一道课本习题的引申

1 圆的方程的应用圆的方程的应用 一道课本习题的引申一道课本习题的引申 摘要 摘要 人教 A 版必修 2 中给出圆的方程有两种形式即圆的标准方程和圆的一般方程 本文将 从课本必修 2 中一道给出圆的直径的端点坐标求证圆的另外一种形式的方程的习题出发 进行引申 并加以应用来解决一类直线与二次曲线位置及有关垂直等相关的问题 关键词 关键词 圆的方程 垂直关系 题 已知圆的一条直径的端点分别是 求证此圆的方程是 1122 A x yB xy 1212 0 xxxxyyyy 此题可利用求曲线方程的方法 先设圆上不同与 A B 的任意一点 M 再由 x y 得到 从而得到圆的方程 MAMB 1 MAMB KK 这是人民教育出版社出版的普通高中课程标准实验教科书必修二第 124 面习题 4 1A 组的第 5 题 针对此题结论中圆的方程的结构特点 不难发现其中应分别 1212 xxxxyyyy 是过点 A B 的直线与所求圆的方程联立分别消去后得到的方程的一边的因式 由此题可引申 y x 得到如下结论 已知直线 的方程 圆的方程为 设直线与圆相交于l 0F x y 0G x y 两点 由 分别消去得 并使 1122 A x yB xy 0 0 F x y G x y y x 0 0f xg y 的二次项系数相等 则以 AB 为直径的圆的方程为 f x g x 0f xg y 证明如下 设的二次项系数为 m m 0 则 f x g y 12 1 f xxxxx m 12 1 g yyyyy m 由上面习题结论知 以 AB 为直径的圆的方程就是 1212 0 xxxxyyyy 11 0f xg y mm 故以 AB 为直径的圆的方程就是 0f xg y 再次将圆推广到二次曲线 这个结论其实就是给出了求以直线和二次曲线 即圆 圆锥曲线 的两个交点为直径的圆的方程的方法 应用它别具一格 可以迅速解决一类直线和二次曲线位置关 2 系问题 下面举例说明 例 1 如图 直线 与抛物线相交于 A B 两点 求证 2yx 2 2yx OAOB 此题是普通高中课程标准实验教科书数学选修 2 1 第 73 面习题 2 4 的第 6 题 此题的常规做法我就不多说了 利用上面的说法 其实还可以这样来做 证明 由 分别消去得 2 2 2 yx yx y x 2 2 640 240 xx yy 两式相加得 以 AB 为直径的圆的方程为 22 620 xyxy 显然 原点 o 在圆 上 22 620 xyxy 所以 由圆的性质可得 OAOB 例 2 如图 已知直线与抛物线交于 A B 两点 且 2 2 0 ypx p OAOB 交 AB 于点 D 点 D 的坐标为 2 1 求 P 的值 ODAB 此题是普通高中课程标准实验教科书数学选修 2 1 第 81 面复习参考题 B 组的第 3 题 解 由题意及直线的点斜式方程可得直线 AB 的方程为即 12 2 yx 250 xy 由 分别消去得 2 250 2 xy ypx y x 2 2 525 0 24 50 p xx ypyp 两式相加 得以 AB 为直径的圆的方程为 22 525 50 24 p xyxpyp 由已知可知原点在圆上 故有 即可得OAOB 25 50 4 p 5 4 p 例 3 设点 A 和 B 为抛物线上除原点以外的两个动点 已知 2 2 0 ypx p OAOB 求点 M 的轨迹方程 并说明它表示什么曲线 OMAB 解 1 若 由易得 则点 M 的坐标为 2P 0 ABX 轴OAOB 2 AB xxp 2 若 AB 不垂直于 X 轴 设直线 AB 的方程为 b 0 k 0 ykxb 由 分别消去得 2 2 ykxb ypx y x 222 22 22 0 220 k xkbp xb k ypkypkb 两式相加得 以 AB 为直径的圆的方程为 22222 2 220k xk ykbp xkpybbkp OAOB 3 原点 O 在此圆上 则坐标 0 0 代入圆方程得 2 20bkbp b 0 2bkp 直线方程为 2 yk xp px px y k2 2 设动点 M 的坐标为 而点 M 在直线 AB 上 则 x yOMAB 由得 1 OMAB kk 0 1 02 yy xxp 22 20 02 xypxxxp 且 由 1 2 可得点 M 的轨迹是以点 p 0 为圆心 以 p 为半径的圆 去掉坐标原点 变式 已知点 A B 是抛物线上异于原点 O 的两点 则 OA OB 是 直 2 2 0 ypx p 线 AB 恒过定点 2P 0 的 B A 充分非必要条件 B 充要条件 C 必要非充分条件 D 非充分非必要条件 例 4 已知椭圆与直线交于 P Q 两点 且 其中 22 22 1 0 xy ab ab 1xy QOP O 为坐标原点 求的值 22 11 ab 解 由 分别消去得 22 22 1 1 xy xy ab y x 2222222 2222222 20 20 abxa xaa b abyb yba b 两式相加得 以 PQ 为直径的圆的方程为 222222222222 2220abxabya xb yaba b 由 可知原点在此圆上 故原点 0 0 代入可得QOP 移项变形可得 2 22 11 ab 从以上各例解法中 我们不难发现某些共同之处 由此可得到以下规律 涉及到有关直线与二次曲线相交于两点 A B 且有已知或要证等等相关问OAOB OAOB 题时 可以将直线和二次曲线联立并分别消 得到两个等式 两等式中二次项系数必须相等 y x 然后将两等式相加 即可得到以两交点为直径的圆的方程 进一步再利用相关条件可解决相应问题 下面通过两道高考题比较一下传统解法和以上规律解法的异同 因以下两例都是第二问涉及到此 2222 20aba b 4 问题 故只给出第二问的解答 例 5 2009 山东 文 22 设 在平面直角坐标系中 已知向量 向量mR 1 amx y 动点 的轨迹为 E 1 bx y ab M x y 1 求轨迹 E 的方程 并说明该方程所表示曲线的形状 2 已知 证明 存在圆心在原点的圆 使得该圆的任意一条切线与轨迹 E 恒有两个交点 4 1 m A B 且 O 为坐标原点 并求出该圆的方程 OAOB 3 已知 设直线 与圆 C 1 R 2 相切于 且 与轨迹 E 只有一个公共 4 1 ml 222 xyR 1 Al 点 当 R 为何值时 取得最大值 并求最大值 1 B 11 AB 标答解法 即传统解法 1 略 2 易求当时 轨迹 E 的方程为 4 1 m 2 2 1 4 x y 设圆心在原点的圆的一条切线为 解方程组得 即ykxt 2 2 1 4 ykxt x y 22 4 4xkxt 222 14 8440kxktxt 要使切线与轨迹 E 恒有两个交点 A B 则使 2 22222 6416 14 1 16 41 0k tktkt 即 即 且 22 410kt 22 41tk 12 2 2 12 2 8 14 44 14 kt xx k t x x k 222 222 222 12121212 222 44 84 141414 ktk ttk y ykxt kxtk x xkt xxtt kkk 要使 需使 即 OAOB 1212 0 x xy y 22222 222 444544 0 141414 ttktk kkk 所以 即且 即恒成立 22 5440tk 22 544tk 22 41tk 22 44205kk 所以又因为直线为圆心在原点的圆的一条切线 ykxt 所以圆的半径为 所求的圆为 2 1 t r k 2 2 2 22 4 1 4 5 115 k t r kk 22 4 5 xy 5 当切线的斜率不存在时 切线为 与交于点或5 5 2 x 2 2 1 4 x y 5 5 2 5 5 2 也满足 5 5 2 5 5 2 OAOB 综上 存在圆心在原点的圆 使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 22 4 5 xy A B 且 OAOB 3 略 此题的第二问其实也可用如下解法 2 当时 轨迹 E 的方程为 设圆心在原点的圆的一条切线为 4 1 m 2 2 1 4 x y ykxt 由 分别消去得 2 2 1 4 ykxt x y y x 222 14 8440kxktxt 2222 14 240kytytk 两式相加得 以 AB 为直径的圆的方程为 22222 14 825440kxyktxtytk OAOB 原点 O 在此圆上 坐标 0 0 代入圆方程得 22 5440tk 所以又因为直线为圆心在原点的圆的一条切线 ykxt 所以圆的半径为 所求的圆为 2 1 t r k 2 2 2 22 4 1 4 5 115 k t r kk 22 4 5 xy 例 6 2011 湖南 理 21 如图椭圆的离心率为 x 轴被曲线 22 1 22 1 0 xy Cab ab 3 2 截得的线段长等于 C1的长半轴长 2 2 Cyxb 求 C1 C2的方程 设 C2与 y 轴的交点为 M 过坐标原点 O 的直线 与 C2相交于l 点 A B 直线 MA MB 分别与 C1相交与 D E i 证明 MD ME 6 ii 记 MAB MDE 的面积分别是 问 是否存在直线 l 使得 请说明理由 12 S S 1 2 17 32 S S 标答解法 即传统解法 解 由题意知 1 2 2 2 2 3 baabba a c e解得又从而 故 C1 C2的方程分别为 1 1 4 22 2 xyy x i 由题意知 直线 l 的斜率存在 设为 k 则直线 l 的方程为 kxy 由得 1 2 xy kxy 01 2 kxx 设是上述方程的两个实根 于是212211 xxyxByxA则 1 2121 xxkxx 又点 M 的坐标为 0 1 所以 21 2121 2 21 21 2 2 1 1 1 1 1 11 xx xxkxxk xx kxkx x y x y kk MBMA 1 1 1 22 kk 故 MA MB 即 MD ME ii 略 此题的第二问的第一问 也可如下解 i