2012高考数学 考前冲刺第三部分专题二 函数和反函数

用心 爱心 专心1 20122012 考前冲刺数学第三部分考前冲刺数学第三部分 高考预测高考预测 1 函数的定义域和值域 2 函数单调性的应用 3 函数的奇偶性和周期性的应用 4 反函数的概念和性质的应用 5 借助函数单调性求函数最值或证明不等式 6 综合运用函数奇偶性 周期性 单调性进行命题 7 反函数与函数性质的综合 易错点点睛易错点点睛 易错点 1 函数的定义域和值域函数的定义域和值域 1 2012 模拟题精选 对定义域 Df Dg的函数 y f x y g x 规定 函数 h x gf gf gf DxDxxg DxDxxf DxDxxgxf 且当 且当 且当 1 若函数 f x 1 1 x g x x2 写出函数 h x 的解析式 2 求问题 1 中函数 h x 的值域 错误答案错误答案 1 f x 的定义域 Df为 1 1 g x 的定义域 Dg为 R h x 1 1 1 1 1 1 1 1 2 x x x x x x 2 当 x 1 时 h x 1 2 x x x 1 1 1 x 2 4 或 h x 1 1 x 0 0 h x 的值域为 4 当 x 1 时 h x 1 综合 得 h x 的值域为 1 4 错解分析错解分析 以上解答有两处错误 一是当 x Df但 x Dg时 应是空集而不是 x 1 二是求 h x 的值域时 由 x 1 求 h x x 1 1 1 x 2 的值域应分 x 1 和 x1 则 x 1 0 h x 2 1 1 1 x x 2 4 当且仅当 x 2 时等号成立 若 x 1 则 x 1 0 h x x 1 1 1 x 2 2 2 0 当且仅当 x 0 时等号成 立 当 x 1 时 h x 1 综上 得 h x 的值域为 0 1 4 2 2012 模拟题精选 记函数 f x 1 3 2 x x 的定义域为 A g x lg x a 1 2a x a 1 的定义域为 B 1 求 A 2 若 B A 求实数 a 的取值范围 B A 2a 1 或 a 1 1 即 a 2 1 或 a 2 而 a 2 3 A y y 1 B y y 1 C y y 0 D y y 0 错误答案错误答案 选 A 或 B 错解分析错解分析 错误地认为是求函数 y 2 x和 y 1 x的定义域的交集 实际上是求两 函数的值域的交集 正确解答正确解答 集合中的代表元素为 y 两集合表示两函数的值域 又 M y y 2 x y y 0 P y y 1 x y y 0 M P y y 0 故选 C 特别提醒特别提醒 对于含有字母的函数求定义域或已知其定义域求字母参数 的取值范围 必须对字母酌 取值情况进行讨论 特别注意定义域不能为空集 2 求函数的值域 不但要重视对应法则 的作用 而且要特别注意定义域对值域的制约作用 变式探究变式探究 1 若函数 y lg 4 a 2x 的定义域为 R 则实数 a 的取值范围是 用心 爱心 专心4 A 0 B 0 2 C 2 D 0 答案 D 解析 4 a 0 0 2 4 2 4 02 aRaR xx x 上恒成立在的解集为 2 已知函数 f x 的值域是 2 3 则函数 f x 2 的值域为 A 4 1 B 0 5 C 4 1 0 5 D 2 3 答案 D 解析 f x 2 的图象是把 f x 的图象向右平移 2 个单位 因此 f x 2 的值 域不变 3 已知函数 f x lg x2 2mx m 2 1 若该函数的定义域为 R 试求实数 m 的取值范围 答案 解析 1 由题设 得不等式 x2 2mx m 2 0 对一切实数 x 恒成立 2m 2 4 m 2 0 解得 1 m0 g x x2 2 1 a x 2a 0 在 1 1 上恒成立 即 0 1 1 2 1 2 g a 或 4 1 a 2 8a 0 或 0 1 1 2 1 2 g a 解得 a 用心 爱心 专心5 故 f x 在 1 1 上不可能为单调函数 错解分析错解分析 上面解答认为 f x 为单调函数 f x 就只能为单调增函数 其实 f x 还有可能为单调减函数 因此应令 f x 0 或 f x 0 在 1 1 上恒成立 正确解答正确解答 f x ex x2 2ax ex 2x 2a ex x2 2 1 a x 2a f x 在 1 1 上是单调函数 1 若 f x 在 1 1 上是单调递增函数 则 f x 0 在 1 1 上恒成立 即 ex x2 2 1 a x 2a 0 在 1 1 上恒成 立 ex 0 g x x2 2 1 a x 2a 0 在 1 1 上恒成立 则有 0 1 11 g a 或 4 1 a 2 8a 0 或 0 1 11 g a 错误答案错误答案 1 设 1 x1 x2 f x2 f x1 ax2 1 2 1 2 1 11 2 2 x x a x x x ax2 ax1 1 2 1 2 1 1 2 2 x x x x 0 f x 在 1 上是增函数 2 设 x0为方程 f x 0 的负数根 则有 ax0 1 2 0 0 x x 0 即 ax0 1 2 0 0 x x 1 1 3 0 x x0 1 当 1 x0 0 时 0 x0 13 1 0 1 3 x 2 而 a 1 ax0 f x1 而只是象征性地令 f x2 f x1 0 这是许多学生解这类题的一个通病 第 2 问错 用心 爱心 专心6 在把第 1 问的条件当成第 2 问的条件 因而除了上述证明外 还需证明 x0 1 时 方程 也没有负根 正确解答正确解答 设 1 x10 又 a 1 ax2 x1 1 而 1 x10 x2 1 0 f x2 f x1 0 f x 在 1 上为增函数 2 设 x0为方程 f x 0 的负数根 则有 ax0 1 2 0 0 x x 0 即 ax0 1 1 3 1 2 0 0 0 0 x x x x 1 1 3 0 x 显然 x0 1 当 0 x0 1 时 1 x0 1 0 0 1 3 x 3 1 0 1 3 x 2 而 a 1 axO 1 的解 当 x0 1 时 x0 1 0 0 1 3 x 0 矛盾 即不存在 x00 4 3 a1 时 x 在 2 1 0 上单调递增 x 3x2 a 0 在 2 1 0 上恒成立 a 3x2在 2 1 0 上恒成立 又 3x2 0 4 3 a 0 与 a 1 矛盾 a 的取值范围是 4 3 1 故选 B 特别提醒特别提醒 1 讨论函数单调性必须在定义域内进行 因此讨论函数的单调性必须求函数定义域 2 函数的单调性是对区间而言的 如果 f x 在区间 a b 与 c d 上都是增 减 函 数 不能说 f x 在 a b c d 上一定是增 减 函数 3 设函数 y f u u g x 都是单调函数 那么复合函数 y f g x 在其定义域上也是 单调函数 若 y f u 与 u g x 的单调性相同 则复合函数 y f g x 是增函数 若 y f u u g x 的单调性相反 则复合函数 y f g x 是减函数 列出下表以助记忆 y f u u g x y f g x 上述规律可概括为 同性则增 异性则减 变式探究变式探究 1 函数 f x 对任意实数 x 都有 f x f x 1 那么 A f x 是增函数 B f x 没有单调减区间 C f x 可能存在单调增区间 也可能不存在单调减区间 D f x 没有单调增区间 C 解析 根据函数单调性定义进行判断 用心 爱心 专心8 2 函数 y 2 1 log x2 3x 2 的单调增区间是 单调递减区间是 解析 1 2 根据复合函数单调性法则进行求解 3 如果函数 f x 的定义域为 R 对于任意实数 a b 满足 f a b f a f b 1 设 f 1 k k 0 试求 f n n N 解析 1 1 1 0 1 1 1 1 1 nkffnfkknfkf nf nf fnfnf nn 为公比的等比数例为首项是以 设当 x 0 时 f x 1 试解不等式 f x 5 1 xf 答案 2 对任意的 0 0 0 0 0 0 2 22 2 xfRx xfxfxxfxxxfxfxxfRx x f xx fxfRx ooooooo 必有于是对任意 这与已知相矛盾则有则取使假定存在 f 0 f 0 0 f2 0 0 f 0 1 设 x1 x2 则 x1 x21 又 f x2 0 f x1 f x1 x2 x2 f x1 x2 f x2 f x2 f x 为 R 上的减函数 解不等式 f x 5 1 xf f x 0 不等式等价于 f x 5 f x 1 即 f 2x 5 f 0 又 f x 为减函数 2x 51 时 要使 f x 在区间 2 4 上是 减函数 则有 a a a a 4 1 8 1 0 4 4 2 1 当 0 a 1 时 要使 f x 在 2 4 上是减函数 则有 2 1 2 1 4 1 0 2 2 2 1 a a a a 即1 2 1 a 用心 爱心 专心9 综合 得存在实数 a 且 a 的范围为 1 2 1 易错点易错点 3 3 函数的奇偶性和周期性的应用函数的奇偶性和周期性的应用 1 2012 模拟题精选 定义在 R 上的偶函数 f x 满足 f x f x 2 当 x 3 4 时 f x x 2 则 A f sin 2 1 f cos 2 1 B f sin 3 f cos 3 C f sin1 f cos1 D f sin 2 3 f cos 2 3 错误答案错误答案 A 由 f x f x 2 知 T 2 为 f x 的一个周期 设 x 1 0 知 x 4 3 4 f x f x 4 x 4 2 x 2 f x 在 1 0 上是增函数 又 f x 为偶函数 f x f x x 0 1 时 f x x 2 即 f x 在 0 1 上也是增函数 又 sin 2 1 cos 2 1 f sin 2 1 f cos 2 1 2 2012 模拟题精选 若函数 f x 是定义在 R 上的偶函数 在 0 上是减函数 且 f 2 0 则使得 f x 0 的 x 的取值范围是 A 2 B 2 用心 爱心 专心10 C 2 2 D 2 2 错误答案错误答案 C f x f x 0 f 2 x 2 或 x 2 错解分析错解分析 以上解答没有注意到偶函数在对称区间的单调性相反 错误地认为 f x 在 0 上仍是减函数 导致答案选错 正确解答正确解答 D f x 是偶函数 f x f x f x f x 0 f x f 2 又 f x 在 0 上是减函数 f x 在 0 上是增函数 x 2 2 x 2 选 D 3 2012 模拟题精选 设 f x 是定义在 R 上的奇函数 且 y f x 的图像关于直线 x 2 1 对称 则 f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 错误答案错误答案 填 f 0 f x 是定义在 R 上的奇函数 f x f x 又 f x 的 图像关于 x 2 1 对称 f x f 1 x f x f x 1 0 f x f x 1 0 f 5 f 4 0 f 3 f 2 0 f 1 f 0 0 f 5 f 4 f 3 f 2 f 1 f 0 错解分析错解分析 上面解答忽视了奇函数性质的运用 即 f x 在 x 0 处有定义 f 0 0 用心 爱心 专心11 错解分析错解分析 1 对题意理解错误 题设中 在闭区间 0 7 上 只有 f 1 f 3 0 说明除了 f 1 f 3 等于 0 外再不可能有 f 7 0 2 因 f x 在 R 上既不是奇函数 又不是偶函数 不能认为 x 0 10 10 0 上各有两个解 则认为在 0 2005 与在 2005 0 上解的个数相同是错误的 并且 f x 0 在 0 2005 上解的个数不是 401 个 而是 402 个 正确解答正确解答 由 f 2 x f 2 x f 7 x f 7 x 得函数丁 y f x 的对称轴为 x 2 和 x 7 从而知函数 y f x 不是奇函数 由 14 4 7 7 2 2 xfxf xfxf xfxf xfxf f 4 x f 14 x f x f x 10 从而知 f x 是 周期为 10 的周期函数 又 f 3 f 1 0 而 f 7 f 3 0 故函数 y f x 是非奇非偶函数 2 由 1 知 f x 是以周期为 10 的周期函数 f 1 f 11 f 2001 0 f 3 f 13 f 2003 0 f x 0 在 0 2005 上共有 402 个解 同理可求得 f x 0 在 2005 0 上共有 400 个 解 f x 0 在 2005 2005 上有 802 个解 特别提醒特别提醒 1 函数奇偶性定义是判断函数奇偶性的主要依据 为了便于判断有时需要将函数进行 化简 2 要注意从数和形两个角度理解函数的奇偶性 要充分利用 f x 与 f x 之间的转化 关系和图像的对称性解决有关问题 3 解题中要注意以下性质的灵活运用 1 f x 为偶函数 f x f x f x 2 若奇函数 f x 的定义域包含 0 则 f 0 0 变式探究变式探究 1 f x 是定义在 R 上的偶函数 且 g x 是奇函数 已知 g x f x 1 若 g 1 2006 则 f 2006 的值为 A 2005 B 2005 C 2006 D 2006 答案 D 解析 由题设条件易得 f x 4 f x f 2006 f 2 又 f 2 g 1 2006 f 2006 2006 用心 爱心 专心12 2 函数 f x lg 1 x2 g x 1 2 1 0 1 2 xx xhx xx tan2x 中 是偶函数 答案 解析 f x g x 运用奇偶性定义进行判断 3 设 f x 是定义在 R 上的奇函数 且对任意实数 x 恒满足 f x 2 f x 当 x 0 2 时 f x 2x x2 1 求证 f x 是周期函数 答案 解析 1 f x 2 f x f x 4 f x 2 f x f x 是周期为 4 的周期函数 2 当 x 2 4 时 求 f x 的解析式 答案 当 x 2 0 时 x 0 2 由已知得 f x 2 x x 2 2x x2 又 f x 是奇函数 f x f x 2x x2 f x x2 2x 又当 x 2 4 时 x 4 2 0 f x 4 x 4 2 2 x 4 又 f x 是周期为 4 的周期函数 f x f x 4 x 4 2 2 x 4 x2 6x 8 因而求得 x 2 4 时 f x x2 6x 8 计算 0 f 1 f 2 f 2004 答案 f 0 0f 2 0f 1 1f 3 1 又 f x 是周期为 4 的周期函数 f 0 f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 f 7 f 2000 f 2001 f 2002 f 2003 0 又 f 2004 f 0 0 f 0 f 1 f 2 f 2004 0 4 设 a b R 且 a 2 定义在区间 b b 内的函数 f x lg x ax 21 1 是奇函数 求 b 的 取值范围 答案 解析 f x lg 21 1 bxb x ax 是奇函数 等价于 对任意 x b b 都有 0 21 21 x ax xfxf 式即为 lg 1 21 lg 21 1 ax x x ax 即 a2x2 4x2 此式对任意 x b b 都成立相当于 a2 4 a 2 a 2 代入 2 得0 21 21 x x 即 2 1 0 2 1 2 1 2 1 2 1 的取值范围为所以得都成立相当于此式对任意bbbbbxx 用心 爱心 专心13 易错点易错点 4 4 反函数的概念和性质的应用反函数的概念和性质的应用 1 2012 模拟题精选 函数 f x x2 2ax 3 在区间 1 2 上存在反函数的充分必要条 件是 A a 1 B a 2 C a 1 2 D a 1 2 对称轴 x a 不应在 1 2 内 a 1 或 a 2 故选 C 2 典型例题 y 2 2xx 1 x 2 的反函数是 A y 1 2 1x 1 x 1 B y 1 2 1x 0 x 1 C y 1 2 1x 1 x 1 D y 1 2 1x 0 x 1 错误答案错误答案 C y2 2x x2 x 1 2 1 y2 x 1 2 1y x 1 2 1y x y 对换得 y 1 2 1x 又 1 x2 0 1 x 1 因而 f x 的反函数为 y 1 用心 爱心 专心14 2 1x 1 x 1 错误答案错误答案 C y 2 1 ax a x a2x 2y ax 1 0 ax 2 122 2 yy y 1 2 y x loga y 1 2 y x y 对换 f 1 x loga x 1 2 x x R 又 f 1 x 1 loga x 1 2 x 1 x 1 2 x a 1 2 x a x a a x ax 2 1 2 a a 2 1 2 x1 loga x 132 1 x 1 2 x a 1 2 x a x a a xa xax xa 2 1 0 1 0 2 22 或 x 解法 2 利用原函数与反函数的定丈域 值域的关系 原题等价于 x 1 时 f x 2 1 ax a x 的值域 f x 2 1 ax a x 在 R 上单调递增 f x 2 1 a a 1 a a 2 1 2 选 A 4 2012 模拟题精选 设函数 f x 的图像关于点 1 2 对称 且存在反函数 f 1 x f 4 0 f 1 4 错误答案错误答案 填 0 y f x 的图像关于点 1 2 对称 又 f 4 0 f 0 4 f 1 4 0 错解分析错解分析 上面解答错在由图像过点 4 0 得到图像过点 4 0 上 因为 f x 图 像 用心 爱心 专心15 变式探究变式探究 1 函数 y 3x2 1 1 x 0 的反函数是 A y x 3 log1 x 3 1 B y x 3 log1 x 3 1 C y x 3 log1 3 1 x 1 D y x 3 log1 3 1 x 1 答案 D 解析 由 y 3x2 1得 x2 1 log3y 1 xx1时 有 f x2 f x1 x2 x1成立 如果 k 2 证明 3 4 x xf 2 3 用心 爱心 专心17 解析解析 1 用反证法证明 2 用反证法先证 f x x 再运用函数单调性进行放 缩 难点难点 2 2 综合运用函数奇偶性 周期性 单调性进行命题综合运用函数奇偶性 周期性 单调性进行命题 1 设 f x 是定义在 1 1 上的偶函数 当 x 1 0 时 f x g 2 x 且当 x 2 3 时 g x 2a x 2 4 x 2 3 1 求 f x 的表达式 2 是否存在正实数 a a 6 使函数 f x 的图像的最高点在直线 y 12 上 若存在 求出正实数 a 的值 若不存在 请说明理由 解析解析 1 运用函数奇偶性和条件 f x g 2 x 可求得 f x 的解析式 2 利用导 数可求得 f x 的最大值 令最大值等于 12 可知是否存在正实数 a 答案答案 1 当 x 1 0 时 2 x 2 3 f x g 2 x 2a x 4 x 3 4x3 2ax 得 f x 4x3 2ax x 1 0 y f x 在 1 1 上是偶函数 当 x 0 1 时 f x f x 4x3 2ax f x 1 024 0124 3 3 xaxx xaxx 2 命题条件等价于 f x max 12 因为 f x 为偶函数 所以只需考虑 0 x 1 的 情况 求导 f x 12x2 2a 0 x 1 a 6 用心 爱心 专心18 由 f x 0 得 x 6 a 或 x 6 a 舍 6 a 1 当 0 x 1 时 f x 0 f x 在 0 1 上单调递增 f x max f 1 12 a 8 综上 存在 a 8 使得 f x 的图像的最高点在直线 y 12 上 2 函数 y f x 是偶函数 且是周期为 2 的周期函数 当 x 2 3 时 f x x 1 在 y f x ABC 的面积 S 2 1 2t 2 a t t2 a 1 t a t 2 1 a 2 4 1 2 a a 当 2 3 2 1 a 2 即 22 即 a 3 时 函数 S 在 1 2 上单调递增 S 有最大值 S 2 a 2 难点难点 3 3 反函数与函数性质的综合反函数与函数性质的综合 1 在 R 上的递减函数 f x 满足 当且仅当 x M R 函数值 f x 的集合为 0 2 且 f 2 1 1 又对 M 中的任意 x1 x2都有 f x1 x2 f x1 f x2 1 求证 4 1 M 而 8 1 M 2 证明 f x 在 M 上的反函数 f 1 x 满足 f 1 x1 f 1 x2 f 1 x1 x2 3 解不等式 f 1 x2 x f 1 x 2 4 1 x 0 2 解析解析 由给定的函数性质 证明自变量 x 是属于还是不属于集合 最后利用反函 数的概念 性质证明反函数的一个性质和解反函数的不等式 答案答案 用心 爱心 专心19 1 证明 2 1 M 又 4 1 2 1 2 1 f 2 1 1 f 4 1 f 2 1 2 1 f 2 1 f 2 1 1 1 2 0 2 4 1 M 又 f 8 1 f 2 1 4 1 f 2 1 f 4 1 1 2 3 0 2 8 1 M 设 f x 的反函数为 f 1 x 当 a a 1 时 试比较 f 1 g x 与 1 的大小 并证明你 的结论 若 a 1 n N 且 n 2 比较 f n 与 nf 1 的大小 并证明你的结论 解析解析 先根据函数 f x g x 的奇偶性和 f x g x ax可解出 f x g x 再 借助基本不等式和叠加法证明后两小题 答案答案 1 f x g x ax 又 f x g x a x 而 f x 是奇函数 g x 是偶函数 f x g x ax f x 2 xx aa g x 2 xx aa f x g x 2 xx aa 2 xx aa 4 22xx aa 2 1 f 2x 2 0 a 2 11 时 a a 1 0 an 1 a n 1 2 an 3 a n n 3 2 an 1 an 3 a n 1 a n 3 0 f n nf 1 0 即 f n nf 1 典型习题导练典型习题导练 1 函数 f x x 1 2 x 则其反函数的定义域是 A 1 1 B 1 C 1 0 D 1 0 1 答案 D 解析 反函数的定义域即为原函数的值域 x2 1 0 x 1 或