全国高中数学联赛模拟试题

用心 爱心 专心 全国高中数学竞赛模拟试题全国高中数学竞赛模拟试题 一 选择题 每题一 选择题 每题 6 6 分共分共 3636 分 分 1 由 0 1 2 3 4 5 六个数字能组成数字不重复且百位数字不是 5 的偶数有 个 A 360 B 252 C 720 D 240 2 已知数列 n a n 1 满足 2 n a 1 n a n a 且 2 a 1 若数列的前 2005 项之和为 2006 则 前 2006 项的和等于 A 2005 B 2006 C 2007 D 2008 3 有一个四棱锥 底面是一个等腰梯形 并且腰长和较短的底长都是 1 有一个底角是 0 60 又侧棱与底面所成的角都是 0 45 则这个棱锥的体积是 A 1 B 3 C 4 3 D 2 3 4 若 n n n xaxaxaax 2 2 2 210 2 42 n N 则 n aaa 242 被 3 除的余 数是 A 0 B 1 C 2 D 不能确定 5 已知 2 2 yx 且1xy 则 22 4 4 2 2 yx 的最小值是 A 7 20 B 7 12 C 7 2416 D 7 2416 6 在边长为 12 的正三角形中有 n 个点 用一个半径为3的圆形硬币总可以盖住其中的 2 个 点 则 n 的最小值是 A 17 B 16 C 11 D 10 二 填空题 每题 9 分共 54 分 7 在锐角三角形 ABC 中 设 tanA tanB tanC 成等差数列且函数 f x 满足 f cos2C cos B C A 则 f x 的解析是为 8 100 1 910 710 310 110 i iiii的末三位数是 9 集合 A 中的元素均为正整数 具有性质 若Aa 则 12 Aa 这样的集合共有 个 10 抛物线的顶点在原点 焦点在 x 轴的正半轴上 直线 x y 1 0 与抛物线相交于 A B 两点 且 AB 11 68 在抛物线上是否存在一点 C 使 ABC 为正三角形 若存在 C 点 的坐标是 11 在数列 n a中 1 a 2 1 1 Nnaa nn 设 n S为数列 n a的前 n 项和 则 200520062007 2SSS 的值为 用心 爱心 专心 12 设函数xxxf 3 1 其中 0 函数 xf在 0 上是单调递减函数 则 的取值范围是 三 解答题 每题 20 分共 60 分 13 已知点 A 0 5和曲线 0 5221 4 2 2 yxy x 上的点 PP 21 n P 若AP 1 AP2 APn成等差数列且公差d 0 1 试将d表示为n的函数关系式 2 若 5 1 5 1 d 是否存在满足条件的 Nnn 若存在 求出n可取的所有值 若不存 在 说明理由 14 设 a b c 1 证明 2 ba a b log cb b c log ac c a log cba 9 15 定义下列操作规则 规则 A 相邻两数 a b 顺序颠倒为 b a 称为一次 变换 如一行数 1 2 3 4 要变为 3 1 2 4 可以这样操作 1 2 3 41 3 2 43 1 2 4 规则 B 相邻三数 a b c 顺序颠倒为 c b a 称为一次 变换 规则 C 相邻四数 a b c d 顺序颠倒为 d c b a 称为一次 变换 现按照顺序排列着 1 2 3 2004 2005 目标是 经过若干次 变换 将这一行 数变为 2005 1 2 2003 2004 问 1 只用规则 A 操作 目标能否实现 2 只用规则 B 操作 目标能否实现 3 只用规则 C 操作 目标能否实现 用心 爱心 专心 A B 1 C B A 2 C 3 参考答案参考答案 1 解 末位是 0 的数共有个 4 5 A 3 4 A 末位是 2 或 4 的数共有 2 3 4 1 4A A 2 3 1 3A A 个 由加法原理 共有 4 5 A 3 4 A 2 3 4 1 4A A 2 3 1 3A A 252 个 2 解 3 n a 2 n a 1 n a 1 n a n a 1 n a n a 因此 对 n 1 n a 1 n a 2 n a 3 n a 4 n a 5 n a 0 从而数列中任意连续 6 项之和均为 0 2005 334 6 1 2006 334 6 2 所以前 2005 项之和为 1 a 即 1 a 2006 于是前 2006 项的和等于 1 a 2 a 2007 所以选 C 3 解 这个体积是底边和高均为 1 的正六棱锥的体积的一半 因此 4 3 4 3 6 3 1 2 1 V 4 解 n aaaa 2420 2 1 nn22 42 42 2 1 nn22 26 n aaa 242 nnn2212 4 13 2 nn212 11 1 2 1 mod3 所以选 B 5 解 由已知得 x y 1 所以 294 2164 1 4 4 2 2 4 4 2 2 24 24 2 222 xx xx x xyx 2 4 9 7 1 294 7 1 2 2 24 2 x x xx x 24 2 4 2 2 x x 当且仅当 2 2 2 4 x x 即 8 2 x时 取等号 故当 8 2 x时 22 4 4 2 2 yx 有最小值 7 2416 所以选 C 6 解 如图 1 作一个分割 在每个交叉点上置一个点 这时任意两点间距离不小于 4 4 23 硬币直径 故这时硬币不能盖住其中的两个点 说明 n 10 是不够的 如图 2 另作一个分割 得到 16 个全个等的边长为 3 的正三角形 其中 向上 的三角形 共有 10 个 它们的外接圆的半径正好是3 借助图 3 可以证明 只要图 2 中的 10 个 向上 的三角形都用硬币覆盖 则三角形 ABC 完全被覆盖 这时若在三角形 ABC 内置 11 个点 则必有一个硬币可以至少盖住其中的 2 个 点 故 n 的最小值是 11 所以选 C 6 解 1 2 x yRf xyf x f yf yx 对有 1 2f xyf y f xf xy 有 用心 爱心 专心 2f x f yf yx 2f y f xf xy 即 0 1f xyf yxyf xx 令得 7 解 tanA tan B C tanA tanB tanC tanAtanBtanC tanA tanC 2tanB 于是有 3tanB tanAtanBtanC 因为 B 为锐角 所以 tanB 0 所以 tanAtanC 3 令 cos2C x 则C 2 cos 2 1x 所以A 2 tan C 2 tan 9 1 cos 1 9 2 C x x 1 1 9 所以 cos B C A cos 2A cos2A 1 2A 2 cos 1 A 2 tan1 2 x x 45 54 即 f x x x 45 54 8 解 10i 1 10i 3 10i 7 10i 9 100 2 i 100i 9 100 2 i 100i 21 10000 2 i 2 1 i 3000i i 1 189 189 mod1000 所以 100 1 910 710 310 110 i iiii 100 1 189 i 189 100 900 mod1000 所以末三位是 900 9 解 从集合 A 的性质可得 A 必然是六个集合 1 11 2 10 3 9 4 8 5 7 6 中某几个的并集 因此符合要求的 A 共有 1 6 C 2 6 C 3 6 C 4 6 C 5 6 C 6 6 C 6 2 1 63 个 10 解 设所求抛物线方程为 0 2 2 ppxy 由弦长 AB 11 68 建立关于 p 的方程 解得 p 11 2 或 p 11 24 舍去 故抛物线方程为xy 11 4 2 设 AB 的中点为 D x0 y0 抛物线上存在满足条件的点 C x3 y3 由于 ABC 为正三角形 所以 CD AB CD 2 3 AB 11 312 由 CD AB 得 11 15 33 yx 由 11 24 1 11 312 33 yxCD得 解 得 11 25 3 x 11 14 11 1 11 10 33 yxy或 11 14 11 1 但点不在抛物线上 故抛物线上存在一点 11 25 11 10 11 解 当 n 为偶数时 1 14321 nn aaaaaa 故 2 n Sn 当 n 奇数时 2 1 a 1 15432 nn aaaaaa 故 2 3 2 1 2 nn Sn 故310041003210052 200520062007 SSS 12 解 1 设 21 0 xx 则 1 11 1 1 3 2 2 3 2 3 1 3 2 1 2121 xxxx xxxfxf 用心 爱心 专心 设 3 2 2 3 2 3 1 3 2 1 1 11 1 xxxxM 则显然3 M 0 21 xfxf M 1 3 11 M 只需要 3 1 就能使 xf在 0 上是 单调递减函数 13 1 d 0 故为递增数列 AP 1 最小 APn最大 由方程 0 5221 4 2 2 yxy x 知 0 5 A是它的右焦点 L 5 4 x是它的右准线 25 1 AP 3 APn 于是dn 1 25 3 1 1 55 n n d 2 5 1 5 1 d 5 1 1 55 5 1 n 设 5526 455 n 又 Nn n取最大值 14 n取最小值 8 n可取 8 9 10 11 12 13 14 这七个值 14 证明 a b c 1 logba logcb logac 都是正数 并且它们的乘积等于 1 ba a b log cb b c log ac c a log 33 logloglog accbba cba acb 3 3 accbba 又 2 a b c a b b c c a 33 accbba 3 1 accbba 3 accbba 2 3 cba ba a b log cb b c log ac c a log 2 9 cba 即 2 ba a b log cb b c log ac c a log cba 9 15 解答 解答 1 能 实行如下操作 1 22003 2004 20051 22003 2005 20041 22005 2003 2004 1 2005 2 32003 2004 2005 1 2 2003 2004 4 分 2 不能 从左到右 把数所占的位置编上号 按照规则 B 若数m在k号位置 一次变换 后可能是22kkk 号位置 所以操作过程中数m所占位置的奇偶性不会改变 而 1 2 3 2004 2005 中 1 在 1 号位 目标 2005 1 2 2003 2004 中 1 是 2 号位 这不可能 8 分 用心 爱心 专心 3 能 通过如下操作 记为 操作 abedc bedcbaeabcd b c d ed c b a ed e a b c a c d e a 可以将一个数往前提 4 个位置