浙江省宁波市2012-2013学年高二数学下学期期末三校联考试题 理（含解析）新人教A版

1 2012 20132012 2013 学年浙江省宁波市三校联考高二 下 期末数学试卷学年浙江省宁波市三校联考高二 下 期末数学试卷 理科 理科 一 选择题 共一 选择题 共 1010 小题 每小题小题 每小题 3 3 分 满分分 满分 3030 分 分 1 3 分 若集合 M 1 0 1 N y y sinx x M 则 M N A 1 B 0 C 1 D 1 0 1 考点 交集及其运算 专题 计算题 分析 先求出集合 N 再进行交集运算即可 解答 解 N sin1 0 sin1 M N 0 故选 B 点评 本题考查交集及其运算 2 3 分 2009 湛江一模 命题 p x 0 log32 x 1 则 A p 是假命题 p x0 0 log32 x0 1 B p 是假命题 p x 0 log32 x 1 C p 是真命题 p x0 0 log32 x0 1 D p 是真命题 p x 0 log32 x 1 考点 命题的否定 专题 计算题 分析 利用指数函数的单调性判断出命题 p 是真命题 据含量词的命题的否定形式写出否 命题 解答 解 0 log32 1 x 0 log32 x 1 成立即命题 p 是真命题 x 0 log32 x 1 的否定 故选 C 2 点评 本题考查含量词的命题的否定形式 是量词任意和存在互换 结论否定 3 3 分 幂函数 f x x 的图象过点 2 4 那么函数 f x 的单调递增区间是 A 2 B 1 C 0 D 2 考点 幂函数的性质 专题 计算题 分析 利用点在幂函数的图象上 求出 的值 然后求出幂函数的单调增区间 解答 解 幂函数 f x x 的图象过点 2 4 所以 4 2 即 2 所以幂函数为 f x x2它的单调递增区间是 0 故选 C 点评 本题考查求幂函数的解析式 幂函数的单调性 是基础题 4 3 分 已知集合 S x N 2 x 1 4 且 x 1 则集合 S 的真子集的个数是 A 32B 31C 16D 15 考点 子集与真子集 专题 计算题 分析 根据题意 首先求得 S 可得其中有 4 个元素 由集合的元素数目与子集数目的关系 可得其子集的数目 再排除其本身后 可得答案 解答 解 根据题意 2 x 1 4 可化为 1 x 5 则集合 S x N 2 x 1 4 且 x 1 x 1 x 5 0 2 3 4 其子集共 24 1 16 1 15 个 故选 D 点评 本题考查集合的元素数目与子集数目的关系 若一个集合有 n 个元素 则其由 2n个 子集 但其中包括本身与 5 3 分 若 f x a 1 x2 a 2 x a2 a 2 是偶函数 则 a A 1B 2C 3D 4 考点 函数奇偶性的判断 3 专题 计算题 函数的性质及应用 分析 由 f x a 1 x2 a 2 x a2 a 2 是偶函数 知 f x f x 由此能 求出 a 的值 解答 解 f x a 1 x2 a 2 x a2 a 2 是偶函数 f x a 1 x2 a 2 x a2 a 2 a 1 x2 a 2 x a2 a 2 a 2 0 解得 a 2 故选 B 点评 本题考查函数的奇偶性的判断和应用 是基础题 解题时要认真审题 仔细解答 6 3 分 2009 江西 设函数 f x g x x2 曲线 y g x 在点 1 g 1 处的 切线方程为 y 2x 1 则曲线 y f x 在点 1 f 1 处切线的斜率为 A 4B C 2D 考点 利用导数研究曲线上某点切线方程 直线的斜率 专题 计算题 分析 欲求曲线 y f x 在点 1 f 1 处切线的斜率 即求 f 1 先求出 f x 然后根据曲线 y g x 在点 1 g 1 处的切线方程为 y 2x 1 求出 g 1 从 而得到 f x 的解析式 即可求出所求 解答 解 f x g x 2x y g x 在点 1 g 1 处的切线方程为 y 2x 1 g 1 2 f 1 g 1 2 1 2 2 4 y f x 在点 1 f 1 处切线斜率为 4 故选 A 点评 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程 直线的斜率等有关基础知识 考查运算求解能力 推理论证能力 属于基础题 7 3 分 函数 f x x3 bx2 cx d 的大致图象如图所示 则等于 A B C D 考点 利用导数研究函数的极值 专题 综合题 4 分析 由图象知 f x 0 的根为 1 0 2 求出函数解析式 x1和 x2是函数 f x 的极 值点 故有 x1和 x2 是 f x 0 的根 可结合根与系数求解 解答 解 f x x3 bx2 cx d 由图象知 1 b c d 0 0 0 0 d 0 8 4b 2c d 0 d 0 b 1 c 2 f x 3x2 2bx c 3x2 2x 2 由题意有 x1和 x2是函数 f x 的极值点 故有 x1和 x2 是 f x 0 的根 x1 x2 x1 x2 则 x12 x22 x1 x2 2 2x1 x2 故答案为 点评 本题考查一元二次方程根的分布 根与系数的关系 函数在某点取的极值的条件 以及求函数的导数 属中档题 8 3 分 已知命题 p 函数 y log 0 5 x2 2x a 的值域为 R 命题 q 函数 y x a 2 在 2 上是增函数 若 p 或 q 为真命题 p 且 q 为假命题 则实数 a 的取值范围是 A a 1 或 a 2 B a 2C 1 a 2 D a 1 考点 复合命题的真假 专题 计算题 分析 由题意可得 p q 分别对应的 a 的范围 由命题的真假可知 p q 一真一假 由集合 的交并运算可得答案 解答 解 由函数 y log 0 5 x2 2x a 的值域为 R 可得 4 4a 0 解得 a 1 由函数 y x a 2在 2 上是增函数 可得 a 2 因为 p 或 q 为真命题 p 且 q 为假命题 所以 p q 一真一假 当 p 真 q 假时 可得 a 1 当 p 假 q 真时 可得 1 a 2 综上可得 a 2 故选 B 点评 本题考查复合命题的真假 涉及函数的值域和单调性 属基础题 9 3 分 2005 安徽 函数 f x x3 ax2 3x 9 已知 f x 在 x 3 时取得极值 则 a A2B3C4D5 5 考点 利用导数研究函数的极值 专题 计算题 分析 因为 f x 在 x 3 是取极值 则求出 f x 得到 f 3 0 解出求出 a 即 可 解答 解 f x 3x2 2ax 3 又 f x 在 x 3 时取得极值 f 3 30 6a 0 则 a 5 故选 D 点评 考查学生利用导数研究函数极值的能力 10 3 分 函数 f x x3 1 x3 2 x3 100 在 x 1 处的导数值为 A 0B 100 C 3 99 D 3 100 考点 导数的运算 专题 导数的概念及应用 分析 本题对 100 个因式的乘积求导 只有对第一个因式求导时不再含有因式 x3 1 而对 剩下的每个因式求导时都含有因式 x3 1 据此可计算出导数值 解答 解 f x x3 1 x3 2 x3 100 f x 3x2 x3 2 x3 3 x3 100 3x2 x3 1 f 1 3 99 0 3 99 故选 C 点评 本题考查求导函数的值 弄清导数的特点是计算的前提 二 填空题 共二 填空题 共 7 7 小题 每小题小题 每小题 3 3 分 满分分 满分 2121 分 分 11 3 分 已知全集 U R A y y 2x 1 B x lnx 0 则 UA B x x 1 考点 交 并 补集的混合运算 专题 规律型 分析 先将集合 A B 进行化简 确定集合 A B 的元素 然后利用补集和交集 进行交补 运算 解答 解 因为 A y y 2x 1 y y 1 B x lnx 0 x x 1 所以 UA y y 1 所以 UA B x x 1 故答案为 x x 1 6 点评 本题的考点是集合的交集和补集运算 先将集合进行化简是解决本题的关键 12 3 分 幂函数 f x 的图象过点 3 则 f x 的解析式是 f x 考点 幂函数的单调性 奇偶性及其应用 专题 待定系数法 分析 幂函数 f x 的图象过点 3 故可根据幂函数的定义用待定系数法设出函 数的解析式 代入所给点的坐标求参数 由此可得函数的解析式 解答 解 由题意设 f x xa 幂函数 f x 的图象过点 3 f 3 3a a f x 故答案为 f x 点评 本题的考点是幂函数的单调性 奇偶性及其应用 考查用待定系数法求已知函数类 型的函数的解析式 待定系数法求解析式是求函数解析式的常用方法 主要用求函 数类型已知的函数的解析式 13 3 分 2006 上海 已知函数 f x 是定义在 上的偶函数 当 x 0 时 f x x x4 则当 x 0 时 f x x4 x 考点 函数奇偶性的性质 专题 计算题 转化思想 分析 先设 x 0 得 x 0 代入已知的解析式求出 f x 再由偶 函数的关系式 f x f x 求出 解答 解 设 x 0 则 x 0 当 x 0 时 f x x x4 f x x x4 f x 是定义在 上的偶函数 f x f x x x4 故答案为 x4 x 7 点评 本题考查了利用函数奇偶性求函数的解析式 即求谁设谁 利用负号转化到已知范 围内 求出 f x 的关系式 再利用偶函数的关系式求出 f x 的表达式 考查 了转化思想 14 3 分 已知函数 f x x3 ax2 bx a2在 x 1 处有极值 10 则 a b 44 考点 利用导数研究函数的极值 函数的零点与方程根的关系 专题 导数的综合应用 分析 求出导函数 令导函数在 1 处的值为 0 f x 在 1 处的值为 10 列出方程组求出 a b 的值 注意检验 解答 解 f x 3x2 2ax b 由题意得 f 1 3 2a b 0 f 1 1 a b a2 10 联立 解得或 当 a 3 b 3 时 f x 3x2 6x 3 3 x 1 2 x 1 或 x 1 时 f x 0 所以 x 1 不为极值点 不合题意 经检验 a 4 b 11 符合题意 所以 ab 44 故答案为 44 点评 本题考查利用导数研究函数的极值 可导函数 f x 在 x x0处取得极值的充要条件 是 f x0 0 且在 x0左右两侧导数异号 15 3 分 2012 河南模拟 已知直线 y x 1 与曲线 y ln x a 相切 则 a 的值为 2 考点 利用导数研究曲线上某点切线方程 专题 计算题 分析 切点在切线上也在曲线上得到切点坐标满足两方程 又曲线切点处的导数值是切线 斜率得第三个方程 三个方程联立即可求出 a 的值 解答 解 设切点 P x0 y0 则 y0 x0 1 y0 ln x0 a 又 切线方程 y x 1 的斜率为 1 即 x0 a 1 y0 0 x0 1 a 2 故答案为 2 点评 此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率 是一道基础题 学生在 解方程时注意利用消元的数学思想 8 16 3 分 已知集合 A x x2 ax b x 1 0 集合 B 满足条件 A B 1 2 A CUB 3 U R 则 a b 等于 1 考点 交 并 补集的混合运算 专题 探究型 分析 先根据条件 A B 1 2 A CUB 3 确定集合 A 的元素 然后代入方程求 a b 解答 解 因为 A B 1 2 所以 1 A 2 A 又因为 A CUB 3 所以 3 A 所以 2 3 是方程 x2 ax b 0 的两个根 所以有根与系数的关系可知 2 3 a 2 3 b 解得 a 5 b 6 所以 a b 1 故答案为 1 点评 本题的考点是利用集合的关系判断集合的元素 以及利用根与系数之间的关系求方 程系数问题 17 3 分 有下列命题 命题 x R 使得 x2 1 3x 的否定是 x R 都有 x2 1 3x 设 p q 为简单命题 若 p q 为假命题 则 p q 为真命题 若 p x ax2 2x 1 0 则 x R p x 是真命题 的充要条件为 a 1 若函数 f x 为 R 上的奇函数 当 x 0 f x 3x 3x a 则 f 2 14 不等式的解集是 其中所有正确的说法序号是 考点 命题的真假判断与应用 专题 计算题 分析 根据命题否定的定义对其进行判断 p 为真则 p 为假 反过来 p 为假 p 为真 利用此定义进行判断 对 x R 方程 ax2 2x 1 0 可得判别式小于 0 可以推出 a 的范围 根据奇函数过点 0 0 求出 a 值 根据 x 0 的解析式 可以求出 x 0 时的解 析式 把 x 2 进行代入 解不等式要移项 注意分母不为零 由此进行判断 解答 解 已知命题 x R 使得 x2 1 3x 对其进行否定 x R 都有 x2 1 3x 故 正确 若 p q 为假命题 可得 p 与 q 都为假命题 则 p 与 q 都为真命题 则 p q 为真命题 故 正确 x R p x ax2 2x 1 0 可得 0 得 4 4a 0 得 a 1 故 正确 函数 f x 为 R 上的奇函数 可得 f 0 0 推出 a 1 得 x 0 f x 3x 3x 1 9 令 x 0 得 x 0 f x 为奇函数 f x f x f x f x 3 x 3x 1 f x 3 x 3x 1 f 2 32 6 1 14 不等式 可得 从而求解出 x 3 且 x 1 故 错误 故答案为 点评 此题主要考查命题的真假判断 涉及方程根与不等式的关系 不等式的求解问题 奇函数的解析式求法 考查知识点多且全面 是一道综合题 三 解答题 共三 解答题 共 5 5 小题 满分小题 满分 0 0 分 分 18 若 f x 是定义在 0 上的增函数 且 f x f y 1 求 f 1 的值 2 若 f 6 1 解不等式 f x 3 2 考点 抽象函数及其应用 函数单调性的性质 专题 计算题 分析 1 问采用赋值法求出 f 1 的值 2 问首先由 f 6 1 分析出 f 36 2 再根据函数的单调性将原不等式转化为 一元二次不等式 解答 解 1 解 1 令 x y 1 则有 f 1 f 1 f 1 0 f 1 0 2 令 x 1 则 所以 因为 f x 是定义在 0 上的增函数 则 解得 点评 赋值法是解决抽象函数常用的方法 抽象函数是以具体函数为背景的 任意 x 0 y 0 时 f x f y f xy 的背景函数是 f x logax a 0 我 们可以构造背景函数来帮助分析解题思路 10 19 已知命题 p 方程 a2x2 ax 2 0 在 1 1 上有且仅有一解 命题 q 只有一个实数 x 满足不等式 x2 2ax 2a 0 若命题 p 或 q 是假命题 求 a 的取值范围 考点 复合命题的真假 专题 计算题 分析 若命题 p 真 即方程 a2x2 ax 2 0 在 1 1 上有且仅有一解 可求得 2 a 1 或 1 a 2 若命题 q 真 即只有一个实数 x 满足不等式 x2 2ax 2a 0 由 0 可 求得 a 0 或 a 2 依题意 命题 p 和命题 q 都是假命题 从而可求得 a 的取值范围 解答 解 由 a2x2 ax 2 0 得 ax 2 ax 1 0 显然 a 0 x 或 x 方程 a2x2 ax 2 0 在 1 1 上有且仅有一解 故或 2 a 1 或 1 a 2 只有一个实数 x 满足不等式 x2 2ax 2a 0 4a2 8a 0 解得 a 0 或 a 2 命题 p 或 q 是假命题 命题 p 和命题 q 都是假命题 a 的取值范围为 a a 2 或 1 a 0 或 0 a 1 或 a 2 点评 本题考查复合命题的真假 求得命题 p 真与命题 q 真中 a 的取值范围是关键 考查 分析 理解与运算能力 属于中档题 20 2012 烟台一模 定义在 R 上的函数 f x ax3 bx2 cx 3 同时满足以下条件 f x 在 0 1 上是减函数 在 1 上是增函数 f x 是偶函数 f x 在 x 0 处的切线与直线 y x 2 垂直 求函数 y f x 的解析式 设 g x 4lnx m 若存在 x 1 e 使 g x f x 求实数 m 的取值范 围 考点 利用导数研究函数的单调性 函数恒成立问题 利用导数研究曲线上某点切线方 程 专题 综合题 分析 求出 f x 3ax2 2bx c 由 f x 在 0 1 上是减函数 在 1 上是增函数 得到 f 1 3a 2b c 0 再由函数的奇偶性和切线方程 能够求出函数 y f x 的解析式 若存在 x 1 e 使 4lnx m x2 1 即存在 x 1 e 使 11 m 4lnx x2 1 由此入手 结合题设条件 能够求出实数 m 的取值范围 解答 解 f x 3ax2 2bx c f x 在 0 1 上是减函数 在 1 上是增函数 f 1 3a 2b c 0 1 分 由 f x 是偶函数得 b 0 2 分 又 f x 在 x 0 处的切线与直线 y x 2 垂直 f 0 c 1 3 分 由 得 即 4 分 由已知得 若存在 x 1 e 使 4lnx m x2 1 即存在 x 1 e 使 m 4lnx x2 1 设 h x 4lnx x2 1 m hmin 对 h x 求导 导数在 0 大于零 e 小于零 即 h x 先递增再递减 当 x m 取最大值 x e 时 m 取最小值 5 e2 实数 m 的取值范围是 5 e2 点评 本题考查函数解析式的求法和求实数的取值范围 考查化归与转化 分类与整合的 数学思想 培养学生的抽象概括能力 推理论证能力 运算求解能力和创新意识 21 2008 湖北 已知函数 f x x3 mx2 m2x 1 m 为常数 且 m 0 有极大值 9 求 m 的值 若斜率为 5 的直线是曲线 y f x 的切线 求此直线方程 考点 函数在某点取得极值的条件 利用导数研究函数的极值 利用导数研究曲线上某点 切线方程 直线的一般式方程 专题 计算题 分析 I 求出导函数 求出导函数等于 0 的两个根 列出 x f x f x 的变化情 况的表格 求出极大值 列出方程求出 m 的值 II 将 I 求出的 m 的值代入导函数 利用曲线在切点处的导数值是切线的斜率 令导数等于 5 求出 x 即切点横坐标 将横坐标代入 f x 求出切点坐标 利用直 线方程的点斜式写出切线方程 解答 解 f x 3x2 2mx m2 x m 3x m 0 则 x m 或 x m 当 x 变化时 f x 与 f x 的变化情况如下表 从而可知 当 x m 时 函数 f x 取得极大值 9 即 f m m3 m3 m3 1 9 m 2 12 由 知 f x x3 2x2 4x 1 依题意知 f x 3x2 4x 4 5 x 1 或 x 又 f 1 6 f 所以切线方程为 y 6 5 x 1 或 y 5 x 即 5x y 1 0 或 135x 27y 23 0 点评 本题考查利用导数求函数的极值的步骤 求出导数 令导数为 0 求出根 列出表格 判断根左右两边导函数的符号 求出极值 考查导数的几何意义 导数在切点处的 值是曲线的切线斜率 22 已知二次函数 y f x x2 bx c 的图象过点 1 13 且函数对称轴方程为 x 1