河南省卫辉一中2012届高三数学二轮 备考抓分点透析之专题二函数与导数 文

用心 爱心 专心1 河南省卫辉一中河南省卫辉一中 20122012 届高三二轮备考抓分点透析之数学 文 届高三二轮备考抓分点透析之数学 文 升 升 级版 专题二级版 专题二 函数与导数函数与导数 重点知识回顾重点知识回顾 1 函数是高考数学的重点内容之一 函数的观点和思想方法是高中数学的一条重要的 主线 选择 填空 解答三种题型每年都有 函数题的身影频现 而且常考常新 以基本 函数为背景的综合题和应用题是近几年的高考命题的新趋势 函数的图象也是高考命题的 热点之一 近几年来考查导数的综合题基本已经定位到压轴题的位置了 2 对于函数部分考查的重点为 函数的定义域 值域 单调性 奇偶性 周期性对称 性和函数的图象 指数函数 对数函数的概念 图象和性质 应用函数知识解决一些实际 问题 导数的基本公式 复合函数的求导法则 可导函数的单调性与其导数的关系 求一 些实际问题 一般指单峰函数 的最大值和最小值 典型例题典型例题 1 函数的性质与图象函数的性质与图象 函数的性质是高考考查的重点内容 根据函数单调性和奇偶性的定义 能判断函数的 奇偶性 以及函数在某一区间的单调性 从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性 掌握求函数最大值和最小值的常用方法 函数的图象是函数性质的直观载体 能够利用函 数的图象归纳函数的性质 对于抽象函数一类 也要尽量画出函数的大致图象 利用数形 结合讨论函数的性质 例 1 龟兔赛跑 讲述了这样的故事 领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟 骄傲起来 睡了一觉 当它醒来时 发现乌龟快到终点了 于是急忙追赶 但为时已晚 乌龟还是先 到达了终点 用 S1 S2 分别表示乌龟和兔子所行的路程 t 为时间 则下图与故事情节 相吻合的是 A B C D 答案 B 用心 爱心 专心2 解析 在选项 B 中 乌龟到达终点时 兔子在同一时间的路程比乌龟短 点评 函数图象是近年高考的热点的试题 考查函数图象的实际应用 考查学生解决 问题 分析问题的能力 在复习时应引起重视 例 2 已知定义在 R 上的奇函数 xf 满足 4 f xf x 且在区间 0 2 上是 增函数 若方程 f x m m 0 在区间 8 8 上有四个不同的根 1234 x x x x 则 1234 xxxx 答案答案 8 解析 解析 因为定义在 R 上的奇函 数 满足 4 f xf x 所以 4 f xfx 所以 由 xf为奇函数 所以函数图象关 于直线2x 对称且 0 0f 由 4 f xf x 知 8 f xf x 所以函数是以 8 为周期的周期函数 又因为 xf在区间 0 2 上是增函数 所以 xf在区间 2 0 上也 是增函数 如图所示 那么方程 f x m m 0 在区间 8 8 上有四个不同的根 1234 x x x x 不妨设 1234 xxxx 由对称性知 12 12xx 34 4xx 所以 1234 1248xxxx 点评 点评 本题综合考查了函数的奇偶性 单调性 对称性 周期性 以及由函数图象解答 方程问题 运用数形结合的思想和函数与方程的思想解答问题 2 函数与解方程 不等式的综合问题函数与解方程 不等式的综合问题 函数与方程 不等式 数列是密切相关的几个部分 通过建立函数模型来解决有关他 们的综合问题是高考的考查方向之一 解决该类问题要善于运用转化的思想方法 将问题 进行不断转化 构建模型来解决问题 例 2 x 为何值时 不等式成立 23loglog 2 xx mm 8 6 4 2 0 2 4 6 8 y x f x m m 0 用心 爱心 专心3 解析 当时 1 m 21 21 3 2 0 23 023 0 2 2 x x x x xx x x 当时 10 m 21 3 2 21 3 2 0 23 023 0 2 2 xx xx x x xx x x 或 或 故时 1 m21 x 时 为所求 10 m 21 3 2 xx或 点评 该题考查了对数不等式的解法 其基本的解题思路为将对数不等式转化为普通 不等式 需要注意转化之后的范围发生了变化 因此最后要检验 或者转化时将限制条 x 件联立 3 函数的实际应用函数的实际应用 函数的实际运用主要是指运用函数的知识 思想和方法综合解决问题 函数描述了自 然界中量的依存关系 是对问题本身的数量本质特征和制约关系的一种刻画 用联系和变 化的观点提出数学对象 抽象其数学特征 建立函数关系 掌握有关函数知识是运用函数 思想的前提 考生应具备用初等数学思想方法研究函数的能力 运用函数思想解决有关数 学问题的意识是运用函数思想的关键 例 3 某单位用 2160 万元购得一块空地 计划在该地块上建造一栋至少 10 层 每层 2000 平方米的楼房 经测算 如果将楼房建为 x x10 层 则每平方米的 平均建筑费 用为 560 48x 单位 元 为了使楼房每平方米的平均综合费用最少 该楼房应建为多少 层 注 平均综合费用 平均建筑费用 平均购地费用 平均购地费用 建筑总面积 购地总费用 解析 解析 设楼房每平方米的平均综合费为元 依题意得 y 2160 1000010800 56048 56048 10 2000 yxxxxN xx 则 令 即 解得 2 10800 48y x 0y 2 10800 480 x 15x 当时 当时 15x 0y 015x 0y 用心 爱心 专心4 因此 当时 取得最小值 元 15x y min 2000y 答 为了使楼房每平方米的平均综合费最少 该楼房应建为 15 层 点评 点评 这是一题应用题 利用函数与导数的知识来解决问题 利用导数 求函数的单 调性 求函数值域或最值是一种常用的方法 4 导数与单调性 极 最 值问题 导数与单调性 极 最 值问题 导数作为工具来研究三次函数 指数函数 对数函数的单调性 极值 最值时 具有 其独特的优越性 要理解导数的几何意义 熟练导数的运算公式 善于借助导数解决有关 的问题 例 4 已知函数 其中 32 1 3 3 f xaxbxx 0a 1 当满足什么条件时 取得极值 ba xf 2 已知 且在区间上单调递增 试用表示出的取值范围 0 a xf 0 1 ab 解析 解析 1 由已知得 令 得 2 21fxaxbx 0 xf 2 210axbx 要取得极值 方程必须有解 xf 2 210axbx 所以 即 此时方程的根为 2 440ba 2 ba 2 210axbx 22 1 244 2 bbabba x aa 22 2 244 2 bbabba x aa 所以 12 fxa xxxx 当时 0 a x x1 x 1 x1 x 2 x2 x2 f x 0 0 f x 增函 数 极大 值 减函 数 极小 值 增函 数 所以在 x 1 x2处分别取得极大值和极小值 xf 当时 0 a x x 2 x2 x1 x1 x1 用心 爱心 专心5 x2 F x 0 0 f x 减函数极小值增函 数 极大值减函 数 所以在 x 1 x2处分别取得极大值和极小值 xf 综上 当满足时 取得极值 ba 2 ba xf 2 要使在区间上单调递增 需使在上 xf 0 1 2 210fxaxbx 0 1 恒成立 即恒成立 所以 1 0 1 22 ax bx x max 1 22 ax b x 设 1 22 ax g x x 2 22 1 1 222 a x a a g x xx 令得或 舍去 0g x 1 x a 1 x a 当时 当时 单调增函数 1 a 1 01 a 1 0 x a 0g x 1 22 ax g x x 当时 单调减函数 1 1 x a 0g x 1 22 ax g x x 所以当时 取得最大 最大值为 1 x a g x 1 ga a 所以 ba 当时 此时在区间恒成立 01a 1 1 a 0g x 0 1 所以在区间上单调递增 1 22 ax g x x 0 1 当时最大 最大值为 所以 1x g x 1 1 2 a g 1 2 a b 综上 当时 当时 1 aba 01a 1 2 a b 用心 爱心 专心6 点评 点评 本题为三次函数 利用求导的方法研究函数的极值 单调性和函数的最值 函 数在区间上为单调函数 则导函数在该区间上的符号确定 从而转为不等式恒成立 再转 为函数研究最值 运用函数与方程的思想 化归思想和分类讨论的思想解答问题 模拟演练 1 函数 2 2 log 2 x y x 的图象 A 关于原点对称 B 关于主线yx 对称 C 关于y轴对称 D 关于直线yx 对称 2 定义在 R 上的偶函数的部分图象如右图所示 f x 则在上 下列函数中与的单调性不同的是 2 0 f x A B 2 1yx 1yx C D 3 21 0 1 0 xx y xx 0 x x exo y ex 3 已知定义在 R 上的奇函数 xf 满足 4 f xf x 且在区间 0 2 上是增函 数 则 A 25 11 80 fff B 80 11 25 fff C 11 80 25 fff D 25 80 11 fff 4 定义在 R 上的函数 f x 满足 f x x 0 2 1 0 1 log2 xxfxf xx 则 f 2009 的值为 5 已知函数 f x在 R 上满足 2 2 2 88f xfxxx 则曲线 yf x 在 点 1 1 f处的切线方程是 6 已知函数且 32 1 3 f xxaxbx 1 0f I 试用含的代数式表示 ab 求的单调区间 f x 令 设函数在处取得极值 记点1a f x 1212 x x xx 用心 爱心 专心7 证明 线段与曲线存在异于 的公共 1122 M xf xN xf xMN f xMN 点 7 已知函数 32 22f xxbxcx 的图象在与x轴交点处的切线方程是 510yx I 求函数 f x的解析式 II 设函数 1 3 g xf xmx 若 g x的极值存在 求实数m的取值范围以及 函数 g x取得极值时对应的自变量x的值 参考答案 1 答案 A 解析 由于定义域为 2 2 关于原点对称 又 f x f x 故函数为奇函数 图象关于原点对称 选 A 2 答案 C 解析 根据偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反 故可知求在上单调 2 0 递减 注意到要与的单调性不同 故所求的函数在上应单调递增 而 f x 2 0 函数在上递减 函数在时单调递减 函数 2 1yx 1 1yx 0 在 上单调递减 理由如下 y 3x2 0 x 0 故函数单调 3 21 0 1 0 xx y xx 0 递增 显然符合题意 而函数 有 y 0 x 0 故其在 0 0 x x ex y ex x e 上单调递减 不符合题意 综上选 C 0 3 答案 D 解析 因为 xf满足 4 f xf x 所以 8 f xf x 所以函数是以 8 为 周期的周期函数 则 1 25 ff 0 80 ff 3 11 ff 又因为 用心 爱心 专心8 xf在 R 上是奇函数 0 0f 得0 0 80 ff 1 1 25 fff 而由 4 f xf x 得 1 41 3 3 11 fffff 又因为 xf在区间 0 2 上是增函数 所以0 0 1 ff 所以0 1 f 即 25 80 11 fff 故选 D 4 答案 1 解析 由已知得 2 1 log 21f 0 0f 1 0 1 1fff 2 1 0 1fff 3 2 1 1 1 0fff 4 3 2 0 1 1fff 5 4 3 1fff 6 5 4 0fff 所以函数 f x 的值以 6 为周期重复性出现 所以 f 2009 f 5 1 5 答案 21yx 解析 由 2 2 2 88f xfxxx 得 2 2 2 2 8 2 8fxf xxx 即 2 2 2 44f xfxxx 2 f xx 2fxx 切线方程为12 1 yx 即210 xy 6 解析 I 依题意 得 2 2fxxaxb 由得 1 1 20fab 21ba 由 I 得 32 1 21 3 f xxaxax 故 2 221 1 21 fxxaxaxxa 令 则或 0fx 1x 1 2xa 当时 1a 1 21a 当变化时 与的变化情况如下表 x fx f x x 1 2 a 2 1 a 1 用心 爱心 专心9 fx f x 单调递增单调递减单调递增 由此得 函数的单调增区间为和 单调减区间为 f x 1 2 a 1 1 2 1 a 由时 此时 恒成立 且仅在处 1a 1 21a 0fx 1x 0fx 故函数的单调区间为 R f x 当时 同理可得函数的单调增区间为和1a 1 21a f x 1 单调减区间为 1 2 a 1 1 2 a 综上 当时 函数的单调增区间为和 单调减区间为1a f x 1 2 a 1 1 2 1 a 当时 函数的单调增区间为 R 1a f x 当时 函数的单调增区间为和 单调减区间为1a f x 1 1 2 a 1 1 2 a 当时 得 由 得1a 32 1 3 3 f xxxx x 2 230fxxx 12 1 3xx 由 得的单调增区间为和 单调减区间为