河南省卫辉一中2012届高三数学二轮 备考抓分点透析专题五 平面向量 文

用心 爱心 专心1 专题五专题五 平面向量平面向量 重点知识回顾重点知识回顾 向量是既有大小又有方向的量 从其定义可以看出向量既具有代数特征 又具有几何 特征 因此我们要借助于向量可以将某些代数问题转化为几何问题 又可将某些几何问题 转化为代数问题 在复习中要体会向量的数形结合桥梁作用 能否理解和掌握平面向量的 有关概念 如 共线向量 相等向量等 它关系到我们今后在解决一些相关问题时能否灵 活应用的问题 这就要求我们在复习中应首先立足课本 打好基础 形成清晰地知识结构 重点掌握相关概念 性质 运算公式 法则等 正确掌握这些是学好本专题的关键 在解决关于向量问题时 一是要善于运用向量的平移 伸缩 合成 分解等变换 正 确地进行向量的各种运算 进一步加深对 向量 这一二维性的量的本质的认识 并体会 用向量处理问题的优越性 二是向量的坐标运算体现了数与形互相转化和密切结合的思想 所以要通过向量法和坐标法的运用 进一步体会数形结合思想在解决数学问题上的作用 在解决解斜三角形问题时 一方面要体会向量方法在解三角形方面的应用 另一方面 要体会解斜三角形是重要的测量手段 通过学习提高解决实际问题的能力 因此 在复习中 要注意分层复习 既要复习基础知识 又要把向量知识与其它知识 如 曲线 数列 函数 三角等进行横向联系 以体现向量的工具性 平面向量基本定理 向量的分解定理 eea 12 是平面内的两个不共线向量 为该平面任一向量 则存在唯一 实数对 使得 叫做表示这一平面内所有向量 121 1 2 212aeeee 的一组基底 向量的坐标表示 ijxy 是一对互相垂直的单位向量 则有且只有一对实数 使得 用心 爱心 专心2 ax iy jxyaaxy 称 为向量的坐标 记作 即为向量的坐标 表示 设 axybxy 1122 则 abxyyyxyxy 11121122 axyxy 1111 若 A xyB xy 1122 则 ABxxyy 2121 ABxxyyAB 21 2 21 2 两点间距离公式 平面向量的数量积 叫做向量与的数量积 或内积 1ababab cos 为向量与的夹角 ab 0 B b O D A a 数量积的几何意义 a babab 等于与在的方向上的射影的乘积 cos 2 数量积的运算法则 abba ab cacbc abxyxyx xy y 11221212 注意 数量积不满足结合律 abcabc 重要性质 设 3 1122 axybxy ababxxyy 00 1212 或 ababababab 用心 爱心 专心3 abb 惟一确定 0 x yx y 1221 0 aaxyabab 2 2 1 2 1 2 cos ab ab x xy y xyxy 1212 1 2 1 2 2 2 2 2 典型例题典型例题 1 向量的概念 向量的运算 向量的基本定理 例 1 2008 湖北文 理 设 a 1 2 b 3 4 c 3 2 则 a 2b c A 15 12 B 0 C 3 D 11 解 a 2b 1 2 2 3 4 5 6 a 2b c 5 6 3 2 3 选 C 点评 本题考查向量与实数的积 注意积的结果还是一个向量 向量的加法运算 结果也 是一个向量 还考查了向量的数量积 结果是一个数字 例 2 2008 广东文 已知平面向量 2 2 1 mba 且a b 则 ba32 A 2 4 B 3 6 C 4 8 D 5 10 解 由a b 得 m 4 所以 ba32 2 4 6 12 4 8 故选 C 点评 两个向量平行 其实是一个向量是另一个向量的 倍 也是共线向量 注意运算的 公式 容易与向量垂直的坐标运算混淆 例 3 1 如图所示 已知正六边形ABCDEF O是它的中心 若BA a BC b 试 用a b 将向量OE BF BD FD 表示出来 1 解析 根据向量加法的平行四边形法则和减法的三角形法则 用向量a b 来表示其 他向量 只要考虑它们是哪些平行四边形或三角形的边即可 因为六边形ABCDEF是正六边形 所以它的中心O及顶点A B C四点构成 平行四边形ABCO 所以BABCBAAOBO BO a b OE BO a b b a O F E DC B A 用心 爱心 专心4 由于A B O F四点也构成平行四边形ABOF 所以BF BO OF BO BA a b a 2a b 同样在平行四边形 BCDO中 BD BCCD BCBO b a b a 2b FD BCBA b a 点评 其实在以A B C D E F及O七点中 任两点为起点和终点 均可用 a b 表示 且可用规定其中任两个向量为a b 另外任取两点为起点和终点 也可用a b 表示 例 4 已知ABC 中 A 2 1 B 3 2 C 3 1 BC 边上的高为 AD 求AD 解析 设 D x y 则 2 1 3 2 3ADxyBDxyBCb ADBC BDBC 02633 01326 yx yx 得 1 1 y x 所以 1 2AD 2 2 向量与三角函数的综合问题 例 5 2008 深圳福田等 已知向量 3sin cos cos cos axxbxx 函数 21f xa b 1 求 f x 的最小正周期 2 当 62 x 时 若 1 f x 求x的值 解 1 2 2 3sin cos2cos1f xxxx 3sin2cos2xx 2sin 2 6 x 所以 T 2 由 1 f x 得 1 sin 2 62 x 62 x 7 2 626 x 5 2 66 x 3 x 点评 向量与三角函数的综合问题是当前的一个热点 但通常难度不大 一般就是以向量 用心 爱心 专心5 的坐标形式给出与三角函数有关的条件 并结合简单的向量运算 而考查的主体部分则是 三角函数的恒等变换 以及解三角形等知识点 例 6 2007 山东文 在 ABC 中 角A BC 的对边分别为 tan3 7abcC 1 求cosC 2 若 5 2 CB CA 且 9ab 求c 解 1 sin tan3 73 7 cos C C C 又 22 sincos1CC 解得 1 cos 8 C tan0C C 是锐角 1 cos 8 C 2 由 5 2 CB CA 5 cos 2 abC 20ab 又 9ab 22 281aabb 22 41ab 222 2cos36cababC 6c 点评 本题向量与解三角形的内容相结合 考查向量的数量积 余弦定理等内容 3 3 平面向量与函数问题的交汇 例例 7 7 已知平面向量 a a 3 1 b b 2 1 2 3 1 若存在实数 k 和 t 便得 x x a a t2 3 b b y y ka a tb b 且 x x y y 试求函数的 关系式 k f t 2 根据 1 的结论 确定 k f t 的单调区间 解 1 法一 由题意知 x x 2 332 2 t 2 2323 2 t y y 2 1 t 3k 2 3 t k 又 x x y y 故 x x y y 2 332 2 t 2 1 t 3k 2 2323 2 t 2 3 t k 0 用心 爱心 专心6 整理得 t3 3t 4k 0 即 k 4 1 t3 4 3 t 法二 a a 3 1 b b 2 1 2 3 a 2 b 1 且 a a b b x x y y x x y y 0 即 ka 2 t t2 3 b2 0 t3 3t 4k 0 即 k 4 1 t3 4 3 t 2 由 1 知 k f t 4 1 t3 4 3 t k f t 4 3 t3 4 3 令 k 0 得 1 t 1 令 k 0 得 t 1 或 t 1 故 k f t 的单调递减区间是 1 1 单调递增区间是 1 和 1 归纳 第 1 问中两种解法是解决向量垂直的两种常见的方法 一是先利用向量的坐 标运算分别求得两个向量的坐标 再利用向量垂直的充要条件 二是直接利用向量的垂直 的充要条件 其过程要用到向量的数量积公式及求模公式 达到同样的求解目的 但运算 过程大大简化 值得注意 第 2 问中求函数的极值运用的是求导的方法 这是新旧知识交 汇点处的综合运用 变式变式 已知平面向量a 3 1 b 2 1 2 3 若存在不为零的实数 k 和 角 使向量c a sin 3 b d ka sin b 且c d 试求实数 k 的取值范围 点拨 将例题中的 t 略加改动 旧题新掘 出现了意想不到 的效果 很好地考查了向量与三角函数综合运用能力 解 仿例 3 1 解法 二 可得 k 4 1 sin 2 3 2 16 9 而 1 sin 1 当 sin 1 时 k 取最大值 1 sin 1 时 k 取最 小值 2 1 又 k 0 k 的取值范围为 1 0 0 1 2 4 4 平面向量在平面几何中的应用 O x A C B a 例 7 图 y A C B a Q P 用心 爱心 专心7 例 8 如图在 Rt ABC 中 已知 BC a 若长为 2a 的线段 PQ 以 A 为中点 问 PQ与BC 的 夹角 取何值时 BP CQ 的值最大 并求出这个最大值 解 以直角顶点 A 为坐标原点 两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标 系 设 AB c AC b 则 A 0 0 B c 0 C 0 b 且 PQ 2a BC a 设点 P 的坐标为 x y 则 Q x y 22 yxPQbcBCbyxCQycxBP cos 2 22 a bycx PQBC PQBC bycxyxbyyxcxCQBP cx by a2cos BP CQ a2 a2cos 故当 cos 1 即 0 PQBC与 方向相 同 时 BP CQ 的值最大 其最大值为 0 点评 本题主要考查向量的概念 运算法则及函数的有关知识 平面向量与几何问题的融 合 考查学生运用向量知识解决综合问题的能力 例 9 已知 A B 为抛物线 pyx2 2 p 0 上两点 直线 AB 过焦点 F A B 在准线上的射 影分别为 C D 1 若6 OBOA 求抛物线的方程 2 CD 是否恒存在一点 K 使得0 KBKA Y A F P B X O D K C 解 1 提示 记 A 1 1y x B 22 y x 设直线 AB 方程为 2 p kxy 代入抛物线方程 得02 22 pkpxx 2 4 1 21 2 21 pyypxx 用心 爱心 专心8 OBOA6 2 4 3 2121 pyyxx 2 设线段 AB 中点 P 在在准线上的射影为 T 则 PBTPPATPTBTA PBPAPBPATPTP 2 2 4 1 CADBPBPA 4 1 2 FAFB 2 PA 4 1 2 AB 4 1 2 AB 0 故存在点 K 即点 T 使得0 KBKA 实质 以 AB 为直径的圆与准线相切 变式 2004 全国湖南文 21 如图 过抛物线x2 4y 的对称轴上任一点 P 0 m m 0 作 直线与抛物线交于 A B 两点 点 Q 是点 P 关于原点的对称点 设点 P 分有向线段AB所成 的比为 证明 QBQAQP 解 依题意 可设直线 AB 的方程为 mkxy 代入抛物线方程yx4 2 得 0 44 2 mkxx 设 A B 两点的坐标分别是 11 yx 122 xyx则 x2是方程 的两根 所以 4 21 mxx 由点 P 0 m 分有向线段AB所成的比为 得 0 1 2 121 x xxx 即 又点 Q 是点 P 关于原点的对称点 故点 Q 的坐标是 0 m 从而 2 0 mQP 1 21212211 myyxxmyxmyxQBQA 1 2 21 myymQBQAQP 2 21 21 2 1 2 2 2 1 2 1 4 4 2 1 44 2 x mxx xxmn x xx x xx m 用心 爱心 专心9 0 4 44 2 2 21 x mm xxm 所以 QBQAQP 模拟演练模拟演练 一 选择题 1 已知点 M1 6 2 和 M2 1 7 直线 y mx 7 与线段 M1M2的交点分有向线段 M1M2的比 为 3 2 则的值为 A 3 2 B 2 3 C 1 4 D 4 2 已知 a a b b 是非零向量且满足 a a 2b b a a b b 2a a b b 则 a a 与 b b 的夹角是 A 6 B 3 C 2 3 D 5 6 3 已知向量OB 2 0 向量OC 2 2 向量CA 2cos 2sin 则向量 OA 与向量OB 的夹角的范围为 A 0 4 B 4 5 12 C 5 12 2 D 12 5 12 4 设坐标原点为 O 抛物线 y2 2x 与过焦点的直线交于 A B 两点 则OA OB A 3 4 B 3 4 C 3 D 3 5 O 是平面上一定点 A B C 是平面上不共线的三个点 动点 P 满足OP OA ABAC AC AC 0 则点 P 的轨迹一定通过 ABC 的 A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心 6 已知平面上直线l的方向向量 e e 4 5 3 5 点 O 0 0 和 A 1 2 在上的射影分 别是 O 和 A 则 O Ae 其中 A 11 5 B 11 5 C 2 D 2 用心 爱心 专心10 7 sin cos cos sin aba b A已知向量向量则 A sin2 B sin2 C cos2 D 1 8 已知a 3 4 6 8 b 则向量a与b A 互相平行 B 夹角为60 C 夹角为30 D 互相垂直 9 已知向量baba与则向量与向量 3 1 0 1 的夹角是 A 6 B 3 C 3 2 D 6 5 10 若向量 12 a 3 4 b 则 a b a b等于 A 20 B 10 30 C 54 D 8 24 11 已知非零向量 ba若 1 ba且 ba 又知 4 32 bkaba 则实数k的值为 A 6 B 3 C 3 D 6 12 把函数y 3 12 x 的图象按a a 1 2 平移到F 则F 的函数解析式为 A y 3 72 x B y 3 52 x C y 3 92 x D y 3 32 x 二 填空题 13 已知向量a a b b的夹角为 3 a a 2 b b 1 则 a a b b a a b b 的值是 14 已知 M N 是 ABC 的边 BC CA 上的点 且 BM 3 1 BC CN 3 1 CA 设 AB a AC b 则 MN 15 ABC 中 CABcossinsin 其中 A B C 是 ABC 的三内角 则 ABC 是 三 角形 16 已知 2 1 1 1 ABO 为坐标原点 动点M满足OMmOAnOB 其中 m nR 且 22 22mn 则M的轨迹方程为 三 解答题 用心 爱心 专心11 17 已知向量 sin 1 sin 1 xx a 2cos 2 xb 1 若 2 0 x 试判断a与b能否平 行 2 若 3 0 x 求函数baxf 的最小值 18 设函数 cbaxf 其中向量 xxbxxacos3 sin cos sin Rxxxc sin cos 1 求函数 xf的最大值和最小正周期 2 将函数 xfy 的图像按向量d平移 使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对 称 求长度最小的d 19 如图 ABC的顶点A B C所对的边分别为a b c A为圆心 直径PQ 2 问 当P Q 取什么位置时 BP CQ有最大值 20 已知定点 F 1 0 动点 P 在 y 轴上运动 过点 P 作 PM 交 x 轴于点 M 并延长 MP 至 点 N 且PMPNPFPM 0 1 求动点 N 的轨迹方程 2 直线l与动点 N 的轨迹交于 A B 两点 若4 OBOA且 46 AB 304 求直线l的斜率的取值范围 21 已知点P是圆 22 1xy 上的一个动点 过点P作PQx 轴于点Q 设 OMOPOQ 1 求点M的轨迹方程 2 求向量OP 和OM 夹角的最大值 并求此时P点的坐标 P QO y x 用心 爱心 专心12 22 在一个特定时段内 以点 E 为中心的 7 海里以内海域被设为警戒水域 点 E 正北 55 海 里处有一个雷达观测站A 某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45 且与点 A相距 402海里的位置 B 经过 40 分钟又测得该船已行驶到 点A北偏东45 其中 sin 26 26 090 且与点 A相距 1013海里的位置C 1 求该船的行驶速度 单位 海里 小时 2 若该船不改变航行方向继续行驶 判断 它是否会进入警戒水域 并说明理由 专题训练答案专题训练答案 一 选择题 1 D 2 B 3 D 4 B 5 B 6 D 7 A 8 A 9 D 10 B 11 D 12 A 二 填空题 13 21 14 ab 3 2 3 1 15 直角 16 22 22 yx 三 解答题 17 解 1 若a与b平行 则有2 sin 1 2cos sin 1 x x x 因为 2 0 x 0sin x 所以得22cos x 这与1 2cos x相矛盾 故a与b不能平行 用心 爱心 专心13 2 由于baxf x x x x x x x x xsin 1 sin2 sin sin21 sin 2cos2 sin 2cos sin 2 2 又因 为 3 0 x 所以 2 3 0 sin x 于是22 sin 1 sin22 sin 1 sin2 x x x x 当 x x sin 1 sin2 即 2 2 sin x时取等号 故函数 xf的最小值等于22 18 解 1 由题意得 f x a b c sinx cosx sinx cosx sinx 3cosx sin2x 2sinxcosx 3cos2x 2 cos2x sin2x 2 2sin 2x 4 3 所以 f x 的最大值为 2 2 最小正周期是 2 2 2 由sin 2x 4 3 0得2x 4 3 k 即x 8 3 2 k k Z 于是d 8 3 2 k 2 4 8 3 2 2 k dk Z 因为k为整数 要使d最小 则只有k 1 此时d 8 2 即为所求 19 解 BP CQ ABAP ACAQ ABAP ACAP r2 AB APAC CB 设 BAC PA的延长线与BC的延长线相交于D PDB 则 BP CQ r2 cbcos