江西省鹰潭市2010届高三数学第一次高考模拟考试（理）人教版

用心 爱心 专心 江西省鹰潭市江西省鹰潭市 20102010 届高三第一次模拟考试届高三第一次模拟考试 数学理数学理 一 选择题 一 选择题 本大题共本大题共 1212 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 6060 分分 在每小题给出的四个选在每小题给出的四个选 项中 只有一项是符合题目要求的项中 只有一项是符合题目要求的 把正确答案填入答题卡上的相应空格内把正确答案填入答题卡上的相应空格内 1 1 已知复数 i1 2 i321 i32 0102 Z 则复数 Z A A 0 B 2 C i 2 D i 2 2 2 下列结论正确的是 C A 不等式 x2 4 的解集为 x x 2 B 不等式 x2 9 0 的解集为 x x 3 C 不等式 x 1 2 2 的解集为 x 1 2 x 1 2 D 设 21 x x为0 2 cbxax的两个实根 且 21 xx 则不等式0 2 cbxax的解集为 x x1 x x2 3 3 直线 01cosRyx 的倾斜角的范围是 A 4 3 4 B 4 0 C 4 3 D 4 3 4 0 4 4 ABC 中 角 A B C 满足方程 0 2 sin2coscos2 22 c BAxx的两根之和等于两 根之积的 则ABC 一定是 B A 直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 钝角三角形 5 5 在三棱锥的六条棱中任意选择两条 则这两条棱是一对异面直线的概率为 C A 20 1 B 15 1 C 5 1 D 6 1 6 6 一次考试中 要求考生从试卷上的 9 个题目中选 6 个进行答题 要求至少包含前 5 个题目 中的 3 个 则考生答题的不同选法的种数是 B A 40B 74C 84D 200 7 7 若对应关系 f A B 是从集合 A 到集合 B 的一个映射 则下面说法不正确的是 B A A 中的每一个元素在集合 B 中都有对应元素 B A 中两个元素在 B 中的对应元素必定不同 C B 中两个元素若在 A 中有对应元素 则它们必定不同 D B 中的元素在 A 中可能没有对应元素 8 8 已知函数 f x 0 2 0 2 x xcbxx xf且 0 4 ff 2 2 f 则方程 f x x 解的个数为 C 用心 爱心 专心 A 1B 2C 3D 4 9 9 在直角坐标系中 若方程 222 32 44 yxyyxm表示的曲线是椭圆 则 m 的取值范围为 D A 1 0 B 1 C 5 0 D 5 10 10 函数 bx axf 的图象如右图所示 其中 a b 为常数 则下列结论正确的是 D A 0 1 ba B 0 1 ba C 0 10 ba D 0 10 ba 11 11 已知 sin tan tan 2cos sin f 则 f A cos B cos C sin D sin 12 12 设 2 NX 且总体密度曲线的函数表达式为 Rxexf xx 4 12 2 2 1 则 2 1 xP的值为 A 2 1 B 1 1 C 1 1 2 D 1 21 二 填空题 二 填空题 本大题共本大题共 4 4 小题 每小题小题 每小题 4 4 分 共分 共 1616 分 分 把正确答案填入答题卡上把正确答案填入答题卡上 13 13 正三棱锥 S ABC 的侧棱长为 2 侧面等腰三角形的顶角为 30 过 底面顶点作截面AMN 交侧棱 SB SC 分别于 M N 两点 则 AMN 周长的最小值是 22 14 设 4 3 2 nan是 n x 3 的展开式中x的一次项的系数 则 333 1009 2010 2010 2010 3 3 2 2 aaa 的值是 答案 18 15 15 如图所示 已知 A B C 是椭圆 E 2 2 2 2 b y a x 1 a b 0 上 的三点 BC 过椭圆的中心 O 且 AC BC BC 2 AC 则椭圆的 离心率为 用心 爱心 专心 3 6 e 16 16 给出封闭函数的定义 若对于定义域D内的任意一个自变量 0 x 都有函数值Dxf 0 则 称函数 xfy 在D上封闭 若定义域 1 0 D则给出下列函数 A 13 1 xxf B 1 2 1 2 1 2 2 xxxf C xxf 1 3 D 2 1 4 xxf 其中在 D 上封闭的是 填序号即可 答案答案 BCD 三 解答题 三 解答题 本大题本大题 6 6 小题 共小题 共 7474 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 12 分 在 ABC中 角A B C的对边分别为a b c 2 7 4coscos2 5 7 22 C Cabc 1 求角C的大小 2 求 ABC的面积 解 I 由 2 7 4coscos2 22 C C 得 2 1 cos7 4 2cos1 22 C C 整理 得 2 4cos4cos10CC 4分 解得 1 cos 0 23 CCC 6分 II 由余弦定理得 Cabbaccos2 222 3 C 22 3cabab 8分 又5 7abc ab 6 10分 1133 3 sin6 2222 ABC SabC A 12分 18 本小题满分 12 分 某商场准备在元旦节期间举行促销活动 根据市场调查 该商场决定从 2 种服装商品 2 种 家电商品 3 种日用商品中 选出 3 种商品进行促销活动 试求选出的 3 种商品中至少有一种是日用商品的概率 商场对选出的某商品采用的促销方案是有奖销售 即在该商品现价的基础上将价格 用心 爱心 专心 提高 150 元 同时 若顾客购买该商品 则允许有 3 次抽奖的机会 若中奖 则每次中奖都获得 数额为m的奖金 假设顾客每次抽奖时获奖与否的概率都是 2 1 请问 商场应将每次中奖奖金 数额m最高定为多少元 才能使促销方案对商场有利 解 从 2 种服装商品 2 种家电商品 3 种日用商品中 选出 3 种商品一共有 3 7 C种选法 选出的 3 种商品中没有日用商品的选法有 3 4 C种 所以选出的 3 种商品中至少有一种日用商 品的概率为 35 31 1 3 7 3 4 C C P 4 分 顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额是一随机变量 设为 X 其所有可能值为 0 m 2m 3m 5 分 X 0 时表示顾客在三次抽奖中都没有获奖 所以 8 1 2 1 2 1 0 30 0 3 CXP 6 分 来源 高考资源网 ZXXK 来源 高考资源网 ZXXK 同理可得 8 3 2 1 2 1 21 1 3 CmXP 7 分 8 3 2 1 2 1 2 12 2 3 CmXP 8 分 来源 高考资源网 ZXXK 8 1 2 1 2 1 3 03 3 3 CmXP 9 分 来源 Z xx k Com 于是顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的期望值是 mmmmEX5 1 8 1 3 8 3 2 8 3 8 1 0 10 分 要使促销方案对商场有利 应使顾客获奖奖金总额的期望值不大于商场的提价数额 因此应有 1505 1 m 所以100 m 11 分 故商场应将中奖奖金数额最高定为 100 元 才能使促销方案对商场有利 12 分 19 本小题满分 12 分 如图 四棱锥PABCD 中 PA 底面ABCD 底面ABCD为梯形 ABDC 90CADABC 且PAABBC 点E是棱PB上的动点 当PD 平面EAC时 确定点E在棱 PB上的位置 在 的条件下 求二面角 用心 爱心 专心 ACEP 余弦值 解 在梯形ABCD中 由ABBC ABBC 得 4 BAC 4 DCABAC 又ACAD 故DAC 为 等腰直角三角形 2222DCACABAB 连接BD 交AC于点M 则2 DMDC MBAB PD 平面EAC 又平面EACPDBME 平面 PDEM 在BPD 中 2 PEDM EBMB 即2PEEB 时 PD 平面EAC 方法一 在等腰直角PAB 中 取PB中点N 连结AN 则ANPB 平面 PAB 平面PCB 且平面PAB 平面PCB PB AN 平面PBC 在平面PBC内 过N作NH 直线CE于H 连结AH 由ANCE NHCE 得CE 平面ANH 故AHCE AHN 就是二面角ACEP 的平 面角 在Rt PBC 中 设CBa 则 22 2PBPAABa 来源 K 12 33 BEPBa 12 66 NEPBa 22 11 3 CECBBEa 由NHCE EBCB 可知 NEH CEB NHCB NECE 代入解得 22 a NH 在Rt AHN 中 2 2 ANa tan11 AN AHN NH 13 cos 611 1 AHN 二面角ACEP 的余弦值为 3 6 M E A B C D P H N 用心 爱心 专心 方法二 以A为原点 AB AP所在直线分别为y轴 z轴 如图建立空间直角坐标 系 设PAABBCa 则 0 0 0A 0 0Ba 0C a a 0 0 Pa 2 0 33 a a E 设 1 1 yxn 为平面EAC的一个法向量 则 1 n AC 1 nAE 0 2 0 33 axay aya 解得 11 22 xy 1 2 1 2 1 1 n 设 1 2 yxn 为平面PBC的一个法向量 则 2 nBC 2 nBP 又 0 0BCa 0 BPa a 0 0 ax aya 解得 0 1xy 1 1 0 2 n 6 3 cos 21 21 21 nn nn nn 二面角ACEP 的余弦值为 3 6 文科 文科 在四棱锥 O ABCD 中 OA 平面 ABCD 底面 ABCD 为矩形 AB OA tBC t 0 I 当 t 1 时 求证 BD DC II 若 BC 边有且仅有一个点 E 使得 OE ED 求此时二面角 A CD E 的正切值 解 I 当 t 1 时底面 ABCD 为正方形 ACBD 又因为OACBDOABD面 又OCBDOACOC 面 5 分 II 因为 AB AD AO 两两垂直 分别以它们所在 直线为 x 轴 y 轴 z 轴建立坐标系 如图所示 令 AB 1 可得 t BC 1 则 B 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 O t C t D 7 分 设 BE m 则 1 0 0 1 t mmE 用心 爱心 专心 要使00 1 1 2 tmtmm t mEDOEEDOE即只要 BC 边有且仅有一个点 E 使得 OE ED 1 2 1 0 mt此时 所以 BC 边上有且仅有一个点 E 使得 OE ED 时 E 为 BC 的中点 且 2 1 t 9 分 设面 OED 的法向量 1 yxp 则 0 0 DOp EDp 即 012 0 y yx 解得 1 2 1 2 1 p 取平面 OAD 的法向量 0 0 1 qpq 则的大小与二面角 A DO E 的大小相等或互补 所以 6 30 cos qp 因此二面角 A OD E 的正切值为 5 12 分 20 本小题满分 12 分 已知抛物线 W 2 yax 经过点 A 2 1 过 A 作倾斜角互补的两条不同直线 12 l l 求抛物线W的方程及准线方程 当直线 1 l 与抛物线W相切时 求直线 2 l 的方程 设直线 12 l l 分别交抛物线W于 B C 两点 均不与 A 重合 若以线段 BC 为直径的圆 与抛物线的准线相切 求直线 BC 的方程 解 由于 A 2 1 在抛物线 2 yax 上 所以 14a 即 1 4 a 2 分 故所求抛物线的方程为 2 1 4 yx 其准线方程为1y 3 分 当直线 1 l 与抛物线相切时 由 2 1 x y 可知直线 1 l 的斜率为 1 其倾斜角为45 所 以直线 2 l 的倾斜角为135 故直线 2 l 的斜率为1 所以 2 l 的方程为3yx 6 分 不妨设直线 AB 的方程为1 2 0 yk xk 8 分 由 2 1 2 1 4 yk x yx 得 2 4840 xkxk 10 分 易知该方程有一个根为 2 所以另一个根为42k 所以点 B 的坐标为 2 42 441 kkk A C BO y x 1y 用心 爱心 专心 同理可得 C 点坐标为 2 42 441 kkk 11 分 所以 2222 42 42 441 441 BCkkkkkk 22 8 8 kk 8 2k 9 分 线段 BC 的中点为 2 2 41 k 因为以 BC 为直径的圆与准线1y 相切 所以 2 41 1 4 2kk 由于0k 解得 2 2 k 10 分 此时 点 B 的坐标为 2 22 32 2 点 C 的坐标为 2 22 32 2 直线 BC 的斜率为 32 2 32 2 1 2 22 2 22 所以 BC 的方程为 32 2 2 22 yx 即10 xy 12 分 21 本小题满分 12 分 文科 文科 已知函数 f x和 g x的图象关于原点对称 且 2 2f xxx 求函数 g x的解析式 解不等式 1g xf xx 若 1h xg xf x 在 1 1 上是增函数 求实数 的取值范围 解 设函数 yf x 的图象上任意一点 00 Q xy关于原点的对称点为 P x y 则 0 0 00 0 2 0 2 xx xx yyyy 即 点 00 Q xy在函数 yf x 的图象上 222 22 2yxxyxxg xxx 即 故 由 2 1210g xf xxxx 可得 当1x 时 2 210 xx 此时不等式无解 当1x 时 2 210 xx 解得 1 1 2 x 因此 原不等式的解集为 1 1 2 2 12 11h xxx 1411 1h xx 当时 在上是增函数 1 1 1 1 x 当时 对称轴的方程为 用心 爱心 专心 1 11 1 1 当时 解得 1 11 10 1 当时 解得 0 综上 理科 理科 设函数x ax x xfln 1 在 1 上是增函数 1 求正实数a的取值范围 2 设1 0 ab 求证 ln 1 b ba b ba ba 解 1 0 1 2 ax ax xf对 1 x恒成立 x a 1 对 1 x恒成立 又1 1 x 1 a为所求 5 分 2 取 b ba x 1 0 1 b ba ba 一方面 由 1 知x ax x xfln 1 在 1 上是增函数 0 1 f b ba f 0ln 1 b ba b ba a b ba 即 bab ba 1 ln 8 分 另一方面 设函数 1 ln xxxxG 1 0 11 1 x x x x xG xG在 1 上是增函数且在 0 xx 处连续 又01 1 G 当1 x时 0 1 GxG xxln 即 b ba b ba ln 综上所述 ln 1 b ba b ba ba 12 分 22 本小题满分 14 分 文科 文科 在数列 2 2 1 11 Nnaaa n nn 中 1 求证 数列 2 n n a 为等差数列 2 若 m 为正整数 当 m m a n nmmn m n n 1 3 1 2 2 1 求证时 解 I 由 1 1 22 n nn aa变形得 1 22 1 22 1 1 1 1 n n n n n n n n aaaa 即 用心 爱心 专心 故数列 2 n n a 是以1 2 1 a 为首项 1 为公差的等差数列 5 分 II 法一 由 I 得 n n na2 m m nm m m a n nm m n m n n 1 2 3 1 1 3 1 22 1 即 7 分 令 m n m n nmnfnmnf 1 2 3 1 2 3 1 则 当 m nm nm nf nf nm 1 3 2 1 1 2 时 mm mnm 11 3 2 2 1 1 3 2 1 1 又 2 3 2 2 1 2 1 1 2 1 1 1 m m m C m m m m m 1 2 3 2 1 1 则 1 1 nf nf nf 则 为递减数列 当 m n 时 1 nfnf 2nfnm时当 递减数列 9 分 m m mmfxf mm 1 1 4 9 1 4 9 2 11 max 故只需证 要证 2 1 1 1 4 91 2 3 1 2 m mm m m m nm mm m n 而即证时 4 9 22 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 1 2 11 1 1 22 010 mm m mm mm C m CC m mmm m 故原不等式成立 14 分 法二 由 I 得 n n na2 用心 爱心 专心 m m nm m m a n nm m n m n n 1 2 3 1 1 3 1 22 1 即 7 分 令 1 2 3 ln 1 2 3 2 2 3 1 m xm xfmxxmxf m x m x 则 2 0 1 1 2mxfxf m xm mx在即 上单调递减 9 分 也即证时而2 1 1 1 4 9 m m m 4 9 22 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 1 2 11 1 1 22 210 m m mmm mm C m CC m mmm m 故原不等式成立 14 分 理科 理科 已知数列 n a中 1 1 3 a 当2n 时 其前n项和 n S满足 2 2 21 n n n S a S 1 求 n