浙江省2013年高考数学第二轮复习 专题升级训练29 解答题专项训练(解析几何) 理

1 专题升级训练专题升级训练 2929 解答题专项训练解答题专项训练 解析几何解析几何 1 设有半径为 3 千米的圆形村落 A B两人同时从村落中心出发 B向北直行 A先向 东直行 出村后不久 改变前进方向 沿着与村落周界相切的直线前进 后来恰与B相 遇 设A B两人速度一定 其速度比为 3 1 问两人在何处相遇 2 已知圆C x2 y2 2x 4y 4 0 问是否存在斜率为 1 的直线l 使得l被圆C截 得的弦为AB 且以AB为直径的圆经过原点 若存在 写出直线l的方程 若不存在 说明 理由 3 设直线l1 y k1x 1 l2 y k2x 1 其中实数k1 k2满足k1k2 2 0 1 证明l1与l2相交 2 证明l1与l2的交点在椭圆 2x2 y2 1 上 4 已知过抛物线y2 2px p 0 的焦点 斜率为 2的直线交抛物线于A x1 y1 2 B x2 y2 x1 x2 两点 且 AB 9 1 求该抛物线的方程 2 O为坐标原点 C为抛物线上一点 若 求 的值 OC OA OB 5 已知椭圆C的中心为坐标原点O 一个长轴端点为 0 2 短轴端点和焦点所组成的 四边形为正方形 直线l与y轴交于点P 0 m 与椭圆C交于相异两点A B 且 2 AP PB 1 求椭圆方程 2 求m的取值范围 6 设椭圆C 1 a b 0 的右焦点为F 过F的直线l与椭圆C相交于A B x2 a2 y2 b2 两点 直线l的倾斜角为 60 2 AF FB 1 求椭圆C的离心率 2 如果 AB 求椭圆C的方程 15 4 7 已知点F1 F2分别为椭圆C 1 a b 0 的左 右焦点 P是椭圆C上的一 x2 a2 y2 b2 点 且 F1F2 2 F1PF2 F1PF2的面积为 3 3 3 1 求椭圆C的方程 2 点M的坐标为 过点F2且斜率为k的直线l与椭圆C相交于A B两点 对于 5 4 0 任意的k R R 是否为定值 若是 求出这个定值 若不是 说明理由 MA MB 8 已知抛物线C1 x2 y 圆C2 x2 y 4 2 1 的圆心为点M 1 求点M到抛物线C1的准线的距离 2 已知点P是抛物线C1上一点 异于原点 过点P作圆C2的两条切线 交抛物线C1 于A B两点 若过M P两点的直线l垂直于AB 求直线l的方程 2 参考答案参考答案 1 解 解 建立如图所示平面直角坐标系 由题意 可设A B两人速度分别为 3v千米 时 v千米 时 再设出发x0小时后 A在点P改变方向 又经过y0小时 在点Q处与B相 遇 则P Q两点坐标为 3vx0 0 0 vx0 vy0 由 OP 2 OQ 2 PQ 2知 3vx0 2 vx0 vy0 2 3vy0 2 即 x0 y0 5x0 4y0 0 x0 y0 0 5x0 4y0 将 代入kPQ x0 y0 3x0 得kPQ 3 4 又已知PQ与圆相切 直线PQ在y轴上的截距就是两人相遇的位置 设直线y x b b 0 与圆x2 y2 9 相切 3 4 则有 3 解得b 4b 32 42 15 4 答 A B相遇点在离村中心正北千米处 15 4 2 解 解 假设l存在 设其方程为y x m 代入x2 y2 2x 4y 4 0 得 2x2 2 m 1 x m2 4m 4 0 再设A x1 y1 B x2 y2 于是x1 x2 m 1 x1x2 m2 4m 4 2 以AB为直径的圆经过原点 即直线OA与OB互相垂直 也就是kOA kOB 1 所以 1 x1 m x1 x2 m x2 即 2x1x2 m x1 x2 m2 0 将x1 x2 m 1 x1x2 m2 4m 4 2 代入整理得m2 3m 4 0 解得m 4 或m 1 故所求的直线存在 且有两条 其方程分别为x y 1 0 x y 4 0 3 证明 1 假设l1与l2不相交 则l1与l2平行 有k1 k2 代入k1k2 2 0 得 k 2 0 这与k1为实数的事实相矛盾 从而k1 k2 即l1与l2相交 2 1 2 方法一 由方程组 Error 解得交点P的坐标为 2 k2 k1 k2 k1 k2 k1 而 2x2 y2 2 2 2 2 k2 k1 k2 k1 k2 k1 1 8 k2 2 k2 1 2k1k2 k2 2 k2 1 2k1k2 k2 1 k2 2 4 k2 1 k2 2 4 此即表明交点P x y 在椭圆 2x2 y2 1 上 3 方法二 交点P的坐标 x y 满足Error 故知x 0 从而Error 代入k1k2 2 0 得 2 0 y 1 x y 1 x 整理后 得 2x2 y2 1 所以交点P在椭圆 2x2 y2 1 上 4 解 解 1 直线AB的方程是y 2 与y2 2px联立 2 x p 2 从而有 4x2 5px p2 0 所以x1 x2 5p 4 由抛物线定义得 AB x1 x2 p 9 所以p 4 从而抛物线方程是y2 8x 2 由p 4 知 4x2 5px p2 0 可化为x2 5x 4 0 从而x1 1 x2 4 y1 2 y2 4 22 从而A 1 2 B 4 4 22 设 x3 y3 1 2 4 4 4 1 4 2 OC 2222 又y 8x3 所以 2 2 1 2 8 4 1 即 2 1 2 4 1 2 32 解得 0 或 2 5 解 解 1 由题意 知椭圆的焦点在y轴上 设椭圆方程为 1 a b 0 y2 a2 x2 b2 由题意 知a 2 b c 又a2 b2 c2 则b 2 所以椭圆方程为 1 y2 4 x2 2 2 设A x1 y1 B x2 y2 由题意 知直线l的斜率存在 设其方程为y kx m 与椭圆方程联立 即Error 消去y则 2 k2 x2 2mkx m2 4 0 2mk 2 4 2 k2 m2 4 0 由根与系数的关系 知Error 又 2 即有 x1 m y1 2 x2 y2 m x1 2x2 AP PB Error 2 2 m2 4 2 k2 2mk 2 k2 整理 得 9m2 4 k2 8 2m2 又 9m2 4 0 时不成立 所以k2 0 得 m2 4 8 2m2 9m2 4 4 9 此时 0 所以m的取值范围为 2 2 3 2 3 2 6 解 解 设A x1 y1 B x2 y2 由题意知 y1 0 y2 0 1 直线l的方程为y x c 其中c 3a2 b2 联立Error 得 3a2 b2 y2 2b2cy 3b4 0 3 解得y1 3b2 c 2a 3a2 b2 y2 3b2 c 2a 3a2 b2 4 因为 2 所以 y1 2y2 AF FB 即 2 3b2 c 2a 3a2 b2 3b2 c 2a 3a2 b2 得离心率e c a 2 3 2 因为 AB y2 y1 1 1 3 所以 2 3 4 3ab2 3a2 b2 15 4 由 得b a c a 2 3 5 3 所以a 得a 3 b 5 4 15 45 椭圆C的方程为 1 x2 9 y2 5 7 解 解 1 设 PF1 m PF2 n 在 PF1F2中 由余弦定理得 22 m2 n2 2mncos 3 化简得 m2 n2 mn 4 由 得mnsin 1 2 PF F S 3 3 1 2 3 3 3 化简得mn 4 3 于是 m n 2 m2 n2 mn 3mn 8 m n 2 由此可得 a 22 又 半焦距c 1 b2 a2 c2 1 因此 椭圆C的方程为 y2 1 x2 2 2 由已知得F2 1 0 直线l的方程为y k x 1 由Error 消去y得 2k2 1 x2 4k2x 2 k2 1 0 设A x1 y1 B x2 y2 则x1 x2 x1x2 4k2 2k2 1 2 k2 1 2k2 1 MA MB x1 5 4 y1 x2 5 4 y2 y1y2 x1 5 4 x2 5 4 k2 x1 1 x2 1 x1 5 4 x2 5 4 k2 1 x1x2 x1 x2 k2 k2 5 4 25 16 k2 1 k2 2k2 2 2k2 1 4k2 k2 5 4 2k2 1 25 16 4k2 2 2k2 1 25 16 7 16 由此可知 为定值 MA MB 7 16 5 8 解 解 1 由题意可知 抛物线的准线方程为 y 1 4 所以圆心M 0 4 到准线的距离是 17 4 2 设P x0 x A x1 x B x2 x 由题意得x0 0 x0 1 x1 x2 2 02 12 2 设过点P的圆C2的切线方程为y x k x x0 2 0 即y kx kx0 x 2 0 则 1 kx0 4 x2 0 1 k2 即 x 1 k2 2x0 4 x k x 4 2 1 0 2 02 02 0 设PA PB的斜率为k1 k2 k1 k2 则k1 k2是上述方程的两根 所以k1 k2 2x0 x2 0 4 x2 0 1 k1k2 x2 0 4 2 1 x2 0 1 将 代入y x2 得x2 kx kx0 x 0 2 0 由于x0是此方程的根 故