 累加法累加法 形如 1 nn aaf n n 2 3 4 且 1 2 1 fff n 可求 则用累加法求 n a 有时若不能直接用 可变形成这种形式 然后用这种方法求解 例例 5 在数列 n a 中 1 a 1 1 1 nn aan n 2 3 4 求 n a 的通项公式 例例 6 2014 全国大纲卷 文 17 数列 an 满足 a1 1 a2 2 an 2 2an 1 an 2 1 设 bn an 1 an 证明 bn 是等差数列 2 求数列 an 的通项公式 四 四 累乘法累乘法 形如 1 n n a f n a n 2 3 4 且 1 2 1 fff n 可求 则用累乘法求 n a 有时若不能直接用 可变形成这种形式 然后用这种方法求解 例例 7 在数列 n a 中 1 a 1 1nn ana 求 n a 例例 8 已知数列 n a 满足 1 a 2 3 1 1 nn n aa n 求 n a 五 构造法五 构造法 类型类型 1 1n a 1 n paqp qp 其中均为常数 且 先用待定系数法把原递推公式转化为先用待定系数法把原递推公式转化为其中其中 这样构造了等比数列 这样构造了等比数列 1nn ap a 1 q p 下面利用等比数列的知识即可求解 下面利用等比数列的知识即可求解 n a 例例 9 已知数列 n a 满足 1 a 1 1n a 21 n a nN 求数列 n a 的通项公式 例例 10 设数列 n a 的首项 1 0 1 a n a 1 3 2 n a n 2 3 4 求 n a 的通项公式 例例 11 已知数列 n a 中 1 a 2 1n a 21 2 n a nN 求 n a 的通项公式 类型类型 2 1n a 1 n n paqp qp 其中均为常数 且 法一 在递推公式两边同时除以法一 在递推公式两边同时除以 得 得 将 将 看成一个新数列 则可用类型看成一个新数列 则可用类型 1n q 1 1 1 nn nn aap qq qq n n a q 一的方法解决 一的方法解决 法二 法二 在递推公式两边同时除以在递推公式两边同时除以 得 得 将 将 看成一个新数列 则可用累看成一个新数列 则可用累 1n p 1 1 1 n nn nn aaq pppp n n a p 加法求解 加法求解 例例 12 已知数列 n a 中 1 a 1 1n a 23n n a 求数列的通项公式 例例 13 已知数列 n a 中 1 a 求数列的通项公式 5 6 1 1 11 32 n nn aa 类型类型 3 1 10 0 nn apaanb ppa 且 这种类型的题目一般是利用待定系数法构造等比数列 即令这种类型的题目一般是利用待定系数法构造等比数列 即令 1 1 nn ax nyp axny 然后与已知递推公式比较 解出然后与已知递推公式比较 解出 从而得到 从而得到是公比为是公比为 p 的等比数列 的等比数列 x y n axny 例例 14 设数列 n a 中 1 a 4 求数列的通项公式 1 3212 nn aann 类型类型 4 1 0 0 r nnn apapa 这种类型的题目一般是将等式两边取对数后转化为类型这种类型的题目一般是将等式两边取对数后转化为类型 1 用待定系数法求解 用待定系数法求解 例例 15 已知数列 n a 中 1 a 1 求数列 n a 的通项公式 2 1 1 0 nn aaa a 类型类型 5 1nn aaf n 将原递推公式改写成将原递推公式改写成 两式相减即得 两式相减即得 然后按奇 然后按奇 21 1 nn aaf n 2 1 nn aaf nf n 偶分类讨论即可偶分类讨论即可 例例 16 已知数列 n a 中 1 a 1 求数列 n a 的通项公式 1 2 nn aan 类型类型 6 1 nn aaf n 将原递推公式改写成将原递推公式改写成 两式做商即得 两式做商即得 然后按奇偶分类讨论即 然后按奇偶分类讨论即 21 1 nn aaf n 2 1 n n f na af n 可可 例例 17 已知数列 n a 中 1 a 1 求数列 n a 的通项公式 1 2n nn aa 六 六 取倒数法 取倒数法 类型类型 1 1 0 00 n nnn n pa ap q raqar qar 且 类型类型 2 有些关于通项的递推关系式变形后含有有些关于通项的递推关系式变形后含有 1nn a a 项 直接求相邻两项的关系很困难 但两项 直接求相邻两项的关系很困难 但两 边同除以边同除以 1nn a a 后 相邻两项的倒数的关系容易求得 从而间接求出后 相邻两项的倒数的关系容易求得 从而间接求出 n a 例例 18 已知数列 n a 1 a 1 1 1 n n n a a a nN 求 n a 例例 19 已知数列 n a 满足 1 3 2 a 且 1 1 3 21 n n n na a an 2n nN 求数列 n a 的通项公式 例例 20 已知各项均为正数的数列 n a 满足 1 3a 且 1 1 1 2 2 nn nn nn aa a a aa nN 求数列 n a 的通 项公式 七 重新构造新方程组求通项法七 重新构造新方程组求通项法 有时数列 n a 和 n b 的通项以方程组的形式给出 要想求出 n a与 n b必须得重新构造关于 n a和 n b的方程组 然后解新方程组求得 n a和 n b 例例 21 已知数列 n a n b 满足 1 a 2 1 b 1 且 11 11 31 1 44 13 1 44 nnn nnn aab bab 2n 求数列 n a n b 的通项公式 分析 该题条件新颖 给出的数据比较特殊 两条件做加法 减法后恰好能构造成等差或等比 数列 从而 再通过解方程组很顺利求出 n a n b 的通项公式 若改变一下数据 又该怎 样解呢 下面给出一种通法