数学必修四-三角函数复习提纲

高一必修四 三角函数高一必修四 三角函数 一一 任意角的概念与弧度制任意角的概念与弧度制 一 角的概念的推广 1 角概念的推广 在平面内 一条射线绕它的端点旋转有两个相反的方向 旋转多少度角就是多少度角 按不同方向旋 转的角可分为正角和负角 其中逆时针方向旋转的角叫做正角 顺时针方向的叫做负角 当射线没有旋转 时 我们把它叫做零角 习惯上将平面直角坐标系 x 轴正半轴作为角的起始边 叫做角的始边 射线旋转 停止时对应的边叫角的终边 2 特殊命名的角的定义 1 正角 负角 零角 见上文 2 象限角 角的终边落在象限内的角 根据角终边所在的象限把象限角分为 第一象限角 第二象限 角等 3 轴线角 角的终边落在坐标轴上的角 终边在 x 轴上的角的集合 Zkk 180 终边在 y 轴上的角的集合 Zkk 90180 终边在坐标轴上的角的集合 Zkk 90 4 终边相同的角 与终边相同的角 2xk 5 与终边反向的角 21 xk 终边在 y x 轴上的角的集合 Zkk 45180 终边在轴上的角的集合 xy Zkk 45180 6 若角与角的终边在一条直线上 则角与角的关系 k 180 7 成特殊关系的两角 若角与角的终边关于 x 轴对称 则角与角的关系 k 360 若角与角的终边关于 y 轴对称 则角与角的关系 180360 k 若角与角的终边互相垂直 则角与角的关系 90360 k 注 1 角的集合表示形式不唯一 2 终边相同的角不一定相等 相等的角终边一定相同 3 本节主要题型 1 表示终边位于指定区间的角 例1 写出在到之间与的终边相同的角 720 720 1050 例2 若是第二象限的角 则是第几象限的角 写出它们的一般表达形式 2 2 例3 写出终边在轴上的集合 y 写出终边和函数的图像重合 试写出角 的集合 yx 在第二象限角 试确定所在的象限 2 2 3 角终边与角终边相同 求在内与终边相同的角 168 0 360 3 二 弧度制 1 弧度制的定义 l R 2 角度与弧度的换算公式 360 2 180 1 0 01745 1 57 30 57 18 注意 正角的弧度数为正数 负角的弧度数为负数 零角的弧度数为零 一个式子中不能角度 弧度混用 3 题型 1 角度与弧度的互化 例 74 315 330 63 2 的应用问题 L R 2 11 22 lrslrr 例1 已知扇形周长 面积 求中心角 10cm 2 4cm 例2 已知扇形弧度数为 半径等于 求扇形的面积 72 20cm 例3 已知扇形周长 半径和圆心角取多大时 面积最大 40cm 例4 1212 37 570 750 53 a 求出弧度 象限 12 b 用角度表示出 并在之间找出 他们有相同终边的所有角 12 720 0 二二 任意角三角函数任意角三角函数 一 三角函数的定义 1 任意角的三角函数定义 正弦 余弦 正切 r y sin r x cos x y tan 2 三角函数的定义域 三角函数定义域 sinx xf Rxx cosx xf Rxx tanx xf ZkkxRxx 2 1 且 二 单位圆与三角函数线 1 单位圆的三角函数线定义 如图 1 PM 表示角的正弦值 叫做正弦线 OM 表示角的余弦值 叫做余弦线 如图 2 AT 表示角的正切值 叫做正切线 注 线段长度表示三角函数值大小 线段方向表示三角函数值正负 三 同角三角函数的基本关系式 同角三角函数关系式 1 商数关系 tan cos sin 2 平方关系 1cossin 22 四 诱导公式 xxk xxk xxk tan tan cos cos sin sin 2 2 2 xx xx xx tan tan cos cos sin sin xx xx xx tan tan cos cos sin sin 2 2 2 xx xx xx tan tan cos cos sin sin xx xx xx tan tan cos cos sin sin 三三 三角函数的图像与性质三角函数的图像与性质 一 基本图像 1 正弦函数 2 余弦函数 sin 2 1 cos cos 2 1 sin cot 2 1 tan sin 2 1 cos cos 2 1 sin cot 2 1 tan 3 正切函数 二 函数图像的性质 正弦 余弦 正切 余切函数的图象的性质 定义域RR 1 2 x xR xk 且 值域 1 1 1 1 R 周期 2 2 奇偶奇函数偶函数奇函数 单调 kk2 2 2 2 上为增函数 kk2 2 3 2 2 上为减函数 Zk kk212 上为增函数 122 kk 上为减函数 Zk kk 22 上为增函数 Zk 对称 对称轴为 2 xk 对称中心为 0 k kZ 对称轴为 xk 对称中心为 0 2 k kZ 无对称轴 对称中心为 0 2 k kZ 三 常见结论 1 与的周期是 xysin xycos xytan xycos xysin 2 或 的周期 sin xy cos xy0 2 T 3 的周期为 2 2 tan x y 4 的对称轴方程是 对称中心 sin xy 2 kx Zk 0 k 的对称轴方程是 对称中心 cos xy kx Zk 0 2 1 k 的对称中心 tan xy 0 2 k 5 当 tan 1tan 2 Zkk tantan1 2 kkZ 6 函数在上为增函数 xytan R 只能在某个单调区间单调递增 若在整个定义域 为增函数 同样也是错误的 xytan 7 奇函数特有性质 若的定义域 则一定有 的定义域 则无此性质 x 0 xf00 fx 0 8 xysin 不是周期函数 为周期函数 xysin T 是周期函数 如图 为周期函数 xycos xycos T 的周期为 如图 并非所有周期函数都有最小正周期 例如 2 1 2cos xy y x y cos x 图象 1 2 y x y cos2x 1 2 图象 四四 和和角角公公式式 两角和与差的公式 sinsincoscos cos tantan1 tantan tan sinsincoscos cos tantan1 tantan tan sincoscossin sin sincoscossin sin 五五 倍倍角角公公式式和和半半角角公公式式 一 倍角与半角公式 cossin22sin 2 cos1 2 sin 2222 sin211cos2sincos2cos 2 cos1 2 cos 2 tan1 tan2 2tan 1 cossin1 cos tan 21cos1cossin 二 万能公式 2 tan1 2 tan2 sin 2 2 tan1 2 tan1 cos 2 2 2 tan1 2 tan2 tan 2 六六 三三角角函函数数的的积积化化和和差差与与和和差差化化积积公公式式 1 sincossinsin 2 1 cossinsinsin 2 1 cosc