第3章 《导数及其应用-3 (2)_第1页
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第第3 3章章 导数及其应用导数及其应用 3 1 1 3 1 1 教学案 教学案 1 1 教学目标 教学目标 1 理解并掌握曲线在某一点处的切线的概念 2 理解并掌握曲线在一点处的切线的斜率的定义以及切线方程的求法 3 理解切线概念的实际背景 培养学生解决实际问题的能力和培养学生转 化问题的能力及数形结合思想 教学重点 教学重点 理解并掌握曲线在一点处的切线的斜率的定义以及切线方程的求法 教学难点 教学难点 用 无限逼近 局部以直代曲 的思想理解某一点处切线的斜率 教学过程 教学过程 一 问题情境 1 问题情境 如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢 如果将点P附近的曲线放大 那么就会发现 曲线在点P附近看上去有点像是直线 P 如果将点P附近的曲线再放大 那么就会发现 曲线在点P附近看上去几乎成了直线 事实上 如果继续放大 那么曲线在点P附近将逼近一条确定的直线 该直线 是经过点 ll P的所有直线中最逼近曲线的一条直线 因此 在点P附近我们可以用这条直线 来代替曲线 也就是说 点P附近 l 曲线可以看做直线 即在很小的范围内以直代曲 2 探究活动 如图所示 直线为经过曲线上一点P的两条直线 12 ll 1 试判断哪一条直线在点P附近更加逼近曲线 2 在点P附近能作出一条比更加逼近曲线的直线吗 21 l l 3 l 3 在点P附近能作出一条比更加逼近曲线的直线吗 321 lll P P 二 建构数学 切线定义 如图 设Q为曲线C上不同于P的一点 直线PQ称为曲线的割线 随着点Q 沿曲线C向点P运动 割线PQ在点P附近逼近曲线C 当点Q无限逼近点P时 直线PQ最终就成为经过点P处最逼近曲线的直线l 这条直线l也称为曲线在点P处的切 线 这种方法叫割线逼近切线 思考 如上图 P为已知曲线C上的一点 如何求出点P处的切线方程 三 数学运用 例1 试求在点 2 4 处的切线斜率 2 xxf 小结 求曲线上一点处的切线斜率的一般步骤 xfy 1 找到定点P的坐标 设出动点Q的坐标 2 求出割线PQ的斜率 3 当时 割线逼近切线 那么割线斜率逼近切线斜率 0 x 思考 如上图 P为已知曲线C上的一点 如何求出点P处的切线方程 例2 已知 求曲线在处的切线斜率和切线方程 1 xxf xfy 1 x 练习1 试求在x 1处的切线斜率 1 2 xxf 练习2 已知 求曲线在处的切线斜率和切线方程 xxf xfy 4x 课后练习 课后练习 1 判断曲线y x3 1在点P 1 0 处是否有切线 如果有 求出切线的方程 2 已知曲线y x2 2上一点P 1 则过点P的切线的倾斜角为 1 2 3 2 3 函数在点 2 处的切线方程为 1 y x 1 2 4 函数的
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