河南省郸城县光明中学八年级数学下册 20.3 菱形的判定A卷 华东师大版

1 20 320 3 菱形的判定菱形的判定 A A 卷卷 一 选择题 1 下列四边形中不一定为菱形的是 A 对角线相等的平行四边形 B 每条对角线平分一组对角的四边形 C 对角线互相垂直的平行四边形 D 用两个全等的等边三角形拼成的四边形 2 四个点 A B C D 在同一平面内 从 AB CD AB CD AC BD AD BC AD BC 这 5 个条件中任选三个 能使 四边形 ABCD 是菱形的选法有 A 1 种 B 2 种 C 3 种 D 4 种 3 菱形的周长为 32cm 一个内角的度数是 60 则两条对角线的长分别是 A 8cm 和 4cm B 4cm 和 8cm C 8cm 和 8cm D 4cm 和333 4cm3 二 填空题 4 如图 1 所示 已知 ABCD AC BD 相交于点 O 添加一个条件使平行四边形为 菱形 添加的条件为 只写出符合要求 5 如图 2 所示 D E F 分别是 ABC 的边 BC CA AB 上的点 且 DE AB DF CA 要使四边形 AFDE 是菱形 则要增加的条件是 只写出符合 要求的一个即可 2 6 菱形 ABCD 的周长为 48cm BAD ABC 1 2 则 BD 菱形的面 积是 7 在菱形 ABCD 中 AB 4 AB 边上的高 DE 垂直平分边 AB 则 BD AC 三 解答题 8 如图所示 在四边形 ABCD 中 AB CD AB CD BC 四边形 ABCD 是菱形吗 说 明理由 四 思考题 9 如图 矩形 ABCD 的对角线相交于点 O PD AC PC BD PD PC 相交于点 P 四 边形 PCOD 是菱形吗 试说明理由 参考答案 一 1 A 点拨 本题用排除法作答 2 D 点拨 根据菱形的判定方法判断 注意不要漏解 3 3 C 点拨 如图所示 若 ABC 60 则 ABC 为等边三角形 所以 AC AB 32 8 cm AO AC 4cm 1 4 1 2 因为 AC BD 在 Rt AOB 中 由勾股定理 得 OB 4 cm 2222 84ABOA 3 所以 BD 2OB 8cm 3 二 4 AB BC 点拨 还可添加 AC BD 或 ABD CBD 等 5 点 D 在 BAC 的平分线上 或 AE AF 6 12cm 72cm2 3 点拨 如图所示 过 D 作 DE AB 于 E 因为 AD BC 所以 BAD ABC 180 又因为 BAD ABC 1 2 所以 BAD 60 因为 AB AD 所以 ABD 是等边三角形 所以 BD AD 12cm 所以 AE 6cm 在 Rt AED 中 由勾股定理 得 AE2 ED2 AD2 62 ED2 122 所以 ED2 108 所以 ED 6cm 所以 S菱形 A BCD 12 6 72 cm2 333 7 4 4 点拨 如图所示 因为 DE 垂直平分 AB 3 又因为 DA AB 所以 DA DB 4 所以 ABD 是等边三角形 所以 BAD 60 由已知可得 AE 2 在 Rt AED 中 AE2 DE2 AD2 即 22 DE2 42 所以 DE2 12 4 D A C F HE B 所以 DE 2 因为AC BD AB DE 即AC 4 4 2 所以 AC 4 3 1 2 1 2 33 三 8 解 四边形 ABCD 是菱形 因为四边形 ABCD 中 AB CD 且 AB CD 所以四边形 ABCD 是平行四边形 又因为 AB BC 所以ABCD 是菱形 A 点拨 根据已知条件 不难得出四边形 ABCD 为平行四边形 又 AB BC 即一组邻边 相等 由菱形的定义可以判别该四边形为菱形 四 9 解 四边形 PCOD 是菱形 理由如下 因为 PD OC PC OD 所以四边形 PCOD 是平行四边形 又因为四边形 ABCD 是矩形 所以 OC OD 所以平行四边形 PCOD 是菱形 20 3 菱形的判 B 卷 一 七彩题 1 一题多解题 如图所示 ABC 中 ACB 90 ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D CH AB 于 H 且交 BD 于点 F DE AB 于 E 四边形 CDEF 是菱形吗 请说明理由 5 K D A C F HG E B DA C F H G EB 二 知识交叉题 2 科内交叉题 如图所示 已知 ABC 中 AB AC D 是 BC 的中点 过点 D 作 DE AB DF AC 垂足分别为 E F 再过 E F 作 EG AC FH AB 垂足分别为 G H 且 EG FH 相交于点 K 试说明 EF 和 DK 之间的关系 三 实际应用题 3 菱形以其特殊的对称美而备受人们喜爱 在生产生活中有极其广泛的应用 如图 所示是一块长 30cm 宽 20cm 的长方形的瓷砖 E F G H 分别是边 BC CD DA AB 的中点 涂黑部分为淡蓝色花纹 中间部分为白色 现有一面长 4 2m 宽 2 8m 的墙壁 准备贴这种瓷砖 试问 1 这面墙壁最少要贴这种瓷砖多少块 2 全部贴满瓷砖后 这面墙壁最多会出现多少 个面积相等的菱形 其中有花纹的菱形有多少个 四 经典中考题 4 宜宾 已知 如图所示 菱形 ABCD 中 E F 分别是 CB CD 上的点 且 BE DF 1 试说明 AE AF 2 若 B 60 点 E F 分别为 BC 和 CD 的中点 试说明 AEF 为等边三角形 6 五 探究学习篇 1 结论开放题 如图所示 在菱形 ABCD 中 E F 分别是 BC CD 上的点 且 CE CF 请你仔细观察图 除了菱形自身已经具备的性质和题目中的条件外 请你选取一 个角度提出一个问题 并加以说明 2 阅读下列材料 完成后面的问题 如图 在 ABCD 中 BAD 的平分线 AE 与 BC 相 交于点 E ABC 的平分线 BF 与 AD 相交于点 F AE 与 BF 相交于点 O 求证 四边形 ABEF 是菱形 证明 因为四边形 ABCD 是平行四边形 所以 AD BC 所以 7 ABE BAF 180 因为 AE BF 分别平分 BAF ABE 所以 1 2 BAF 3 4 ABE 所以 1 3 ABE BAF 90 1 2 1 2 1 2 所以 AOB 90 所以 AE BF 所以四边形 ABEF 是菱形 问 1 上述证明是否正确 答 2 如有错误 在第 步推理错误 应在第 步后添加如下证明过程 参考答案 一 1 解法一 四边形 CDEF是菱形 理由 如图所示 因为 1 2 ACB 90 DE AB 又 BD BD 所以 CBD EBD 所以 CD DE 因为 1 4 90 2 5 90 1 2 3 5 所以 3 4 所以 CF CD 所以 CF DE 因为 CH AB DE AB 所以 CH DE 所以 CFDE 所以四边形 CDEF 是平行四边形 又 因为 CF CD 所以 CDEF 是菱形 8 解法二 四边形 CDEF 是菱形 理由 如答图 20 3 4 所示 连结 CE 交 DF 于点 O 因为 1 2 BCD BED 90 BD BD 所以 BCD BED 所以 BC BE 又因为 1 2 所以 BD CE 且 OC OE 因为 1 4 90 2 5 90 1 2 3 5 所以 3 4 所以 CF CD 又因为 CE DF 所以 OF OD 所以四边形 CDEF 是平行四边形 又因为 DF CE 所以CDEF 是菱形 A 点拨 解法一利用了菱形的定义 解法二利用了 对角线互相垂直的平行四边形是 菱形 的方法 本题除以上两种解法外 还可利用 四条边都相等的四边形是菱形 的 方法解决 请同学们再进行探讨 二 2 解 EF 与 DK 互相垂直平分 理由 因为 DE AB FH AB 所以 DE FH 因为 DF AC EG AC 所以 DF EG 所以四边形 DEKF 是平行四边形 因为 AB AC 所以 B C 又因为 BD CD BED CFD 90 所以 BDE CDF 所以 DE DF 所以 DEKF 是菱形 所以 EF 与 DK 互相垂直平分 点拨 要说明 EF 与 DK 互相垂直平分 只要说明四边形 DEKF 是菱形 要说明四边 形 DEKF 是菱形 可先说明四边形 DEKF 是平行四边形 再说明一组邻边相等即可 三 3 解 1 因为墙壁的总面积为 4 2 2 8 11 76 m2 每块瓷砖的面积为 0 3 0 2 0 06 m2 所以最少需要贴这种瓷砖 11 76 0 06 196 块 2 因为每相邻 4 块瓷砖构成一个有花纹的菱形 如图 在长 4 2m 宽 2 8m 的墙壁上贴长 30cm 宽 20cm 的长方形瓷砖 9 可贴 4 2 0 3 14 列 2 8 0 2 14 行 因此构成的有花纹的菱形共 13 列 13 行 所以有花纹的菱形共 13 13 169 个 同时 白色菱形的个数与瓷砖的块数相同 故有白色菱形 196 个 从而面积相等的菱形最多有 169 196 365 个 四 4 解 1 因为四边形 A