2012高中数学 1.1.4投影与直观图2教案 新人教B版必修2

1 1 1 41 1 4 投影与直观图投影与直观图 文艺复兴以前的透视图文艺复兴以前的透视图 远处的东西画小 方形四角的饭桌画成梯形的 圆盘画成椭圆形的 无论大人 小孩 还是东洋 西洋 自古至今如此 有在人物画的角落画这种饭桌的 也有在一幅画中将左 看的形状与右看的形状掺杂着一起画的 这种画与其称之为原始的 不如说是朴素的透视 画 整幅画 基本上是从一个视点且只向一个方向看时的统一景物 才能叫做 透视画 现存最古的透视画大概是庞贝的壁画 人们还不明白当时的画家是怎样画出的 与庞贝城 建筑的同时 罗马的建筑家维特鲁威写了 建筑十书 其中有所谓 斯卡伊诺哥拉菲亚 可解释成 剧场舞台背景透视画与庞贝的壁画不谋而合的说法可能是正确的 在维特鲁 威的书里的很多地方能看到关于光学和视觉的叙述 因此欧几里德有同样说法是可理解的 虽然中世纪的学者阿尔哈真和培卡姆 也有与欧几里德相似的叙述 遗憾的是那一时 期的透视图 除了朴素透视画以外几乎没有留下别的 课程学习目标课程学习目标 课程目标 目标重点 平行投影的性质和斜二测画法 目标难点 正确地把握斜二测画法的要点以及选择放置直观图的角度 学法关键 画水平放置的空间图形的直观图 一般采用斜二测画法 对于斜二测画法 应当牢固 掌握画法的规则 再认真地画几个常见图形的直观图 从中领会斜二测画法的要领 对三视图的学习要紧密地结合实际应用 可以到工厂去考察机器零件的实物和图纸 要认真完成教材中的实习作业 可以利用课外活动时间探索与研究本节后面提出的问题 看一看旋转体的三视图中是否一定有两个视图相同 这两个相同的视图中是否都包含有这 个旋转体的轴截面 研习教材重难点研习教材重难点 研习点 1 平行投影 1 点的平行投影 已知图形F 直线l与平面 相交 过F上任 一点M作直线l 平行于l 交平面 于点M 则M 叫做点M在 平面 内关于直线l的平行投影 或像 2 图形的平行投影 如果图形F上的所有点在平面 内关于直线 l的平行投影构成图形F 则F 叫做图形F在 内关于直线l的 平行投影 平面 叫做投射面 l叫做投射线 3 平行投影的性质 当图形中的直线或线段不平行于投射线时 平行投影都具有以下性质 1 直线或线段的平行投影仍是直线或线段 2 平行直线的平行投影是平行或重合的直线 3 平行于投射面的线段 它的投影与这条线段平行且等长 2 4 与投射面平行的平面图形 它的投影与这个图形全等 5 在同一直线或平行直线上 两条线段平行投影长度的比等于这两条线段长度的比 联想质疑 联想质疑 为什么平行投影的比例性质不变 为什么平行投影的比例性质不变 事实上 如果线段AB在平面 内关于直线l的平行投影是A B 如图 点M在AB 上 且AM MB m n 则点M的平行投影M 在A B 上 由平行线分线段成比例定理得 A M M B m n 研习点 2 空间图形的直观图 1 概念 用来表示空间图形的平面图形 叫做空间图形的直观图 2 斜二测画法 国家规定的统一的画直观图的一种方法 它的规则是 1 在已知图形所在的空间中取水平平面 作互相垂直的轴Ox Oy 再作Oz轴 使 xOz 90 且 yOz 90 2 画直观图时 把Ox Oy Oz画成对应的轴O x O y O z 使 x O y 45 或 135 x O z 90 x O y 所确定的平面表示水平平面 3 已知图形中 平行于x轴 y轴或z轴的线段 在直观图中分别画成平行于x 轴 y 轴或z 轴的线段 并使它们和所画坐标轴的位置关系 与已知图形中相应线段和原坐 标轴的位置关系相同 4 已知图形中平行于x轴和z轴的线段 在直观图中保持长度不变 平行于y轴的线段 长度为原来长度的一半 5 画图完成后 擦去作为辅助线的坐标轴 就得到了空间图形的直观图 联想质疑 联想质疑 如何理解斜二测画法 如何理解斜二测画法 1 斜二测画法是画几何体直观图的主要方法 2 斜二测画法的作图规则可以简要地说成 竖直或水平方向放置的线段画出后方向 长度 都不变 前后方向放置的线段画出时方向与水平方向成 45 或 135 角 长度画成原长度 的一半 仍表示原长度 3 正等测画法 正等测画法的依据仍然是平行投影的性质 不过这时的投影线和人的视线 平行 并且投射线与投射影垂直 正等测画法一般用于画圆柱 圆锥 圆台 球等旋转体的直观图 它的画法步骤同斜二 测画法 研习点 3 水平放置的平面图形的直观图的画法 水平放置的平面图形的直观图的画法与空间图形的直观图的画法类似 其具体的画法步骤 是 1 在已知图形中取水平平面 作互相垂直的轴Ox Oy 使Ox Oy 2 画直观图时 把轴Ox Oy画成对应的轴Ox Oy 使 x Oy 45 或 135 x Oy 所确定的平面表示水平平面 3 已知图形中 平行于x轴 y轴的线段 在直观图中分别画成平行于x 轴 y 轴的 线段 并使它们和所画坐标轴的位置关系 与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系 相同 4 已知图形中平行于x轴的线段 在直观图中保持长度不变 平行于y轴的线段 长度 为原来长度的一半 5 画图完成后 擦去作为辅助线的坐标轴 就得到了水平放置的平面图形的直观图 3 研习点 4 中心投影 一个点光源把一个图形照射到一个平面上 这个图形的影子就是它在这个平面上的 中心投影 联想质疑 联想质疑 平行投影与中心投影的关系是什么 平行投影与中心投影的关系是什么 1 平行投影与中心投影的本质区别在于 平行投影的投射线都互相平行 中心投影 的投射线是由同一点发出的 2 中心投影和平行投影都是空间图形的基本画法 平行投影包括斜二测画法和下一节要学 习的三视图 中心投影后的图形与原图形相比虽然改变较多 但直观性强 看起来与人的 视觉效果一致 最像原来的物体 3 画实际效果图时 一般采用中心投影法 画立体几何中的图形时一般用平行投影法 探究解题新思路探究解题新思路 基础拓展型 题型 1 考查基本概念 例 1 当图形中的直线或线段不平行于投射线时 关于平行投影的性质 下列说法中不正 确的是 A 直线或线段的平行投影仍是直线或线段 B 平行直线的平行投影仍是平行的直线 C 与投射面平行的平面图形 它的投影与这个图形全等 D 在同一直线或平行直线上 两条线段平行投影的比等于这两条线段的比 探究 根据平行投影的概念和性质进行判断 研析 根据平行投影的性质可知 平行直线的平行投影是平行或重合的直线 所以B不 正确 选B 反思 领悟 理解并熟记平行投影的概念及其五条性质是解好此类判断题的关键 1 有下列说法 从投影的角度看 正等测画法和斜二测画法画出的直观图都是平行投影下画出来的空间 图形 平行投影的投影线互相平行 中心投影的投射线相交于一点 空间图形经过中心投影后 直线变成直线 但平行线可能变成了相交的直线 空间几何体在平行投影与中心投影下有不同的表现形式 其中正确的命题个数是 B A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 小结 此类题通过选择题或填空题的形式来考查平行投影的概念及相应性质 多为判断题 解决此类题目的关键是熟练掌握平行投影的概念和性质 注意各条性质间的关系 题型 2 用斜二测画法画直观图 1 水平放置的直观图的画法 例 2 用斜二测画法画出水平放置的正五边形的直观图 4 探究 先画出正五边形的图形 然后按照斜二测画法的作图步骤进行画图 研析 1 如图所示 在已知五边形ABCDE中 取中心O为原点 对称轴FA为y轴 过点O与y轴垂直的是x轴 分别过B E作GB y轴 HE y轴 与x轴分别交于点G H 画对应的轴O x O y 使 x O y 45 2 如图所示 以点O 为中点 在x 轴上取G H GH 分别过G H 在x 轴的上 方 作G B y 轴 使G B GB 作H E y 轴 使H E HE 在y 轴 2 1 2 1 的点O 上方取O A OA 在点O 下方取O F OF 并且以点F 为中点 画 2 1 2 1 C D x轴 且使C D CD 3 连结A B B C C D D E E A 所得正五边形A B C D E 就是正五 边形ABCDE的直观图 如图所示 反思 领悟 在直观图中确定坐标轴上的对应点及与坐标轴平行的线段端点的对应点都比较好办 但是如果原图中的点不在坐标轴上或不在与坐标轴平行的线段上 就需要我们经过这些点 作坐标轴的平行线段与坐标轴相交 然后先确定这些平行线段在坐标轴上的端点的对应点 再确定这些点的对应点 拓展 变式 2 画出一个锐角为 45 的平行四边形的直观图 2 空间图形直观图的画法 例 3 已知一个正四棱台的上底面边长为 2cm 下底面边长为 6cm 高为 4cm 用斜二测画 法画出此正四棱台的直观图 探究 先画出上 下底面正方形的直观图 再画出整个正四棱台的直观图 研析 1 画轴 以底面正方形ABCD的中心为坐标原点 画x轴 y轴 z轴 三轴相 交于O 使 xOy 45 xOz 90 2 画下底面 以O为中点 在x轴上取线段EF 使得EF AB 6cm 在y轴上取线段 GH 使得GH AB 再过G H分别作ABEF CDEF 且使得CD的中点为H AB的中 2 1 点为G 这样就得到了正四棱台的下底面ABCD的直观图 3 画上底面 在z轴上截取线段OO1 4cm 过O1点作O1x Ox O1y Oy 使 x O1y 45 建立坐标系x O1y 在x O1y 中重复 2 的步骤画出上底面的直观图 5 A1B1C1D1 4 连结B1C1 A1D1 再连结AA1 BB1 CC1 DD1 得到的图形就是所求的正四棱台的直 观图 反思 领悟 用斜二测画法画空间图形的直观图时 对于图中与x轴 y轴 z轴都不平行的线段 可通过确定端点的办法来解决 过与坐标轴不平行的线段的端点作坐标轴的平行线段 再 借助于所作平行线段确定端点在直观图中的位置 有了端点在直观图中的位置 一切问题 便可迎刃而解 拓展 变式 3 画出一个上 下底面及高分别为 1cm 2cm 和 2cm 的正三棱台的直观图 教考动向教考动向 演练演练 1 直线的平行投影可能是 A A 点 B 线段 C 射线 D 曲线 2 两条不平行的直线 其平行投影不可能是 D A 两条平行线 B 一点和一条直线 C 两条相交直线 D 两个点 3 如图为水平放置的 OAB的直观图 由图判断原三角形中 AB OB OD BD由小到大的顺序为 OD BD AB OB 综合创新型综合创新型 题型题型 1 1 创新应用题创新应用题 例 4 如图为一个平面图形的直观图 请画出它的实际形状 探究 先建立 45 角的坐标系 再建立直角坐标系 然后还原成实际图形 研析 在图中建立如图所示的坐标系x A y 再建立一个直角坐标系 如图所示 在x轴截取线段AB A B 在y轴上截取线段 AD 使AD 2A D 过B作BC AD 过D作CD AB 则四边形ABCD 即为A B C D 的实际图形 6 反思 领悟 还原图形的过程是画直观图的逆过程 它主要包括平行于x轴的线段长度不变 平 行于y轴的线段变为原来的 2 倍 4 下图表示水平放置图形的直观图 画出它原来的图形 题型 2 开放探究题 例 5 一个水平放置的四边形的斜二测直观图是一个底角为 45 腰和上底的长均为 1 的 等腰梯形 那么原四边形的面积是 A 2 B 1 C 2 D 1 22 2 1 2 2 1 2 探究 此题是斜二测画法的逆用 根据画法原则还原求解 研析 由题意可得下底为 1 而由斜二测画法知一腰垂直于底边 且腰长为 2 于2 是面积为 故选C 1 12 1 222 2 反思 领悟 本例是由直观图求原平面图形的面积 应根据画法找出腰和底边的夹角及边长 再 利用面积公式求解 请同学们思考斜二测画法中夹角为 45 和 135 时图形的面积相同吗 原因是什么呢 5 已知正三角形ABC的边长为a 那么 ABC的平面直观图 A B C 的面积为 D A B C D 2 3 4 a 2 3 8 a 2 6 8 a 2 6 16 a 教考动向 演练 4 下面图形中采用中心投影画法的是 A 5 用斜二测画法画直观图时 三角形的直观图还是三角形 平行四边形的直观图还是