第三章第8节 正弦定理和余弦定理应用举例

1 第三章第三章 第八节第八节 正弦定理和余弦定理应用举例正弦定理和余弦定理应用举例 题组一距 离 问 题 1 一船自西向东航行 上午 10 时到达灯塔 P 的南偏西 75 距塔 68 海里的 M 处 下午 2 时到达这座灯塔的东南方向的 N 处 则这只船航行的速度为 A 海里 时 B 34海里 时 17 6 26 C 海里 时 D 34海里 时 17 2 22 解析 如图 由题意知 MPN 75 45 120 PNM 45 在 PMN 中 由正弦定理 得 sin120sin45 MNPM MN 68 34 3 2 2 2 6 又由 M 到 N 所用时间为 14 10 4 小时 船的航行速度 v 海里 时 34 617 6 42 答案 A 2 一船以每小时 15 km 的速度向东航行 船在 A 处看到一灯塔 M 在北偏东 60 方向 行驶 4 h 后 船到达 B 处 看到这个灯塔在北偏东 15 方向 这时船与灯塔的距离为 km 解析 如图 依题意有 AB 15 4 60 MAB 30 AMB 45 在 AMB 中 由正弦定理得 解得 BM 30 km 60 sin45 BM sin30 2 答案 302 3 如图所示 为了测量河对岸 A B 两点间的距离 在这一岸定一基线 CD 现已测出 CD a 和 ACD 60 BCD 30 BDC 105 ADC 60 试求 AB 的长 2 解 在 ACD 中 已知 CD a ACD 60 ADC 60 所以 AC a 在 BCD 中 由正弦定理可得 BC a asin105 sin45 3 1 2 在 ABC 中 已经求得 AC 和 BC 又因为 ACB 30 所以利用余弦定理可以求得 A B 两点之间的距离为 AB a AC2 BC2 2AC BC cos30 2 2 题组二高 度 问 题 4 据新华社报道 强台风 珍珠 在广东饶平登陆 台风中心最大风力达到 12 级以上 大风降雨给灾区带来严重的灾害 不少大树被大风折断 某路边一树干被台风吹断后 折成与地面成 45 角 树干也倾斜为与地面成 75 角 树干底部与树尖着地处相距 20 米 则折断点与树干底部的距离是 A 米 B 10米 C 米 D 20米 20 6 36 10 6 32 解析 如图 设树干底部为 O 树尖着地处为 B 折断点为 A 则 ABO 45 AOB 75 OAB 60 由正弦定理知 AO 米 20 sin45sin60 AO 20 6 3 答案 A 5 在一个塔底的水平面上某点测得该塔顶的仰角为 由此点向塔底沿直线行走了 30 m 测得塔顶的仰角为 2 再向塔底前进 10 m 又测得塔顶的仰角为 4 则塔的 3 高度为 解析 如图 依题意有 PB BA 30 PC BC 在三角形 BPC 中 由余弦定理31 10 0 可得 cos2 222 10 33010 3 2 10 330 所以 2 30 4 60 在三角形 PCD 中 3 2 3 可得 PD PC sin4 10 15 m 2 3 2 答案 15 m 6 某人在山顶观察地面上相距 2 500 m 的 A B 两个目标 测得目标 A 在南偏西 57 俯角为 30 同时测得 B 在南偏东 78 俯角是 45 求山高 设 A B 与山底在同一 平面上 计算结果精确到 0 1 m 解 画出示意图 如图所示 设山高 PQ h 则 APQ BPQ 均为直角三角形 在图 1 中 PAQ 30 PBQ 45 AQ BQ h 3 tan30 PQ h tan45 PQ 在图 2 中 AQB 57 78 135 AB 2 500 所以由余弦定理得 AB2 AQ2 BQ2 2AQ BQcos AQB 即 2 5002 h 2 h2 2h h cos135 4 h2 336 h 984 4 m 2500 46 答 山高约 984 4 m 题组三角 度 问 题 7 在 ABC 中 角 A B C 所对的边分别为 a b c 如果 c a B 30 那么角 3 C 等于 A 120 B 105 C 90 D 75 解析 c a sinC sinA sin 180 30 C sin 30 C 3333 sinC cosC 3 3 2 1 2 即 sinC cosC tanC 又 C 0 180 33 C 120 答案 A 4 8 如果把直角三角形的三边都增加同样的长度 则这个新的三角形的形状为 A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 由增加的长度决 定 解析 设增加同样的长度为 x 原三边长为 a b c 且 c2 a2 b2 a b c 新的三 角形的三边长为 a x b x c x 知 c x 为最大边 其对应角最大 而 a x 2 b x 2 c x 2 x2 2 a b c x 0 由余弦定理知新的三角形的最大角 的余弦为正 则为锐角 那么它为锐角三角形 答案 A 题组四正 余弦定理的综合应用 9 有一山坡 坡角为 30 若某人在斜坡的平面上沿着一条与山坡底线成 30 角的小路 前进一段路后 升高了 100 米 则此人行走的路程为 A 300 m B 400 m C 200 m D 200 m 3 解析 如图 AD 为山坡底线 AB 为行走路线 BC 垂直水平面 则 BC 100 BDC 30 BAD 30 BD 200 AB 2BD 400 米 答案 B 10 线段 AB 外有一点 C ABC 60 AB 200 km 汽车以 80 km h 的速度由 A 向 B 行驶 同时摩托车以 50 km h 的速度由 B 向 C 行驶 则运动开始 h 后 两车的距离最小 解析 如图所示 设 t h 后 汽车由 A 行驶到 D 摩托车由 B 行 驶到 E 则 AD 80t BE 50t 因为 AB 200 所以 BD 200 80t 问题就是求 DE 最小时 t 的值 由余弦定理 DE2 BD2 BE2 2BD BEcos60 200 80t 2 2500t2 200 80t 50t 12900t2 42000t 40000 当 t 时 DE 最小 70 43 答案 70 43 11 如图 扇形 AOB 圆心角 AOB 等于 60 半径为 2 在弧 AB 上有一动点 P 过 P 引平行于 OB 的直线和 OA 交于点 C 设 AOP 求 POC 面积的最大值及此时 的值 解 因为 CP OB 所以 CPO POB 60 OCP 120 5 在 POC 中 由正弦定理得 所以 CP sin OP sin PCO CP sin 2 sin120 CP sin 4 3 又 OC sin 60 OC sin 60 2 sin120 4 3 因此 POC 的面积为 S CP OCsin120 sin sin 60 1 2 1 2 4 3 4 3 3 2 sin sin 60 sin cos sin 4 3 4 3 3 2 1 2 cos 2 60 0 60 2 3 1 2 所以当 30 时 S 取得最大值为 3 3 12 2010 宁波模拟 某建筑的金属支架如图所示 根据要求 AB 至少长 2 8 m C 为 AB 的中点 B 到 D 的距离比 CD 的长小 0 5 m BCD 60 已知建造支架的材料每米 的价格一定 问怎样设计 AB CD 的长 可使建造这个 支架的成本最低 解 设 BC am a 1 4 CD bm 连接 BD 则在 CDB 中 b 2 b2 a