2012高考数学热点集锦 基本函数的性质

用心 爱心 专心 1 基本函数的性质基本函数的性质 两年真题重温 1 2011 新课标全国 下列函数中 既是偶函数又在 0 单调递增的函数是 A 3 yx B 1yx C 2 1yx D 2 x y 和 4 q 12 pp 中 真命题是 A 1 q 3 q B 2 q 3 q C 1 q 4 q D 2 q 4 q 答案 C 解析 命题意图 本题主要考查复合命题的真假的判断 涉及函数的单调性等知识 1 p 函数 22 xx y 在 R 为增函数为真命题 而函数 22 xx y 为偶函数 则 22 xx y 在 R 不可能为减函数 2 p 函数 22 xx y 在 R 为减函数为假命题 则 1 p 为假命题 2 p 为真命题 然后根据复合命题的判断方法即可确定答案 C 命题意图猜想 高中阶段包含基本函数有一次函数 二次函数 指数函数 对数函数和幂函数 其中以指数 函数和对数函数的性质为命题热点 且常以复合函数或分段函数的形式出现 达到一题多考 的目的 题型一般为选择题 填空题 属中低档题 主要考查利用指数和对数函数的性质比 较对数值大小 求定义域 值域 最值以及对数函数与相应指数函数的关系 也应为同学们 必须得分的题目 2010 年以指数函数为背景考查复合函数的性质 2011 年以多个基本函数 为背景考查了函数性质 均没有涉及到对数函数的基本性质 这是我们应该关注的一个重点 同时需要注意幂函数的图像在解题中应用 最新考纲解读 1 指数函数 通过具体实例 了解指数函数模型的实际背景 理解有理指数幂的含义 通过具体实例了解实数指数幂的意义 掌握幂的运算 用心 爱心 专心 2 理解指数函数的概念和意义 能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象 探索并理 解指数函数的单调性与特殊点 在解决简单实际问题的过程中 体会指数函数是一类重要的函数模型 图象与性质及数值大小比较等问题上 结合数形结合 分类讨论 函数与方程的思想予以考 查 与方程 不等式 分段函数 数列 导数 三角函数等相联系 仍将是命题的重点 回归课本整合 1 指数式 对数式指数式 对数式 m nm n aa 1 m n m n a a 0 1a log 1 0 a log 1 aa lg2 lg51 log ln ex x log 0 1 0 b a aNNb aaN logaN aN log log log c a c b b a loglog m n a a n bb m 2 2 指数 对数值的大小比较指数 对数值的大小比较 1 化同底后利用函数的单调性 2 作差或作商法 3 利用中间量 0 或 1 4 化同指数 或同真数 后利用图象比较 3 指数函数 指数函数 1 指数函数图象和性质 1a 01a 图 象 定义域 R值域 0 过定点 0 1性 质 在R上是增函数在R上是减函数 1y O x y xO y 1y 用心 爱心 专心 3 当 0 x 1y 当 0 x 01y 当 0 x 0 1y 当 0 x 1y 抽 象形 式 f xyf x f yf xyf xf y 2 x ya 0a 且 1a 的图象特征 1 a 时 图象像一撇 过点 0 1 且在y轴左侧a越大 图象越靠近y轴 如图1 0 1a 时 图象像一捺 过点 0 1 且在y轴左侧a越小 图象越靠近y轴 如图2 x ya 与 x ay 的图象关于y轴对称 如图3 x ya 的图象如图 4 4 对数函数对数函数 1 1 对数的图象和性质 对数的图象和性质 1a 01a 图 象 1 1 o y x 1 1 o y x 定义域 0 值域 R 过定点 1 0 1 0 x 时 0 y 1 x 时 0 y 1 0 x 时 0 y 1 x 时 0 y 性 质 在 0 上是增函 数 在 0 上是减函数 用心 爱心 专心 4 2 10 log aaxy a 且 的图象特征 1 a 时 图象像一撇 过 1 0 点 在x轴上方a越大越靠近x轴 0 1a 时 图象像一捺 过 1 0 点 在x轴上方a越小越靠近x轴 x ay 1 1aa 与 xy a log 互为反函数 图象关于y x 对称 如图 2 log 1 a yx a 的图象 3 log 1 a yx a 的图象 4 5 幂函数的定义和图象 1 定义 形如y x 的函数叫幂函数 为常数 要重点掌握 1 2 3 Error 1 0 Error 2 时的幂函数 形 式 f xyf xf yf xyf xf y 用心 爱心 专心 5 1 当 0 时 幂函数图象都过 0 0 点和 1 1 点 且在第一象限都是增 函数 当 0 1 时 曲线下凸 1 时 为过 0 0 点和 1 1 点的直线 2 当 0 且a 1 y logaf x a 0 且a 1 定义域t f x 的定义域t f x 0 的解集 值域 先求t f x 的值域 再由 y at的单调性得解 先求t的取值范围 再由y logat的单调性得解 y af x a 0 且a 1 y logaf x a 0 且a 1 过定点 令f x 0 得x x0 则过定 点 x0 1 令f x 1 得x x0 则过定点 x0 0 单调区 间 先求t f x 的单调区间 再 由同增异减得解 先求使t f x 0 恒成立的单调区间 再由同增异减 得解 方法技巧提炼 1 指数运算的实质是指数式的积 商 幂的运算 对于指数式的和 差应充分运用恒等变 形和乘法公式 对数运算的实质是把积 商 幂的对数转化为对数的和 差 倍 2 指数函数y ax a 0 且a 1 与对数函数y logax a 0 且a 1 互为反函数 应从概 念 图象和性质三个方面理解它们之间的联系与区别 3 明确函数图象的位置和形状要通过研究函数的性质 要记忆函数的性质可借助于函数的图 象 因此要掌握指数函数和对数函数的性质首先要熟记指数函数和对数函数的图象 4 求解与指数函数有关的复合函数问题时 首先要熟知指数函数的定义域 值域 单调性等 相关性质 其次要明确复合函数的构成 涉及值域 单调区间 最值等问题时 都要借助 同增异减 这一性质分析判断 最终将问题归纳为与内层函数相关的问题加以解决 考场经验分享 1 此类题一般在选择题的中间位置 难度为中档 应该是得分的题目 在解题时注意解答选 择题常用的方法 验证法和排除法的应用 2 指数函数y ax a 0 a 1 的图象和性质与a的取值有关 要特别注意区分a 1 与 0 a0 且a 1 与对数式 logaN b a 0 且a 1 N 0 的关系以及这两种形式 的互化是对数运算法则的关键 5 在运算性质 logaMn nlogaM a 0 且a 1 M 0 时 要特别注意条件 在无M 0 的条件下 应为 logaMn nloga M n N 且n为偶数 用心 爱心 专心 6 6 幂函数的图象一定会出现在第一象限 一定不会出现在第四象限 至于是否出现在第二 三象限 要看函数的奇偶性 幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内 如果幂函数图 象与坐标轴相交 则交点一定是原点 新题预测演练 1 1 唐山市唐山市 20112011 20122012 学年度高三年级第一学期期末考试学年度高三年级第一学期期末考试 函数 1 lg 2 yx 的定义域为 A 0 8 B 2 8 C 2 8 D 8 3 3 20122012 届浏阳一中高三第一次月考 届浏阳一中高三第一次月考 下列函数中 在 1 1 内有零点且单调递增的是 A 1 2 logyx B y 2x 1 C 2 1 2 yx D 3 yx 答案 B 解析 由所求函数在 1 1 内是增函数 故排除 C D 又因为 1 2 logyx 中的真数 0 x 故 A 错误 故选 B 4 4 潍坊市三县潍坊市三县 20122012 届高三届高三 1010 月联合考试月联合考试 下图给出 4 个幂函数的图像 则图像与函数的大致对应是 用心 爱心 专心 7 11 21 32 yxyxyxyx 1 321 2 yxyxyxyx 1 231 2 yxyxyxyx 11 21 32 yxyxyxyx 答案 B 解析 因为 3 yx 定义域为 R 且为奇函数 故应为图 2 yx 为开口向上的抛物线 且顶点为原点 应为图 同理可得出选项 B 正确 5 20125 2012 年石家庄市高中毕业班教学质量检测年石家庄市高中毕业班教学质量检测 二二 函数 xf 满足 00 f 其导函数 x f 的图象如下图 则 xf 在 2 1 上的最小 值为 A 1 B 0 C 2 D 3 答案 A 解析 由导函数 x f 的图像可知 函数 xf 为二次函数 且对称轴为 1 x 开口 方向向上 设函数 2 0 0 0 0 2 f xaxbxc afcfxaxb 因过点 1 0 与 0 2 则有2 1 0 202 1 2 ababab 2 2f xxx 则 xf 在 2 1 上的最小值为 11 f 6 6 福州市福州市 20122012 届第一学期期末高三质检届第一学期期末高三质检 已知 0 20 20 6 2 0 4 0 4abc 则 A a bc B a cb C c ab D b ca 8 8 20122012 届四川省自贡市高三第一次诊断性考试 届四川省自贡市高三第一次诊断性考试 已知函数 22 x f x 则函数 yf x 的图像可能是 用心 爱心 专心 8 9 20119 2011 学年杭州学军中学高三年级第学年杭州学军中学高三年级第 2 2 次月考次月考 已知集合M ln 1 x yx 集合 RxeyyN x e为自然对数的底数 则 NM A 1 xx B 1 xx C 10 xx D 答案 C 解析 M ln 1 1 x yxx x 0 x Ny yexRy y 01 MNxx 故选 C 10 201210 2012 年石家庄市高中毕业班教学质量检测年石家庄市高中毕业班教学质量检测 二二 已知定义域为 R 的函数 xf 是奇函数 当 0 x 时 xf 2 ax 2 a 且对 x R 恒 有 xfxf 1 则实数a的取值范围为 A 0 2 B 2 1 2 1 C 1 1 D 2 0 1 1 用心 爱心 专心 9 1 1 河北省石家庄市河北省石家庄市 20122012 届高三上学期教学质量检测届高三上学期教学质量检测 一一 设集合 0 1 1 2AB 函数 00 2 42 x xA f xxAff xA x xB 且 则 0 x 的取值范围是 A 2 3 log 1 2 B 3 log 2 1 C 2 1 3 D 3 0 4 答案 A 解析 00 000 1 2 2 42 2 xx xAf xBff xf 0 0 42 20 1 x ff xA 解得 02 3 log 1 2 x 又 002 3 0 1 log 1 2 xx 12 12 唐山市唐山市 20112011 20122012 学年度高三年级第一学期期末考试学年度高三年级第一学期期末考试 像向下平移了 b 个单位 且图像与 y 轴的交点在负半轴其渐近线大于 1 故 10 b 函数 1 yb xa 的图像可以看做由函数 1 y x 的图像向左平移a个单位 然后向下平移 b 的单位得到 结合反比例函数图像和a b 的范围可知正确答案为 C 13 13 山西省山西省 20122012 届高三第二次四校联考届高三第二次四校联考 已知函数 2 1 2 1 2 2 x xxa xf x 满足对任意的实数21 xx 都有 0 21 21 xx xfxf 成立 则实数a的取值范围为 A 2 B 8 13 用心 爱心 专心 10 C 2 D 2 8 13 答案 B 解析 依题意得知 函数 f x 是R上的减函数 于是有 2 20 1 221 2 a a 由此解 得 13 8 a 即实数a的取值范围是 13 8 选 B 14 14 福州市福州市 20122012 届第一学期期末高三质检届第一学期期末高三质检 已知 g x 为三次函数 32 3 a f xxaxcx 的导函数 则它们的图象可能是 15 15 福州市福州市 20122012 届第一学期期末高三质检届第一学期期末高三质检 设Q为有理数集 函数 1 R Q Q x f x x 1 1 1 x x e g x e 则函数 h xf xg x A 是奇函数但不是偶函数B 是偶函数但不是奇函数 C 既是奇函数也是偶函数D 既不是偶函数也不是奇函数 用心 爱心 专心 11 2 111 0 40 21 011 ayxaxxax aa ayxax 22 2 当时 有最小值 则说明有最小值 故 中判别式小于零 即 当时 有最小值 则说明有最大值 与二次函数性质相互矛盾 舍去 综上可知答案选 C 17 201217 2012 年上海市普通高等学校春季招生考试年上海市普通高等学校春季招生考试 方程 1 420 xx 的解为 答案 1 x 解析 12 420 2 2 20 2 22 0 xxxxxx 20 220 1 xx x 18 201218 2012 年