勾股定理难题+提高

精品文档 1欢迎下载 评卷人得分 一 选择题一 选择题 1 下列四组线段中 可以构成直角三角形的是 A 4 5 6 B 3 4 5 C 2 3 4 D 1 2 3 2 给出下列命题 在直角三角形 ABC 中 已知两边长为 3 和 4 则第三边长为 5 三角形的三边 a b c 满足 则 C 90 ABC 中 若 222 bca A B C 1 5 6 则 ABC 是直角三角形 ABC 中 若 a b c 1 2 则这个三角形是直角三角形 其中 假命题的个数为 3 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 3 如图 如果把 ABC 的顶点 A 先向下平移 3 格 再向左平移 1 格到达 A 点 连接 A B 则线段 A B 与线段 AC 的关系是 A 垂直 B 相等 C 平分 D 平分且垂直 4 下面说法正确的是个数有 如果三角形三个内角的比是 1 2 3 那么这个三角形是直角三角形 如果三角形的一个外角等于与它相邻的一个内角 则这么三角形是直角三角形 若三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点 那么这个三角形是直角三角形 如果 A B 2 1 C 那么 ABC 是直角三角形 若三角形的一个内角等于另两个内角之差 那么这个三角形是直角三角形 在 ABC 中 若 A B C 则此三角形是直角三角形 试卷第 2 页 总 8 页 A 3 个 B 4 个 C 5 个 D 6 个 5 如图 ABC 中 AB AC 5 BC 6 M 为 BC 的中点 MN AC 于 N 点 则 MN A B C D 6 5 9 5 12 5 16 5 6 下列各组数中 是勾股数的是 A 14 36 39 B 8 24 25 C 8 15 17 D 10 20 26 7 2013 贵州安顺 如图 有两棵树 一棵高 10 米 另一棵高 4 米 两树相距 8 米 一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢 则小鸟至少飞行 A 8 米 B 10 米 C 12 米 D 14 米 8 如图 四边形 ABCD 中 AB AD AD BC ABC 60 BCD 30 BC 6 那么 ACD 的面积是 精品文档 3欢迎下载 A B C 2 D 3 3 2 3 9 3 4 试卷第 4 页 总 8 页 第第 IIII 卷 非选择题 卷 非选择题 请点击修改第 II 卷的文字说明 评卷人得分 二 新添加的题型二 新添加的题型 评卷人得分 三 解答题三 解答题 9 在 Rt ABC 中 CAB 90 AB AC 1 如图 过点 A 在 ABC 外作直线 MN BM MN 于 M CN MN 于 N 判断线段 MN BM CN 之间有何数量关系 并证明 若 AM BM AB 试利用图 验证勾股定理 abc 22 ab 2 c 2 如图 过点 A 在 ABC 内作直线 MN BM MN 于 M CN MN 于 N 判断线段 MN BM CN 之间有何数量关系 直接写出答案 10 6 分 小王剪了两张直角三角形纸片 进行了如下的操作 操作一 如图 1 将 Rt ABC 沿某条直线折叠 使斜边的两个端点 A 与 B 重合 折 痕为 DE 精品文档 5欢迎下载 1 如果 AC 6cm BC 8cm 可求得 ACD 的周长为 2 如果 CAD BAD 4 7 可求得 B 的度数为 操作二 如图 2 小王拿出另一张 Rt ABC 纸片 将直角边 AC 沿直线 AD 折叠 使它落在斜边 AB 上 且与 AE 重合 若 AC 9cm BC 12cm 请求出 CD 的长 11 如图 有一块直角三角形纸片 两直角边 AC 5cm BC 12cm 现将直角边 AC 沿 直线 AD 折叠 使它恰好落在斜边 AB 上 且与 AE 重合 求 CD 的长 B A CD E 12 如图 学校 B 前面有一条笔直的公路 学生放学后走 AB BC 两条路可到达公路 经测量 BC 6km BA 8km AC 10km 现需修建一条路使学校到公路距离最短 请你 帮助学校设计一种方案 并求出所修路的长 13 如图 ABC 中 ACB 90 AC 9 BC 12 求 Rt ABC 中斜边 AB 上的高 CD 试卷第 6 页 总 8 页 14 阅读理解题 如图 在 ABC 中 AD 是 BC 边上的中线 且 AD 1 2 BC 求证 BAC 90 15 如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形 两直角边长分别是 a b 斜边长 为 c 和一个正方形 边长为 c 请你将它们拼成一个能验证勾股定理的图形 精品文档 7欢迎下载 1 画出拼成的这个图形的示意图 2 用 1 中画出的图形验证勾股定理 16 课间 小明拿着老师的等腰三角板玩 不小心掉到两墙之间 如图 1 求证 ADC CEB 2 从三角板的刻度可知 AC 25cm 请你帮小明求出砌墙砖块的厚度 a 的大小 每块 砖的厚度相等 17 10 分 如图 在 ABC 中 AB 13 BC 10 BC 边上的中线 AD 12 1 AD 平分 BAC 吗 请说明理由 2 求 ABC 的面积 评卷人得分 四 填空题四 填空题 18 直角三角形两边长分别为 3 厘米 4 厘米 则第三边的长为 19 一个直角三角形的两边长分别为 9 和 40 则第三边长的平方是 20 若一个直角三角形的两边的长分别为 且满足 则第mn340mn 三边的长为 21 已知 则由此为三边的三角形是 三角0 10 86 2 zyxzyx 形 22 ABC 的三边长分别为 m2 1 2m m2 1 则最大角为 23 在长方形纸片 ABCD 中 AD 3cm AB 9cm 按如图方式折叠 使点 B 与点 D 重合 折痕为 EF 则 DE 试卷第 8 页 总 8 页 24 如图 在 Rt ABC 中 ABC 是直角 AB 3 BC 4 P 是 BC 边上的动点 设 BP x 若能在 AC 边上找到一点 Q 使 BQP 90 则 x 的取值范围是 25 如图 OP 1 过 P 作 PP1 OP 且 PP1 1 得 再过 P1作 P1P2 OP1且 1 2OP P1P2 1 得 又过 P2作 P2P3 OP2且 P2P3 1 得 OP3 2 依此法继续作下 2 3OP 去 得 OP2012 评卷人得分 五 计算题五 计算题 精品文档 1欢迎下载 参考答案参考答案 1 B 解析 试题分析 A 42 52 62 不能构成直角三角形 故不符合题意 B 32 42 52 能构成直角三角形 故符合题意 C 22 32 42 不能构成直角三角形 故不符合题意 D 12 22 32 不能构成直角三角形 故不符合题意 故选 B 考点 勾股数 2 B 解析 试题分析 命题 中若 4 是直角边 则第三边长为 5 若 4 为斜边 则第三边长为 7 故错误 命题 中应该是 B 90 故错误 命题 均正确 故假命题有 2 个 故选 B 考点 真命题与假命题 3 D 解析 试题分析 先根据题意画出图形 再利用勾股定理结合网格结构即可判断线段 A B 与线段 AC 的关系 如图 将点 A 先向下平移 3 格 再向左平移 1 格到达 A 点 连接 A B 与线段 AC 交于点 O A O OB AO OC 2 22 线段 A B 与线段 AC 互相平分 又 AOA 45 45 90 A B AC 本卷由系统自动生成 请仔细校对后使用 答案仅供参考 答案第 2 页 总 15 页 线段 A B 与线段 AC 互相垂直平分 故选 D 考点 1 网格问题 2 平移的性质 3 勾股定理 4 D 解析 试题分析 三角形三个内角的比是 1 2 3 设三角形的三个内角分别为 x 2x 3x x 2x 3x 180 解得 x 30 3x 3 30 90 此三角形是直角三角形 故本小题正确 三角形的一个外角与它相邻的一个内角的和是 180 若三角形的一个外角等于与它相邻的一个内角 则此三角形是直角三角形 故本小题正 确 直角三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点 若三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点 那么这个三角形是直角三角形 故 本小题正确 A B C 1 2 设 A B x 则 C 2x x x 2x 180 解得 x 45 2x 2 45 90 精品文档 3欢迎下载 此三角形是直角三角形 故本小题正确 三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角之和 三角形的一个内角等于另两个内角 之差 三角形一个内角也等于另外两个内角的和 这个三角形中有一个内角和它相邻的外角是相等的 且外角与它相邻的内角互补 有一个内角一定是 90 故这个三角形是直角三角形 故本小题正确 三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角之和 又一个内角也等于另外两个内角的 和 由此可知这个三角形中有一个内角和它相邻的外角是相等的 且外角与它相邻的内角互补 有一个内角一定是 90 故这个三角形是直角三角形 故本小题正确 故选 D 考点 1 三角形内角和定理 2 三角形的外角性质 5 C 解析 试题分析 连接 AM AB AC 点 M 为 BC 中点 AM CM BM CM AB AC 5 BC 6 BM CM 3 在 Rt ABM 中 AB 5 BM 3 根据勾股定理得 AM 2223 534ABBM 本卷由系统自动生成 请仔细校对后使用 答案仅供参考 答案第 4 页 总 15 页 又 S AMC MN AC AM MC 1 2 1 2 MN 1 5 2 A A C M CM 故选 C 考点 1 勾股定理 2 等腰三角形的性质 6 C 解析 满足 a2 b2 c2的三个正整数 a b c 是勾股数 因为 82 152 289 172 289 所以 82 152 172 即 8 15 17 为勾股数 同理可判断其余三 组数均不是勾股数 7 B 解析 如图 设大树高为 AB 10 米 小树高为 CD 4 米 过 C 点作 CE AB 于 E 则四 边形 EBDC 是矩形 连接 AC 则 EB CD 4 米 EC 8 米 AE AB EB 10 4 6 米 在 Rt AEC 中 米 22 10ACAEEC 8 A 解析 试题分析 如图 过点 A 作 AE BC 于 E 过点 D 作 DF BC 于 F 设 AB AD x 又 AD BC 四边形 AEFD 是矩形形 精品文档 5欢迎下载 AD EF x 在 Rt ABE 中 ABC 60 则 BAE 30 BE AB x 1 2 1 2 DF AE x 22 ABBE 3 2 在 Rt CDF 中 FCD 30 则 CF DF cot30 x 3 2 又 BC 6 BE EF CF 6 即x x x 6 1 2 3 2 解得 x 2 ACD 的面积是 AD DF x x 22 1 2 1 2 3 2 3 4 3 故选 A 考点 1 勾股定理 2 含 30 度角的直角三角形 9 1 证明见解析 2 MN BM CN 解析 试题分析 1 利用已知得出 MAB ACN 进而得出 MAB NCA 进而得出 BM AN AM CN 即可得出线段 MN BM CN 之间的数量关系 利用 S梯形 MBCN S MAB S ABC S NCA ab c2 ab S梯形 MBCN BM CN 1 2 1 2 1 2 1 2 MN a b 2 进而得出答案 1 2 2 利用已知得出 MAB ACN 进而得出 MAB NCA 进而得出 BM AN AM CN 即可 得出线段 MN BM CN 之间的数量关系 试题解析 1 MN BM CN 理由 MAB NAC 90 ACN NAC 90 MAB ACN 本卷由系统自动生成 请仔细校对后使用 答案仅供参考 答案第 6 页 总 15 页 在 MAB 和 NCA 中 BMAANC MABNCA ABAC MAB NCA AAS BM AN AM CN MN AM AN BM CN 由 知 MAB NCA CN AM a AN BM b AC BC c MN a b S梯形 MBCN S MAB S ABC S NCA ab c2 ab S梯形 MBCN BM CN MN a b 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ab c2 ab a b 2 1 2 1 2 1 2 1 2 a2 b2 c2 2 MN BM CN 理由 MAB NAC 90 ACN NAC 90 MAB ACN 在 MAB 和 NCA 中 BMAANC MABNCA ABAC MAB NCA AAS BM AN AM CN MN AN AM BM CN 考点 全等三角形的判定与性质 10 操作一 1 14cm 2 35 操作二 CD 4 5 精品文档 7欢迎下载 解析 试题分析 操作一利用对称找准相等的量 BD AD BAD B 然后分别利用周长及三角 形的内角和可求得答案 操作二 利用折叠找着 AC AE 利用勾股定理列式求出 AB 设 CD x 表示出 BD AE 在 Rt BDE 中 利用勾股定理可得答案 试题解析 操作一 1 14cm 2 35 操作二 由折叠知 AE AC 9 DE AB 设 CD DE X 则 BD 12 X 81 144 225 222 ABACBC AB 15 BE 15 9 6 又 222 BDD EBE 36 2 12x 2 x X 9 2 即 CD 4 5cm 考点 轴对称 线段的垂直平分线 11 CD 的长为cm 10 3 解析 试题分析 利用翻折变换的性质得出 DE CD AC AE 5cm DEB 90 进而利用勾股定理 得出 x 的值 试题解析 有一块直角三角形纸片两直角边 AC 5cm BC 12cm AB 13cm 本卷由系统自动生成 请仔细校对后使用 答案仅供参考 答案第 8 页 总 15 页 将直角边 AC 沿直线 AD 折叠 使它落在斜边 AB 上 且与 AE 重合 DE CD AC AE 5cm DEB 90 设 CD xcm 则 BD 12 x cm 故 DE2 BE2 BD2 即 x2 13 5 2 12 x 2 解得 x 10 3 则 CD 的长为cm 10 3 考点 勾股定理 12 4 8km 解析 解 过 B 作 AC 的垂线 垂足为 D 线段 BD 就是要修的路 在 ABC 中 AB2 BC2 82 62 100 而 AC2 102 100 AB2 BC2 AC2 即 ABC 是直角三角形 且 ABC 90 由 11 22 AB BCAC BD AA 得 km 6 8 4 8 10 AB BC BD AC A 即所修路长为 4 8km 13 36 5 解析 解 在 Rt ABC 中 2222 91215ABACBC 由三角形的面积公式得 11 22 AC BCAB CD AA 9 1236 155 AC BC CD AB A 即斜边 AB 上的高 CD 是 36 5 14 1 如果一个三角形的一边上的中线的长等于这条边长的一半 那么这个三角形是直 精品文档 9欢迎下载 角三角形 2 1 3 2 解析 试题分析 根据题目的已知条件和结论写出判断方法即可 试题解析 1 如果一个三角形的一边上的中线的长等于这条边长的一半 那么这个三角 形是直角三角形 2 因为这个三角形的一条边上的中线长是这条边长的一半 所以这个三角形是直角三角 形 设这个直角三角形的两条直角边的长分别为 a b 则 a b 1 3 根据勾股定理 得 a2 b2 22 a2 b2 4 因为 a b 2 a2 b2 2ab 即 1 3 2 4 2ab 所以 3ab 11 3 22 ab 所以这个三角形的面积为 1 3 2 考点 直角三角形斜边上的中线 15 1 答案不唯一 如图 本卷由系统自动生成 请仔细校对后使用 答案仅供参考 答案第 10 页 总 15 页 2 验证 大正方形的面积可表示为 a b 2 又大正方形的面积也可表示为 2 1 4 2 cab 22 1 4 2 abcab 即 a2 b2 2ab c2 2ab a2 b2 c2 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 解析 1 答案不唯一 如图 2 验证 大正方形的面积可表示为 a b 2 又大正方形的面积也可表示为 2 1 4 2 cab 22 1 4 2 abcab 即 a2 b2 2ab c2 2ab 精品文档 11欢迎下载 a2 b2 c2 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 16 1 证明见解析 2 砌墙砖块的厚度 a 为 5cm 解析 试题分析 1 根据题意可知 AC BC ACB 90 AD DE BE DE 进而得到 ADC CEB 90 再根据等角的余角相等可得 BCE DAC 从而得到结论 2 根据题意得 AD 4a BE 3a 根据全等可得 DC BE 3a 由勾股定理可得 4a 2 3a 2 252 再解即可 试题解析 1 根据题意得 AC BC ACB 90 AD DE BE DE ADC CEB 90 ACD BCE 90 ACD DAC 90 BCE DAC 在 ADC 和 CEB 中 ADCCEB DACBCE ACBC ADC CEB AAS 2 由题意得 AD 4a BE 3a 由 1 得 ADC CEB DC BE 3a 在 Rt ACD 中 AD2 CD2 AC2 4a 2 3a 2 252 a 0 解得 a 5 答 砌墙砖块的厚度 a 为 5cm 本卷由系统自动生成 请仔细校对后使用 答案仅供参考 答案第 12 页 总 15 页 考点 1 全等三角形的应用 2 勾股定理的应用 17 1 平分 理由详见解析 2 60 解析 试题分析 1 AD 平分 BAC 理由为 BC 边上的中线 AD BD 5 在 ABC 中 AB 13 AD 12 BD 5 252 242 72 即 AB2 AD2 BD2 ADB 90 即 AD BC AD 垂直平分 BC AB AC AD 平分 BAC 由 1 得 AB AC AD 垂直平分 BC S ABC 60 2 ADBC 考点 1 等腰三角形的性质 2 三角形面积的计算方法 18 5cm 或cm 7 解析 试题分析 题中没有指明哪个是直角边哪个是斜边 故应该分情况进行分析 试题解析 1 当两边均为直角边时 由勾股定理得 第三边为 5cm 2 当 4 为斜边时 由勾股定理得 第三边为cm 7 故直角三角形的第三边应该为 5cm 或cm 7 精品文档 13欢迎下载 考点 勾股定理 19 1681 或 1519 解析 设第三边为 x 1 若 40 是直角边 则第三边 x 是斜边 由勾股定理 得 92 402 x2 所以 x2 1681 2 若 40 是斜边 则第三边 x 为直角边 由勾股定理 得 92 x2 402 所以 x2 1519 所以第三边的长为 1681 或 1519 20 5 或 7 解析 试题分析 m 3 0 n 4 0 m 3 n 4 340mn 即这个直角三角形的两边长分别为 3 和 4 当 4 是此直