三角形相似的判定（一）

三角形相似的判定 一 内容 教学目标教学目标 掌握三角形相似的判定定理 1 理解定理的证明方法 初步会运用定理来解决有关问 题 培养学生运用灯比联想 猜想命题 再加以证明的研究问题的方法 教学重点难点教学重点难点 重点是三角形相似的判定定理 1 的理解和应用 难点是三角形相似的判定定理 1 的证 明 教学过程设计教学过程设计 一 一 类比探索两个三角形相似的判定方法 1 1 复习相似三角形的概念和已学过的判定方法 1 1 引导学生思考 现有的判定三角形相似的两种方法中 定义需要两对对应角相等 三对对应边成比例 4 个条件 过于苛 刻 预备定理要还应有三角形一边的平行线 条件过于特殊 使用起 来有局限性 说明探索三角形相似的新的判定方法的必要性 2 猜想用两个特定的独立条件就能判定两个三角形相似 因为判定两个三角形全等需要三个 特定的独立条件 而判定两个三角形相似结论更弱 2 类比联想 猜想相似三角形的判定方法 1 1 由全等三角形是相似三角形的特例 启发我们类比全等三角形的判定公理 或定理 猜想相似三角形的判定方法 2 2 复习一般三角形全等的判定定理 并改写成对应角相等 对应边的比值为 1 的形式 ASA 若 A A B B B A AB 1 则有 ABC A B C AAA 若 A A B B C B BC 1 则有 ABC A B C SAS 若 B A AB C A AC 1 A A 则有 ABC A B C SSS 若 B A AB C B BC A C CA 1 则有 ABC A B C 3 3 猜想相似三角形的判定方法 由相似三角形与全等三角形概念的区别与联系 得到猜想 只需把上述全等三角形判定定 理中比值为 1 改成比值为正数 就可得到相似三角形的判定方法 写出猜想命题 猜想一 类比角边角公理和角角边定理 ABC A B C 中 若 A A B B 则 ABC A B C 猜想二 类比边角边公理 ABC A B C 中 若 B A AB C A AC A A 则有 ABC A B C 猜想三 类比边边边公理 ABC A B C 中 若 B A AB C B BC A C CA K 则有 ABC A B C 二 二 用化归的方法 证明猜想 形成定理 1 1 复习三角形相似的预备定理 如图 5 56 若 DE BC 则 ABC A B C 2 2 利用平移变换 得到新的相似三角形 1 若将图 5 56 中 ADE 平移到其他位置 A B C 仍有 A B C ABC A B C A B C ABC A B C ABC 2 全等三角形的四种判定方法能保证 ADE 平移到 A B C 后 形状 大小不变 3 3 启发学生思考 平移 A B C 得到 ADE 的条件 与前面三个猜想相 对应 方法之一 由 A A B B 能实现上述平移 教师可详细分析平移的原理 由于 A A 可将 A B C 平移到 ABC 中 使 A 与 A 重合 A B 放在 AB 边上 A C 放在 AC 边上 截取 AD A B 或 AE A C 作 ADE B 交 AC 于 E 则由 B B 可得 A B C ADE ASA 或 AAS 同时由 B B 还可得到 DE BC 从而实现上述化归过程 4 4 教师总结实现上述化归的思路 1 1 利用平移变换 对应三个猜想命题有三种平移条件 下 节学习后两种 将证明相似三角形转化为证明三角形全等 图 5 57 中 ADE A B C 2 利用添加辅助线的方法将问题化归为相似三角形的预备定理 图 5 57 中 DE BC 则 ADE ABC 2 2 利用相似三角形的传递性得到 A B C ABC 5 5 利用上述思路 证明猜想 得到判定定理 1 教师按照教材第 225 页的推理过程详细证明 得到三角形相似的判定定理 1 两角对应 相等的两个三角形相似 三 三 应用举例 变式练习 例 1 已知 在 ABC 和 DEF 中 A 40 B 80 E 80 F 60 1 求证 ABC DEF 2 写出对应边成比例的式子 教师着重启发学生思考如何利用三角形内角和定理找出两个三角形中两对对应相等的 角 练习 课本第 226 页第 1 2 题 例 2 已知 如图 5 58 直线 BE DC 交于 A E C 求证 DA AC BA AE 说明 题目很简单 但教师还应注意总结以下两点 本题出现的找对应角的特殊方法是对顶角相等 利用证明三角形相似证明等积式或比例式 可教给学生利用分析法寻找解题思路 即欲证等积式 先化为比例式 然后证它们 所在的两个三角形相似 可用变换的思想对此题加以引伸 教师用教具或制作活动投影片演示以下过程 见图 5 59 教师要强调图 5 59 c e d 是本章常用到的相似三角形的基本图形 对图 5 59 d 让学生写出三边对应成比例的式子 发现一个重要结论 图 5 59 d 中有公边共角的两个 相似三角形的公共边 AB 是这两三角形落在同一条直线上的两边 AD AC 的比例中项 熟悉 这个基本图形和基本性质 有助于分析解题思路 但应用时应将相似的过程证一遍 它的结论 对特殊化的图 5 59 e 照样适用 射影定理 以后将专门研究 例 3 已知 如图 5 60 Rt ABC 中 ABC 90 BD AC 于 D 1 1 图中有几个直角三角形 它们相似吗 为什么 2 2 用语言叙述第 1 题的结论 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形 和原三角形相似 3 写出相似三角形对应边成比例的表达式 教师总结 1 有一对锐角相等的两个直角三角形相似 2 本题出现的常用的找对应角的方法是公共角及利用同角的余角相等 3 本题是一个很重要的结论 可以直接用来判定基本图形 图 5 60 中的直角三角形似 四 四 师生共同小结 在学生思考总结的基础上 教师归纳 1 1 三角形相似与全等的判定方法的类比 2 2 三角形相似的判定定理 1 并强调判定相似需且只需两个独立条件 3 3 常用的找对应角的方法 已知角相等 已知角度计算得出相等的对 应角 公共角 对顶角 同角的余 补 角相等 五 五 作业 课本第 227 页第 3 题 第 235 页第 3 4 题 补充题 1 如图 5 61 AB AC D 为 ABC 外一点 连结 AD 交 BC 于 E 若 C D AE 6 DE 2 求 AC 的长 答 4 3 2 如图 5 62 在 ABC 中 AB AC D 为 BC 上一点 E F 分别在 AB AC 上 BDE CFD 求证 BD DC BE CF 课堂教学设计说明 本节教案需要 1 课时完成 1 教材安排第 5 4 节内容分 4 课时完成 本教学设计遵照教材意图 第 1 课时学习判定定理 1 并加以巩固 因为这是判定两个三角形相似最常用的方法 第 2 课时学习判定定理 2 和 3 第 3 课时学习直角三角形相似的判定 第 4 课时是三角形相似判定的习题课 综合使用判定方法 以及常用的比例变形 证明角相等 比例式 等积式等问题 2 三角形相似与全等的判定有类似之处 能否让学生用类比的方式 猜想并独立发现判定 方法 关键在教师正确的引导 怎样想到一个新知识比怎样证明一个已知结论更重要 这就 需要教师设计富有启发性的问题 引导学生深入思考 充分运用深层次的类比联想和特殊 化等手段来实现独立探索知识的过程 3 课本上相似三角形的三个判定定理都是添加辅助线转化为预备理来处理的 直角三角形 的 HL 也能用同样的方式处理 而转化的方式 由于已知条件的不同也有所区别 建 议教师制作活动教具 结合平移变换的思想演示这些过程 分