2012高中数学 2.4.2第1课时课后练习同步导学 新人教A版选修2-1

用心 爱心 专心 1 第第 2 2 章章 2 4 22 4 2 第第 1 1 课时课时 本栏目内容 在学生用书中以活页形式分册装订 一 选择题 每小题 5 分 共 20 分 1 已知抛物线y2 2px p 0 的准线与圆x2 y2 6x 7 0 相切 则p的值为 A B 1 1 2 C 2 D 4 解析 圆的标准方程为 x 3 2 y2 16 圆心 3 0 到抛物线准线x 的距离为 p 2 4 1 p 2 故选 C p 2 答案 C 2 边长为 1 的等边三角形AOB O为原点 AB x轴 以O为顶点且过A B的抛物线方 程是 A y2 x B y2 x 3 6 3 6 C y2 x D y2 x 3 6 3 3 解析 当抛物线开口向右时 可设抛物线方程为y2 2px p 0 A p 即p y2 x 3 2 1 2 1 43 3 12 3 6 同理 当抛物线开口向左时 抛物线标准方程为y2 x 3 6 答案 B 3 已知抛物线y2 2px p 0 以抛物线上动点与焦点连线为直径的圆与y轴的位置关 系是 A 相交 B 相离 C 相切 D 不确定 解析 用心 爱心 专心 2 如图 PP2 PP1 P1P2 MM1 FF1 P1P2 1 2 MM2 M1M2 FO OF1 P1P2 1 2 MM2 OF 1 2 MM1 MF 1 2 1 2 该圆与y轴相切 答案 C 4 设斜率为 2 的直线l过抛物线y2 ax a 0 的焦点F 且和y轴交于点A 若 OAF O为坐标原点 的面积为 4 则抛物线方程为 A y2 4x B y2 8x C y2 4x D y2 8x 解析 y2 ax a 0 的焦点坐标为 a 4 0 过焦点且斜率为 2 的直线方程为y 2 x a 4 令x 0 得y 4 a 2 1 2 a 4 a 2 a2 64 a 8 所以抛物线方程为y2 8x 故选 B 答案 B 二 填空题 每小题 5 分 共 10 分 5 抛物线的焦点与双曲线 1 的焦点重合 则抛物线的准线方程是 x2 16 y2 9 解析 在双曲线 1 中 a2 16 b2 9 x2 16 y2 9 c 5 a2 b216 9 焦点坐标是F1 5 0 F2 5 0 当抛物线焦点是F1 5 0 时 5 p 2 准线方程是x 5 当抛物线焦点是F2 5 0 时 5 p 2 准线方程是x 5 所以应填x 5 或x 5 用心 爱心 专心 3 答案 x 5 6 已知以F为焦点的抛物线y2 4x上的两点A B满足 3 则弦AB的中点到准线 AF FB 的距离为 解析 如图 设A xA yA B xB yB 由题意设AB的方程为 y k x 1 k 0 由Error 消去y得k2x2 2k2 4 x k2 0 xA xB 1 又 3 AF FB xA 3xB 4 解得xA 3 xB 1 3 AB的中点M到准线的距离 MN xA xB 2 2 8 3 答案 8 3 三 解答题 每小题 10 分 共 20 分 7 设O为坐标原点 F为抛物线y2 4x的焦点 A为抛物线上一点 若 O A 4 求点A的坐标 A F 解析 由y2 4x 知F 1 0 点A在y2 4x上 不妨设A y2 4 y 则O A A y2 4 y F 1 y2 4 y 代入O A 4 中 A F 得 y y 4 y2 4 1 y2 4 用心 爱心 专心 4 化简得y4 12y2 64 0 y2 4 或 16 舍去 y 2 点A的坐标为 1 2 或 1 2 8 已知抛物线的顶点在原点 x轴为对称轴 经过焦点且倾斜角为的直线 被抛物线 4 所截得的弦长为 6 求抛物线方程 解析 当抛物线焦点在x轴正半轴上时 可设抛物线标准方程是y2 2px p 0 则焦 点F 直线l为y x p 2 0 p 2 设直线l与抛物线的交点A x1 y1 B x2 y2 过A B分别向抛物线的准线作垂线 AA1 BB1 垂足分别为A1 B1 则 AB AF BF AA1 BB1 x1 x2 p 6 x1 p 2 x2 p 2 x1 x2 6 p 由Error 消去y 得 2 2px x p 2 即x2 3px 0 p2 4 x1 x2 3p 代入 式得 3p 6 p p 3 2 所求抛物线标准方程是y2 3x 当抛物线焦点在x轴负半轴上时 用同样的方法可求出抛物线的标准方程是 y2 3x 综上 抛物线方程为y2 3x 尖子生题库 9 10 分 已知直线l经过抛物线y2 4x的焦点F 且与抛物线相交于A B两点 1 若 AF 4 求点A的坐标 2 求线段AB的长的最小值 解析 由y2 4x 得p 2 其准线方程为x 1 焦点F 1 0 用心 爱心 专心 5 设A x1 y1 B x2 y2 1 由抛物线的定义可知 AF x1 从而x1 4 1 3 p 2 代入y2 4x 解得y1 2 3 点A的坐标为 3 2 或 3 2 33 2 当直线l的斜率存在时 设直线l的方程为y k x 1 与抛物线方程联立 得Error 消去y 整理得k2x2 2k2 4 x k2 0 因为直线与抛物线相交于A B两点 则k 0 并设其两根为x1 x2 则x