《三维设计》2012高三数学 第二单元 基本初等函数（I）和导数6.函数的单调性课时限时检测

用心 爱心 专心 1 时间 60 分钟 满分 80 分 一 选择题 共 6 个小题 每小题 5 分 满分 30 分 1 2010 大连模拟 下列函数在 0 1 上是减函数的是 A y log0 5 1 x B y x0 5 C y 0 51 x D y 1 x2 1 2 解析 y log0 5 1 x 在 0 1 上为增函数 y x0 5在 0 1 上是增函数 y 0 51 x在 0 1 上为增函数 函数y 1 x2 在 0 上为增函数 在 0 上为减函数 1 2 函数y 1 x2 在 0 1 上是减函数 1 2 答案 D 2 函数y 2x2 a 1 x 3 在 1 内递减 在 1 内递增 则a的值是 A 1 B 3 C 5 D 1 解析 依题意可得对称轴x 1 a 5 a 1 4 答案 C 3 已知函数f x 为 R 上的减函数 则满足f x f 1 的实数x的取值范围是 A 1 1 B 0 1 C 1 0 0 1 D 1 1 解析 f x 为 R 上的减函数 且f x 1 x1 答案 D 4 定义新运算 当a b时 a b a 当a b时 a b b2 则函数f x 1 x x 2 x x 2 2 的最大值等于 A 1 B 1 C 6 D 12 解析 由题意知 当 2 x 1 时 f x x 2 当 1 x 2 时 f x x3 2 又 f x x 2 f x x3 2 在定义域上都为增函数 用心 爱心 专心 2 f x 的最大值为f 2 23 2 6 答案 C 5 定义在 R 上的偶函数f x 满足 对任意x1 x2 0 x1 x2 有 0 则 f x2 f x1 x2 x1 A f 3 f 2 f 1 B f 1 f 2 f 3 C f 2 f 1 f 3 D f 3 f 1 f 2 解析 对任意x1 x2 0 x1 x2 有 0 实际上等价于函数 f x2 f x1 x2 x1 f x 在 0 上是减函数 故f 3 f 2 f 1 由于函数是偶函数 故f 3 f 2 f 1 答案 A 6 已知定义在 R 上的奇函数f x 满足f 1 x f 1 x 且f x 在区间 3 5 上单调 递增 则函数f x 在区间 1 3 上的 A 最大值是f 1 最小值是f 3 B 最大值是f 3 最小值是f 1 C 最大值是f 1 最小值是f 2 D 最大值是f 2 最小值是f 3 解析 依题意得f x 的图象关于直线x 1 对称 f x 1 f x 1 f x 2 f x f x 4 f x 2 f x 即函数f x 是以 4 为周期的函数 由f x 在 3 5 上是增函数与f x 的图象关于直线x 1 对称得 f x 在 3 1 上是减函数 又函数 f x 是以 4 为周期的函数 因此f x 在 1 3 上是减函数 f x 在 1 3 上的最大值是f 1 最小值是f 3 答案 A 二 填空题 共 3 小题 每小题 5 分 满分 15 分 7 函数y x 3 x 的递增区间是 解析 y x 3 x Error 作出该函数的图象 观察图象知递增区间为 0 3 2 答案 0 3 2 8 设x1 x2为方程 4x2 4mx m 2 0 的两个实根 当m 时 x x有最小 2 12 2 值 解析 由根与系数的关系得 x1 x2 m x1x2 m 2 4 用心 爱心 专心 3 x x x1 x2 2 2x1x2 m2 2 2 12 2 m 2 2 m 1 4 17 16 又x1 x2为实根 0 m 1 或m 2 y 2 在区间 1 上是减函数 在 2 上是增函数 m 1 4 17 16 又抛物线y开口向上且以m 为对称轴 1 4 故m 1 时 ymin 1 2 答案 1 1 2 9 已知函数f x Error 若f x 在 上单调递增 则实数a的取值范围为 解析 由题意得Error 解得 20 的单调区间 a2 x 解 函数的定义域为 x x R 且x 0 设x1 x2 0 且x1 x2 f x1 f x2 x1 x2 a2 x1 a2 x2 x1 x2 a2 x2 x1 x1 x2 x1 x2 x1 x2 a2 x1 x2 1 当x1 x2 a或a x1 x2时 x1 x2a2 f x1 f x2 0 f x1 f x2 f x 在 a 上和在 a 上都是增函数 2 当 a x1 x2 0 或 0 x1 x2 a时 x1 x2 0 0 x1 x20 f x1 f x2 f x 在 a 0 和 0 a 上都是减函数 11 已知函数f x a 1 x 1 求证 函数y f x 在 0 上是增函数 2 若f x 2x在 1 上恒成立 求实数a的取值范围 解 1 证明 当x 0 时 f x a 1 x 用心 爱心 专心 4 设 0 x10 x2 x1 0 f x1 f x2 a a 1 x1 1 x2 1 x2 1 x1 0 x1 x2 x1x2 f x1 f x2 即f x 在 0 上是增函数 2 由题意a 2x在 1 上恒成立 1 x 设h x 2x 则a h x 在 1 上恒成立 1 x 可证h x 在 1 上单调递增 故a h 1 即a 3 a的取值范围为 3 12 定义在 R 上的函数f x 满足对任意x y R 恒有f xy f x f y 且f x 不恒 为 0 1 求f 1 和f 1 的值 2 试判断f x 的奇偶性 并加以证明 3 若x 0 时f x 为增函数 求满足不等式f x 1 f 2 x 0 的x的取值集合 解 1 令x y 1 得f 1 f 1 f 1 f 1 0 令x y 1 得f 1 f 1 f 1 f 1 0 2 令y 1 由f xy f x f y 得 f x f x f 1 又f