2012高考数学 考前30天之备战冲刺押题系列 名师预测卷 11

用心 爱心 专心 1 卷卷 1111 一 填空题 本大题共 14 小题 每小题 5 分 共 70 分 请把答案填写在答题卡相应的位置 上 1 1 已知集合 集合 若命题 是命题 的充分 5 Ax x Bx xa xA xB 不必要条件 则实数的取值范围是 a 答案答案 5a 2 2 复数1zi 是虚数单位 则 2 2 z z 答案答案 12i 3 3 为了解某校教师使用多媒体进行教学的情况 采用简单随机抽样的方法 从该校 200 名 授课教师中抽取 20 名教师 调查了他们上学期使用多媒体进行教学的次数 结果用茎叶 图表示如下 据此可估计该校上学期 200 名教师中 使用多媒体 进行教学次数在内的人数为 15 30 答案答案 100 解析 解析 所抽取的 20 人中在内的人数 10 人 15 30 故可得 200 名教师中使用多媒体进行教学次数在内的人数为 15 30 100 人 10 200 20 4 4 如图是一个算法的流程图 则最后输出的的值为 W 答案答案 14 解析 解析 本题考查算法流程图 0 11 23 36 4stststst 10s 所以输出 14wst 5 5 已知是等差数列 的前项和 若 4 16 则的最大值是 n s n an 2 s 4 s 5 a 答案答案 9 用心 爱心 专心 2 6 6 用半径为cm 面积为cm2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器 衔接210 2100 部分忽略不计 则该容器盛满水时的体积是 答案答案 3 3 1000 cm 7 7 若在区间和上分别各取一个数 记为和 则方程表示焦点在 1 5 2 4 mn 22 22 1 xy mn 轴上的椭圆的概率为 x 答案答案 2 解析 解析 本题考查线性规划和几何概型 由题意知画可行域如图阴影部分 15 24 m n mn 直线与 的交点分别为 2 2 4 4 mn 2n 4n 阴影梯形的面积为 1 13 24 2 而区间和构成的区域面积为 8 故所求的概率为 1 5 2 4 41 82 8 8 设是实数 若函数是定义在上的奇函数 但不是偶函数 则函a 1 f xxax R 数的递增区间为 f x 答案答案 1 1 9 9 已知三次函数在 R 上单调递增 则的最小 32 32 ab f xxxcxd ab abc ba 值为 答案答案 3 解析解析 由题意 0 在R上恒成立 则 0 2 fxaxbxc 0a 2 4bac 2 2 abcaabac baaba 222 2 11 1 44 1 bb aabb aa b aba a 令 3 1 b tt a abc ba 2 22 1 1 1 2 1 13 19 4 16 1414141 tt tt t tttt 当且仅当 即时取 4t 44bac 1010 若函数 对任意实数 都有 且 2sin f xxm 88 ftft 3 8 f 则实数的值等于 m 用心 爱心 专心 3 答案答案 或 5m 1 解析 解析 本题考查三角函数的图象与性质 由可知是该函数的一条对称轴 88 ftft 8 x 故当时 或 又由可得或 8 x sin 1x 1 3 8 f 5m 1 1111 已知A B P是双曲线上不同的三点 且A B连线经过坐标原点 若直线 22 22 1 xy ab PA PB的斜率乘积 则该双曲线的离心率为 2 3 PAPB kk 答案答案 2 2 15 1 3 b e a 解析解析 一定关于原点对称 设 A B 11 A x y 11 Bxy P x y 则 22 11 22 1 xy ab 2 2 2 3 PAPB b kk a 2 2 15 1 3 b e a 1212 已知等差数列的公差 d 不为 0 等比数列的公比 q 为小于 1 的正有理数 若 n a n b 且是正整数 则 q 等于 2 11 dbda 321 2 3 2 2 2 1 bbb aaa 答案答案 1 2 1313 已知a 0 b 0 且 其中 a b 表示数a b中较小的数 22 min 4 b ha ab min 则h的最大值为 答案答案 1 2 1414 已知定义在上的函数f x 满足f 1 2 则不等式解集R 1fx 22 1fxx 答案答案 11 用心 爱心 专心 4 二 解答题 本大题共 6 小题 共计 90 分 请把答案写在答题卡相应的位置上 解答 时应写出文字说明 证明过程或演算步骤 1515 本题满分 14 分 如图所示 已知的终边所在直线上的一点的坐标为 的终边在第一象限且与 P 3 4 单位圆的交点的纵坐标为 Q 2 10 求的值 tan 2 若 求 2 2 0 解解 由三角函数的定义知 4 3 tan 2 4 2 24 3 4 1 7 3 tan2 又由三角函数线知 2 10 sin 为第一象限角 7 分 1 7 tan 241 161 77 241 173 77 tan 2 3 5 cos 2 4 5 sin 又 8 分 2 10 sin 2 0 2 7 2 1sin 10 cos 47 2322 5105102 sin sincoscossin 由 得 14 分 2 2 0 3 22 3 4 1616 本题满分 14 分 在三棱锥中 是边长为的正三角形 平面平面 SABC ABC 4SAC ABC 分别为 的中点 32SASC MNABSB 证明 ACSB 理 求二面角的正切值 NCMB 求点到平面的距离 BCMN 解解 解法 解法 取中点 连结 ACDSDDB SASC ABBC SDAC BDAC 平面 又平面 4 分AC SDBSB SDBACSB 用心 爱心 专心 5 平面 平面 平面平面 AC SDBAC ABCSDB ABC 过作于 则平面 NNEBD ENE ABC 过作于 连结 则 为二面角的平面角 EEFCM FNFNFCM NFE NCMB 平面平面 平面 SAC ABCSDAC SD ABC 又平面 NE ABC NESDSNNB 且 22 111 1242 222 SAADNESD EDEB 在正中 由平几知识可求得 ABC 11 42 EFMB 在中 Rt NEF 2tan2 EN EF NFE 二面角的正切值为 8 分NCMB 22 在中 Rt NEF 22 3 2 EFENNF 13 3 22 CMN SCM NF 1 3 2 2 CMB SBM CM 设点到平面的距离为 BCMNh 平面 B CMNN CMB VV NE CMB 11 33 CMNCMN ShSNE 即点到平面的距离为 14 分 4 2 3 CMB CMN SNE S h BCMN 4 2 3 解法解法 取中点 连结 2ACOOSOBSASC ABBC 平面平面 ACSO ACBO SAC ABC 平面平面 平面 SAC ABCAC SO ABCSOBO 如图所示建立空间直角坐标系 则 Oxyz 2 0 0 A3 0 2 0 B 2 0 0 C 2 0 0 2 S 4 0 0 AC 32 0 2 2 SB 6 分32 4 0 0 0 2 2 0AC SB ACSB 又 3 1 0 M32 0 N 2 0 0 C 3 3 0 CM 2 1 0 MN 设为平面的一个法向量 则 nx y z CMN 3 2 30 0 CM nxy MN nxz 取 又为平面的一个法向量 1z 2x 6y 26 1 n 2 0 0 2 OS ABC 得 1 3 cos n OS nOS n OS 2 2 3 sin n OS 即二面角的正切值为 10 分 2 2 3 1 3 2tan 2n OS NCMB 22 由 得 又为平面的一个法向量 3 1 0 MB 26 1 n CMN 3n 用心 爱心 专心 6 点到平面的距离 14 分BCMN 23 2 4 2 33 n MB n d 1717 本题满分 14 分 某公司为了加大产品的宣传力度 准备立一块广告牌 在其背面制作一个形如 ABC的支架 要求 ACB 60 BC的长度大于 1 米 且AC比AB长 0 5 米 为节省材料 要求AC的 长度越短越好 求AC的最短长度 且当AC最短时 BC的长度为多少米 解解 设BC x米 x 1 AC y米 则AB y 1 2 在 ABC中 由余弦定理 得 y 2 y2 x2 2xycos60 1 2 所以y x 1 法一 y x 1 2 2 3 4 x 1 3 当且仅当x 1 即x 1 时 y有最小值 2 3 4 x 1 3 法二 y 由y 0 得x 1 因为当 1 x 1 时 y 0 当x 1 时 y 0 所以当x 1 时 y有最小值 2 3 答 AC的最短长度为 2 米 此时BC的长度为 1 米 14 分 3 1818 本题满分 16 分 已知曲线E ax2 by2 1 a 0 b 0 经过点M 0 的直线l与曲线E交 于点A B 且 2 MB MA 1 若点B的坐标为 0 2 求曲线E的方程 2 若a b 1 求直线AB的方程 解解 1 设A x0 y0 因为B 0 2 M 0 故 2 x0 y0 2 分 MB MA 因为 2 所以 2 2 x0 y0 MB MA 所以x0 y0 1 即A 1 4 分 用心 爱心 专心 7 因为A B都在曲线E上 所以解得a 1 b 1 4 所以曲线E的方程为x2 1 6 分 y2 4 2 法一 当a b 1 时 曲线E为圆 x2 y2 1 设A x1 y1 B x2 y2 因为 2 所以 x2 y2 2 x1 y1 即 MB MA 设线段AB的中点为T 则点T的坐标为 即 x1 x2 2 y1 y2 2 y1 2 所以 x2 x1 y2 y1 3x1 3y1 OT y1 2 AB 3 因为OT AB 所以 0 即 3 4x1 3x 3y 0 OT AB 3 2 1 2 1 因为x y 1 所以x1 y1 2 1 2 1 1 2 当点A的坐标为 时 对应的点B的坐标为 0 1 此时直线AB的斜率 1 2 k 所求直线AB的方程为y x 1 33 当点A的坐标为 时 对应的点B的坐标为 0 1 此时直线AB的斜率k 1 2 3 所求直线AB的方程为y x 1 16 分 3 法二 当a b 1 时 曲线E为圆 x2 y2 1 设A x1 y1 B x2 y2 因为 2 所以 x2 y2 2 x1 y1 即 MB MA 因为点A B在圆上 所以 由 4 得 2x1 x2 2x1 x2 3 所以 2x1 x2 解得x1 x2 0 3 由x1 得y1 以下同方法一 1 2 法三 如图 设AB中点为T 则TM TA MA AB OM 1 6 根据 Rt OTA和 Rt OTM 得 即解得AB OT 所以在 Rt OTM中 3 1 2 tan OMT OT TM3 所以kAB 或 所以直线AB的方程为y x 1 或y x 1 3333 1919 本题满分 16 分 用心 爱心 专心 8 设f x x3 等差数列 an 中a3 7 记Sn 令bn anSn 123 12aaa 3 1n fa 数列的前n项和为Tn 1 n b 1 求 an 的通项公式和Sn 2 求证 Tn 1 3 3 是否存在正整数m n 且 1 m n 使得T1 Tm Tn成等比数列 若存在 求出 m n的值 若不存在 说明理由 解解 1 设数列的公差为 由 n ad72 13 daa1233 1321 daaaa 解得 3 1 1 ad23 nan 3 xxf Sn 4 分 3 1 n af13 1 nan 2 13 23 nnSab nnn 13 1 23 1 3 1 13 23 11 nnnnbn 8 分 3 1 13 1 1 3 1 n Tn 3 由 2 知 13 n n n T 13 4 1 1 m m TT m 31 n n T n 成等比数列 nm TTT 1 即 9 分 134 1 13 2 n n m m n n m m431 2 6 当时 7 1 不合题意 1 m n n43 n 当时 16 符合题意 10 分2 m 4 13 n n43 n 当时 无正整数解 当时 无正整数解 3 m 9 19 n n43 n4 m 16 25 n n43 n 当时 无正整数解 5 m 25 31 n n43 n 当时 无正整数解 12 分6 m 36 37 n n43 n 当时 则 而7 m010 3 16 22 mmm1 16 2 m m 3 4 3 43 nn n 所以 此时不存在正整数m n 且 1 m n 使得成等比数列 15 分 nm TTT 1 综上 存在正整数m 2 n 16 且 1 m n 使得成等比数列 16 分 nm TTT 1 2020 本题满分 16 分 若函数 432 f xxaxbxcxd 1 当 时 若函数的图象与轴所有交点的横坐标的和与积1ad 0bc f xx 分别为 mn 用心 爱心 专心 9 i 求证 的图象与轴恰有两个交点 f xx ii 求证 23 mnn 2 当 时 设函数有零点 求的最小值 ac 1d f x 22 ab 解解 1 i 因为 322 4343f xxxxx 所以是使取到最小值的唯一的值 且在区间上 函数单调 3 4 x f x 3 4 f x 递减 在区间上 函数单调递增 因为 3 4 f x 3 0 4 f 10f 所以的图象与x轴恰有两个交点 4 分 20f f x ii 设x1 x2是方程的两个实根 则有因式 0f x f x 且可令 于是有 2 12 xxxxxmxn f x 22 xmxn xpxq 2243 1xmxn xpxqxx 分别比较 式中常数项和含x3的项的系数 得 1nq 1pm 解得 1 q n 1pm 所以 43 1xx 22 1 1 xmxnxmx n 分别比较 式中含x和x2的项的系数 得 10 m n m n 1 10nm m n n得 即 10 分m 32 0nnm 32 nnm 2 方程化为 2 2 1 0 a xaxb xx 令 方程为 即有绝对值不小于 2 的实根 1 tx x 2 20tatb 2t 设 2 20g ttatb 2t 当 即时 只需 此时 2 2 a 4a 2 480ab 22 16ab 当 即时 只需 此时 2 2 a 4a 2 480ab 22 16ab 当 即时 只需或 22 2 a 44a 2 2220ab 2 2220ab 用心 爱心 专心 10 即或 此时 220ab 220ab 22 4 5 ab 的最小值为 16 分 22 ab 4 5 附加题 附加题 2121 选做题 本题包括 A B C D 共 4 小题 请从这 4 题中选做 2 小题 每小题 10 分 共 20 分 请在答题卡上准确填涂题目标记 解答时应写出文字说明 证明过程或演算 步骤 A 选修 4 1 几何证明选讲 如图 O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P E为 O 上一点 AE AC 求证 PDE POC 证明证明 因AE AC AB为直径 故 OAC OAE 3 分 所以 POC OAC OCA OAC OAC EAC 又 EAC PDE 所以 PDE POC 10 分 B 选修 4 2 矩阵与变换 试求曲线在矩阵MNMN变换下的函数解析式 其中M M N N xysin 20 01 10 0 2 1 解解 MNMN 4 分 20 01 10 0 2 1 20 0 2 1 即在矩阵MNMN变换下 6 分 y x y x y x 2 2 1 即曲线在矩阵MNMN变换下的函数解析式为 10 分xysin xy2sin2 用心 爱心 专心 11 C 选修 4 4 坐标系与参数方程 已知直线的参数方程 为参数 和圆的极坐标方程 1 2 xt yt C 4 sin 22 1 将直线的参数方程化为普通方程 圆的极坐标方程化为直角坐标方程 C 2 判断直线和圆的位置关系 C 解解 消去参数 得直线的普通方程为 2 分12 xy 即 4 sin22 cos sin2 两边同乘以得 cossin 2 2 6 分2 1 1 22 xx 2 圆心到直线的距离 C2 5 52 12 112 22 d 所以直线和 相交 10 分C D 选修 4 5 不等式选讲 已知x y z均为正数 求证 111 y xz yzzxxyxyz 证明证明 因为x y z都是为正数 所以 12 xyxy yzzxz yxz 3 分 同理可得 22yzzx zxxyx xyyzy 将上述三个不等式两边分别相加 并除以 2 得 111xyz yzzxxyxyz 10 分 用心 爱心 专心 12 2222 必做题 本题满分 10 分 解答时应写出文字说明 证明过程或演算步骤 甲 乙 丙三个同学一起参加某高校组织的自主招生考试 考试分笔试和面试两部分 笔试和面试均合格者将成为该高校的预录取生