浙江省嘉兴市初中数学教学论文 物以类聚—试谈类比思想在初中数学教学教学中的实践与探索

1 物物 以以 类类 聚聚 试谈类比思想在初中数学教学中的实践与探索试谈类比思想在初中数学教学中的实践与探索 摘要 类比思想在初中数学教学中应用广泛 类比的魅力在于它可以使数学学习更容 易 更生动 更形象 有利于学生自主探索与创新思维的培养 通过概念的类比 理解概 念的本质 通过知识结构的类比 构建起知识的网络 通过思维的类比 突破学生学习思 维难点 提高初中数学学习的有效性 关键词 类比 概念 学习策略 知识结构 思维方式 有效性 类比是依据两个对象之间存在着某些相同或相似的属性 推出它们存在其它相同或相 似的属性的思维方法 数学上的类比是指依据两类数学对象的相似性 有可能将已知的一类数学对象的性质 迁移到另一类未知的对象上去的一种合情推理 它能够解决一些看似复杂困难的问题 从 迁移过程看 有些类比十分明显 直接 比较简单 而有些类比需建立在抽象分析的基础 上才能实现 类比的作用机制可以用如下的框图来表示 一个类比包括目标问题和原问题两个部分 目标问题是需要解决的问题 原问题是已 经解决的 并且是已经掌握的 比较常见 比较熟悉 比较形象具体 比较容易明白的问 题 原问题与目标问题之间是平行关系 类比原问题解决目标问题 通过类比学会目标问 题 初中数学教学中存在很多可以类比的知识与方法 比如 一次函数 反比例函数 二 次函数之间的学习思维的类比 一元一次方程与一元二次方程之间的解法类比 分式概念 计算与分数概念 计算的类比等等 著名教育家玻利亚曾形象地说过 类比是一个伟大 的领路人 在初中数学学习中 类比思想是理解概念 锻炼思维 构建知识网络的重要手 段 为此 教师在教学中应加强类比思想和方法的渗透与引导 强调类比的作用和意义 使学生更好地理解数学 促进自主学习与创新意识的培养 建构完整的数学知识结构 形 成知识网络 提高数学学习的有效性 类比思想方法的渗透与引导可以从以下五个方面进 行 1 概念类比 理解本质辩异同 数学概念是数学思维的细胞 是形成数学知识体系的要素 是基础知识的核心内 容 在初中数学教学中 数学概念的教学是重要的一环 对于概念本质的理解是学生学习 原问题目标问题 联想 类比 目标问题 2 数学的一个难点 如何有效的进行突破呢 进行概念的类比教学不失为一种有效的途径与 方法 1 1 概念定义形式类比 在初中数学学习中有大量的概念 如果孤立地去理解与记忆这些概念 会成为学生学 习的一个负担 但从概念的定义形式上看 有一部分概念的定义形式是相似的 通过这些 概念之间的类比 进一步理解概念的本质 例如 三角形 四边形 多边形概念分别为 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的图形叫做三角形 由在同一平面且不在同一条直线上的四条线段首尾顺次连接所组成的图形叫做四边 形 由在同一平面且不在同一直线上的多条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做多边形 从概念的定义形式上来看 是对一类图形条件的限制 形式上是一致的 不同之处 一是三角形定义中没有 在同一平面 二是组成线段条数 其他都是相一致的 通过这样 的类比 学生能从一个新的角度与高度对这三个概念进行认识与理解 进一步理解概念的 本质 1 2 概念形成过程类比 著名的学习理论家奥苏贝尔指出 要进行有意义的学习必须知道学生已经知道了什 么 在教学新浙教版七年级上册第三章实数 3 3 立方根时 考虑到 平方根 与 立方根 两节在内容与知识展开顺序上是平行的 内容主要是研究立方根的概念和求法 知识展开 顺序是先从具体的计算出发类比给出立方根的概念 然后研究立方根的特征 而在本课中 平方根的概念 表示方法等都是学生原有的知识 为了建立立方根的概念 充分 借用 平方根的有关概念的产生过程进行类比 新旧知识通过类比联系 既有利于复习巩固平方 根 又有利于立方根概念的理解和掌握 具体教学过程如下 先列表复习平方根的有关知识 然后魔方展示 抽象出立方体 1 若魔方的体积是 8cm3 则棱长是多少 cm 为什么 23 8 棱长是 2cm 为将要学习的立方根与立方运算是互逆运算作铺垫 2 若魔方的体积是 80cm3 则棱长是多少 cm 为什么 a3 80 3 这里的 2 和a我们能否把它取个名 生 立方根 4 你为什么取这个名呢 生 根据平方根的定义猜想得到的 5 那么什么是立方根呢 生 3 6 一个数a的平方根你怎样表示 生 a 7 一个数a的立方根你又想怎样去表示呢 生 1 生 2 纠错 生 3 改正 3 a 教师通过问题串 把立方根的定义 表示方法与平方根定义 表示方法联系在一起 采用类比的数学思想 自主学习立方根的定义与表示方法 学得自然 轻松 在回顾与拓展中设置了一个学生 跳一跳 能解决的问题 的含义 a的取值 读 4 a 法分别是什么呢 生 1 四次方根 生 2 算术四次方根 学生对的读法 写法 含义 a的取值都能进行明确的回答与分析 这样的知识拓 4 a 展 显然是教师采用概念形成类比的结果 开启了学生思维的大门 找到了学习新知的有 效方法与途径 数学概念是数学知识的基础 学生对数学概念的形成过程 同化过程 就决定了对数 学概念掌握的程度 只有理解数学概念 剖析概念 抓住概念的本质 才能举一反三 触 类旁通 2 策略类比 讲究学法求效率 2 1 整体性解决问题策略类比 学生对新信息的接收是有意义的 是从已 有的经验与知识出发来学习新知识的 在这一 建构与认识过程中 类比起到了非常重要的作 用 运用整体性解决问题策略类比的思想方法 能使学生轻松地掌握新的数学知识与方法 在 探索中培养学生的创新思维 提高数学学习的 效率 在教学反比例函数时 采用整体解决问题 类比的思想 把正比例函数 一次函数图像性 质作为原问题 教师引导学生自主探究 动手操作 合作交流 学习目标问题 反比例 函数的图象与性质 教学流程设计如右 由于在教学中渗透了类比思想 在学习反比例函数k的几何意义时 学生得到了与课 本不同的结果 学生类比正比例函数 正比例函数k的变化与它的图形产生直接的动态关系 在电脑 类比 类比 正比例函数 反比例函数 正比例函数的图象 正比例函数的性质 反比例函数的图象 反比例函数的性质 以类比为主线 k 的几何意义 k 的几何意义 类比 知识拓展应用知识拓展应用 4 上改变k的取值 通过实际的操作 发现如下新的规律 生 1 当k 0 时 k越小 反比例函数的图象越来越靠近坐标轴 当k 0 时 k越大 反比例函数的图象越来越靠近坐标轴 生 2 也可以用一句话来说 即越小 反比例函数的图象越靠近坐标轴 k 事实上 在备课时根本没有想到k与图象的这一关系 只是凭自己的教学经验 学生 这一独立自主的发现 极大地震撼了我 使我认识到学生的潜力是无限的 同时也说明了 在数学教学中类比思维的渗透 培养了学生的自主探索的能力 为学生的创新提供了思维 的空间与方法 2 2 个体性解决问题策略类比 在解决数学中的一个新问题时 学生可以通过联想 搜索学过的知识与解决问题的策 略 找到一个原问题 通过与原问题的解决策略进行类比 用原问题的解决策略去解决目 标问题 例如教学 求多边形内角和 学生通过联想搜索 回忆求四边形内角和的策略 把 四边形分解为三角形 然后用三角形内角和得到四边形的内角和 那么是否可以用同样的 策略来解决多边形的内角和呢 通过图形的分割即从多边形的一个顶点作对角线 把多边 形分割成 n 2 个三角形 在利用三角形内角和就可以求的多边形的内角和等于 n 2 180 3 知识结构类比 构建网络促升华 知识只有构建成网络后 学生才能从更高的角度整体地把握知识 而知识结构类比就 是建立知识网络的一种有效的好方法 它能揭示这些知识之间的内在联系 通过知识结构 多边形边数 3456 n 从多边形的 一个顶点作 对角线 分割后所得三 角形个数 1234 n 2 多边形的内角 和 180 2 180 3 180 4 180 n 2 180 5 类比能使知识得到横向拓宽 也能进行递进的深化 3 1 横向类比 如在讲解平行四边形的判定及性质时 我们引导学生把一般的平行四边形与矩形 菱 形 正方形的性质列成表格进行知识结构类比 进一步明确它们之间的关系 边角对角线 平行四边形对边平行且相等对角相等互相平分 矩形对边平行且相等四个角都是直角互相平分且相等 菱形四边都相等对角相等互相平分且垂直 正方形四边都相等四个角都是直角互相平分 相等且垂直 通过上面的表格 对平行四边形 矩形 菱形 正方形从边 角 对角线三个方面进 行类比 指出它们之间的相同之处 同时也理解它们之间的不同之处 从知识结构的角度 来把握特殊四边形的性质 构建知识的体系与网络 数学知识之间存在着紧密的联系 类比成为知识联系的纽带 通过横向类比既加强 了知识间的对比 同时又鲜明地展示了知识的获取过程 形成清晰的知识脉络 3 2 纵向类比 圆台 圆柱 圆锥这一知识点中有比较多的公式 是一个难点 这三者之间的知识本 质通过纵向类比 学生就产生了一种豁然开朗的感觉 首先让学生了解圆台 圆柱 圆锥之间的关系 以圆台为基础 圆锥可以是看着圆台 的上底面缩小为一个点形成的 而圆柱就是上下两个底面大小一样的圆台 在这个基础之 上 对于这三个几何体的侧面积公式就可以有一个重新的认识 这三个侧面积公式分别为 S圆台侧面积 R r l S圆锥侧面积 Rl S圆柱侧面积 2 Rh 事实上通过公式的类比 我 们可以发现这三个公式在本质上是一样的 圆锥 圆柱的侧面积公式都是圆台侧面积的特 殊情况 即当r 0 是就成了圆锥的侧面积公式 当R r时成为了圆柱的侧面积公式 通过 公式中数学本质的类比 进一步理清公式之间的关系 使知识成为一个纵向的知识链条 构建一个纵向的网络结构 提高了学习的效率 4 思维方式类比 突破难点会创新 数学思维的呈现形式常常是隐蔽的 难以从教材中获取 这就要求教师在数学教学中 有意识地 有目的地进行思维方法的渗透 通过数学思维的类比 不断在解决问题的过程 中深化引导 学生的数学思维能力就会得到相应的提高 6 4 1 由表及里 类比 在 合并同类项 一课中创设了如下情景 1 实物归类 教师把学习用品 玩具 零食 形状有圆 方 三角形 混在一起 让学生按照自己 的标准进行分类 要求学生回答以下问题 你的分类的标准是什么 假如分类标准一 样 则分类是否唯一 你有几种分类方法 2 多项式中项的归类 观察多项式 2x 8y 4z x y回答下列问题 你想把哪些项归为一类 你是根据什么特征来分类的 那么 3a2b 4ab2 3 5a2b 2ab2 2ab 6ab 8 呢 学生分 小组进行讨论 并由代表集中发言 其他组进行补充完善 实物归类的主要目的是让学生感受生活中存在分类现象 并且通过实物分类 让学生 明确分类的标准与方法 事实上学生通过准确的实物分类理解了分类的意义与标准 再出示多项式 让学生进行分类 学生一定会与实物分类进行类比 也会有不同的分 类方法 比如对于 2x 8y 4z x y 有的学生利用系数的正负来进行分类 而同 类项只是分类中的一种特殊情况 数学学习要充分利用学生所熟悉的生活背景 把数学知识的学习融入到学生的生活中 通过 由表及里 类比 获得数学本质和模型 象上面生活中的分类方法与标准是原问题 是学生所熟悉的 了解的 由实物分类类比到数学分类 学生觉得数学并不是那样的神秘 与抽象 离学生的生活是那样接近 把日常生活中普实的方法移植到比较抽象的数学中 从而更容易 更切实地理解数学思维 提高了学生学习的兴趣 降低了数学学习的难度 加强了数学与实际的联系 4 2 由简到难 类比 在初中数学学习中存在较多的难题 但通过思维方法的类比 由简到难 也就变得容 易解决了 例如 如图 已知 Rt ABC中 C 90 AC 4 BC 3 求如 图放置的两个正方形的边长 目标问题对生来说显得比较复杂 通过回忆 寻找原问题 得 到课本中的的例题 即在一个直角三角形中求一个正方形的边长 通过作斜边上的高 再 利用相似三角形 就可得到正方形的边长 C B A D EF 7 利用类比的思维方法 同样对此题作AB边上的高 设一个正方形的边长为x 利用 CEF ABC得到 解得 进一步思考 可以扩展到求如图放置的 5 2 5 12 5 12 x x 49 60 x n个正方形的边长 利用 CEF ABC得到 解得 进一步 5 5 12 5 12 nx x 2512 60 n x 可以 把正方形换成半圆 结论又会怎么样呢 4 3 由此及彼 类比 勾股定理也可以表述为 分别以直角三角形两条直角边为边长的两个正方形的面积之 和 等于以斜边为边长的正方形的面积 即S1 S2 S3 如图 1 那么如果以直角三角形的 三条边a b c为边 向形外分别作正三角形 如图 2 那么是否存在S1 S2 S3呢 根据正三角形的性质和勾股定理 不难求得正三角形BCD的高为 于是 a 2 3 同理 2 1 4 3 2 3 2 1 aaas 2 2 4 3 bs 2 3 4 3 cs S1 S2 S3这说明 分别以 4 3 4 3 4 3 2222 21 babass 222 cba 直角三角形的三条边a b c为边向形外作正三角形 也存在S1 S2 S3 类似的 上述结果是否适合其他图形 其实在 几何原本 第六卷命题 31 就曾介绍 在一个直角三角形中 在斜边上所画的任何图形的面积 等于在两条直角边上所画的与 其相似的图形的面积之和 如图 3 也存在S1 S2 S3 上面就是由学生熟悉的图形正方形的解法类比正三角形 再到只要是相似图形就可以 由此及彼的思维类比 突破了难点 5 反思类比 提高思维深刻性 C B A D EF n 个 AB C ba c S2 S3 S1 C A B ba c S2 S1 S3 图 1 图 2 B A C ab c S1 S2 S3 图 3 8 利用类比方法可以深刻地理解概念 公式 定理的实质 分清新旧知识的联系和区别 也可以数题一法 概括出一类问题的解法规律 但也要防止生搬硬套 发生定势思维的错 误 例如 在七年级下册 线段 的学习中曾出现这么一题 一条线段上有n个点 问共有几条 线段 每个点出发可以画 n 1 条线段 n个点就构成n n 1 条线段 但是每 2 个点之 间按照上述方法计算重复了一次 所以要除以 2 所以共有n n 1 条 2 1 运用类比的思想 比较容易解决八年级下册 一元二次方程 中的一个问题 一次聚 会 出席的每位代表都和其他代表各握一次手 统计结果表明 一共握手 45 次 问参加聚 会的代表有多少人 设参加聚会的代表有x人 每个人握手的次数是 x 1 次 x人就握了x x 1 次 但是每 2 个人之间按照上述方法计算重复了一次 所以要除以 2 则有x x