2012高考数学 考前模拟预测系列一

用心 爱心 专心 前模预测前模预测 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 1212 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 6060 分 在每小题给出的四个选项中 只有分 在每小题给出的四个选项中 只有 一项是符合题目要求的 一项是符合题目要求的 1 已知 b i a b R R 其中 i 为虚数单位 则 a b a 2i i A 1 B 1 C 2 D 3 答案 D 解析 因为21aibi 所以1 2ab 故 a b 3 选 D 2 全集 U R R A x 2x 4 B x log3x 1 则 A B A x x 2 B x 2 x 3 C x x 3 D x x 2 或 2 x 3 答案 B 解析 因为 A 2x x 03Bxx 所以 A B x 2 x 3 3 已知某个几何体的三视图如下 那么可得这个几何体的体积是 A 3 1 B 3 2 C 3 4 D 3 8 答案 C 解析 由三视图可知 该几何体是一个三棱锥 高为 2 底面积为 1 2 22 2 所以其体积 为 4 3 选 C 4 下列命题中 真命题是 A sincos2xRxx B 0 sincosxxx 用心 爱心 专心 C 2 1xR xx D 0 1 x xex 答案 D 解析 设 1 x f xex 则因为 0 x 所以 10 x fxe 所以函数 f x在 0 x 上是增函数 所以 0 x 有 0 0f xf 即1 x ex 故选 D 5 如图所示是函数 2 0 0 sin AxAy图象的一部分 则此函数的解 析式为 A 2sin 2 6 yx B 2sin 2 3 yx C 2sin 2 6 yx D 1 2sin 23 yx 答案 B 解析 由题意知 A 2 2 4 4 解得2 又因为2 0 6 所以 3 故 选 B 6 函数 93 23 xaxxxf已知3 xxf在时取得极值 则a的值等于 A 2 B 3 C 4 D 5 答案 D 解析 因为 2 323fxxax 所以 3 3 9630fa 解得5a 7 已知平面向量a b 满足3a 2b a 与b 的夹角为60 若 a mba 则实 数m的值为 A 1 B 3 2 C 2 D 3 答案 D 解析 因为 a mba 所以 2 96cos600a mbaama bm 解得 3m 8 理科 正弦曲线 2 3 0 sin xxy和直线 2 3 x及x轴所围成的平面图形的面积是 A 1 B 2 C 3 D 4 用心 爱心 专心 答案 C 解析 所求面积为 3 2 0 sin xdx 3 coscos0 2 3 故选 C 8 文科 若圆C的半径为 1 圆心在第一象限 且与直线 4x 3y 0 和x轴都相切 则该圆 的标准方程是 A x 2 2 y 1 2 1 B x 2 2 y 1 2 1 C x 2 2 y 1 2 1D x 3 2 y 1 2 1 答案 A 解析 设圆心为 a b 半径为r 则 43 5 ab rb 1 解得1b 所以 43 5a 解得2a 故圆心坐标为 2 1 所以该圆的标准方程是 x 2 2 y 1 2 1 选 A 9 数列 n a是公差不为 0 的等差数列 且 137 a a a为等比数列 n b的连续三项 则数列 n b的公比为 A 2 B 4 C 2 D 1 2 答案 C 解析 设公差为d 则 2 111 2 6 ada ad 解得 1 2ad 所以公比为 31 1 2 2 2 aad ad 故选 C 10 若右边的程序框图输出的S是126 则条件 可为 A 5n B 6n C 7n D 8n 答案 B 解析 因为 1 12 22 222 1 2 n n 1 22 n 126 解得 6n 故选 B 11 已知 f x在R上是奇函数 且满足 2 f xf x 当 0 2 x 时 2 2f xx 则 用心 爱心 专心 2011 f等于 A 2 B 2 C 98 D 98 答案 A 解析 因为 2 f xf x 所以 4 2 f xf xf xf x 所以 4 是 f x的周期 所以 2011 f 20083 3 ff 12 1 ff 2 故选 A 12 对任意的实数 a b 记 max a ab a b b ab 若 max F xf x g xxR 其中奇函数 yf x 在1x 时有极小值2 yg x 是正比例函数 函数 0 yf x x 与函数 yg x 的图象如图所示 则下列关于函数 yF x 的说法中 正确的是 A yF x 为奇函数 B yF x 有极大值 1 F且有极小值 1 F C yF x 的最小值为2 且最大值为2 D yF x 在 3 0 上不是单调函数 答案 D 解析 因为 f xf xg x F x g xf xg x 1 3 g xx 由 f x是奇函数 其图象关于原点 对称 故可知 选项 D 正确 第第 卷卷 非选择题 非选择题 满分满分 9090 分 分 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 4 小题 每小题小题 每小题 4 4 分 共分 共 1616 分分 把答案填写在答题纸相应位置上把答案填写在答题纸相应位置上 13 已知点P是以 12 F F为焦点的椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 上一点 且 12 0 PF PF 12 1 tan 2 PFF 则该椭圆的离心率等于 答案 3 5 用心 爱心 专心 解析 因为 12 0 PF PF 所以 12 PFPF 又因为 12 1 tan 2 PFF 所以可设 1 PFx 则 2 2PFx 12 5FFx 所以由椭圆的定义知 23ax 又因为25cx 所以离心率 2 2 c e a 3 5 14 设x y 满足约束条件 20 440 0 0 xy xy x y 若目标函数 zaxby 0 0 ab 的最大 值为 6 则 3 12 log ab 的最小值为 答案 2 解析 画出不等式组表示的平面区域 可知当直线 zaxby 经过点 2 4 时 z 取最大值 所以246ab 即 2 1 3 ab 所以 12 ab 22 2 33 abab ab 5 3 22 33 ba ab 2 2 3 5 3 3 所以 3 12 log ab 3 log3 2 故 3 12 log ab 的最小值为 2 15 已知函数 log 2 a f xxa 在区间 1 2 2 3 上恒有 0f x 则实数a的取值范围是 答案 1 1 3 解析 当01a 时 函数 log 2 a f xxa 在区间 1 2 2 3 上是减函数 所以 4 log 0 3 a a 即 4 01 3 a 解得 1 1 3 a 当1a 时 函数 log 2 a f xxa 在 区间 1 2 2 3 上是增函数 所以log 1 0 a a 即11a 解得0a 此时无解 综上所述 实数a的取值范围是 1 1 3 16 给出下列五个命题 当01xx 且时 有 1 ln2 ln x x ABC 中 AB 是 sinsinAB 成立的充分必要条件 函数 x ya 的图像可以由函数2 x ya 其中 01aa 且 的图像通过平移得到 已知 n S是等差数列 n a的前 n 项和 若 75 SS 则 93 SS 函数 1 yfx 与函数 1 yfx 的图像关于直线1x 对称 其中正确命 用心 爱心 专心 题的序号为 答案 解析 对 ln x可以为负 故错误 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 6 小题 共小题 共 7474 分 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 12 分 在ABC 中 cba 分别是角 A B C 的对边 2 cos cos mac b nBC 且0 m n 1 求角 B 的大小 2 设函数xCAxxxf2cos 2 3 cos cossin2 求函数 xf的最小正周期 最大值及当 xf取得最大值时x的值 解析 1 由0 nm 得0coscos 2 CbBca 0coscoscos2 CbBcBa由正弦定理 得 0sincoscossincossin2 BCBCBA 2 分 即0 sin cossin2 BCBA 0 1cos2 sin BA 4 分 在ABC 中 0sin A 01cos2 B 3 2 B 6 分 2 3 2 B 3 CA 3 2sin 2cos 2 3 2sin 2 1 xxxxf 8 分 所以 xf的最小正周期为 10 分 令Zkkx 2 2 3 2 得 12 5 Zkkx 即当 12 5 Zkkx 时 xf取最大值 1 12 分 18 文科 本小题满分 12 分 有两枚大小相同 质地均匀的正四面体玩具 每个玩具的各个面上分别写着数字 1 2 3 5 同时投掷这两枚玩具一次 记m为两个朝下的面上的数字之和 1 求事件 m 不小于 6 的概率 2 m 为奇数 的概率和 m 为偶数 的概率是不是相等 证明你作出的结论 用心 爱心 专心 解析 因玩具是均匀的 所以玩具各面朝下的可能性相等 出现的可能情况有 1 1 1 2 1 3 1 5 2 1 2 2 2 3 2 5 3 1 3 2 3 3 3 5 5 1 5 2 5 3 5 5 共 16 种 4 分 1 事件 m 不小于 6 包含其中 1 5 2 5 3 5 3 3 5 1 5 2 5 3 5 8 共 8 个基本事件 6 分 所以 P m 6 2 1 16 8 8 分 2 m 为奇数 的概率和 m 为偶数 的概率不相等 因为 m 为奇数的概率为 8 3 16 2 16 2 16 2 7 5 3 mPmPmP 10 分 M 为偶数的概率为 8 5 8 3 1 这两个概率值不相等 12 分 18 理科 本小题满分 12 分 在某校教师趣味投篮比赛中 比赛规则是 每场投 6 个球 至少投进 4 个球且最后 2 个 球都投进者获奖 否则不获奖 已知教师甲投进每个球的概率都是 2 3 记教师甲在每场的 6 次投球中投进球的个数为X 求X的分布列及数学期望 求教师甲在一场比赛中获奖的概率 已知教师乙在某场比赛中 6 个球中恰好投进了 4 个球 求教师乙在这场比赛中获奖 的概率 教师乙在这场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率相等吗 解析 X的所有可能取值为 0 1 2 3 4 5 6 依条件可知X B 6 2 3 6 6 21 33 kk k P XkC 0 1 2 3 4 5 6k X的分布列为 X0123456 P 1 729 12 729 60 729 160 729 240 729 192 729 64 729 所以 1 0 1 1 122 603 1604 2405 1926 64 729 EX 2916 4 729 或因为X B 6 2 3 所以 2 64 3 EX 即X的数学期望为 4 4 分 设教师甲在一场比赛中获奖为事件A 用心 爱心 专心 则 224156 44 1212232 3333381 P ACC 答 教师甲在一场比赛中获奖的概率为 32 81 8 分 设教师乙在这场比赛中获奖为事件B 则 24 44 6 6 2 5 A A P B A 即教师乙在这场比赛中获奖的概率为 2 5 显然 23232 58081 所以教师乙在这场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的 概率不相等 12 分 19 文科 本小题满分 12 分 如图所示 在三棱柱 ABC A1B1C1中 AA1平面 ABC AB 2BC AC AA1 3BC 1 证明 CA1平面 AB1C1 2 若 D 是棱 CC1的中点 在棱 AB 上是 否存在一点 E 使 DE 平面 AB1C1 若存在 请确定点 E 的位置 若不存在 请说明理由 解析 证明 1 BCACBCAB3 2 ABC 为直角三角形且 2 ACB 从而 BC AC 又 AA1 平面 ABC BC CC1 2 分 从而 BC 面 ACC1A1 BC A1C B1C1 A1C 4 分 1 AAAC 侧面 ACC1A1为正方形 CAAC 11 又 B1C1 AC1 C1 CA1面 AB1C1 6 分 2 存在点 E 且 E 为 AB 的中点 8 分 下面给出证明 取 BB1的中点 F 连接 DF 则 DF B1C1 AB 的中点为 E 连接 EF 则 EF AB1 B1C1与 AB1是相交直线 面 DEF 面 AB1C1 10 分 用心 爱心 专心 而 DE面 DEF DE 面 AB1C1 12 分 19 理科 本小题共 12 分 在如图的多面体中 EF 平面AEB AEEB ADEF EFBC 24BCAD 3EF 2AEBE G是BC的中点 求证 AB平面DEG 求证 BDEG 求二面角CDFE 的余弦值 解析 证明 ADEF EFBC ADBC 又 2BCAD G是BC的中点 ADBG 四边形ADGB是平行四边形 ABDG 2 分 AB 平面DEG DG 平面DEG AB平面DEG 4 分 解法 1 证明 EF 平面AEB AE 平面AEB EFAE 又 AEEB EBEFE EB EF 平面BCFE AE 平面BCFE 5 分 过D作 DHAE交EF于H 则DH 平面BCFE EG 平面BCFE DHEG 6 分 ADEF DHAE 四边形AEHD平行四边形 2EHAD 2EHBG 又 EHBG EHBE 四边形BGHE为正方形 BHEG 7 分 又 BHDHH BH 平面BHD DH 平面BHD EG 平面BHD AD F E BGC 用心 爱心 专心 BD 平面BHD BDEG 8 分 解法 2 EF 平面AEB AE 平面AEB BE 平面AEB EFAE EFBE 又AEEB EB EF EA两两垂直 5 分 以点E为坐标原点 EB EF EA分别为 x y z轴建立如图的空间直角坐标系 由已知得 A 0 0 2 B 2 0 0 C 2 4 0 F 0 3 0 D 0 2 2 G 2 2 0 6 分 2 2 0 EG 2 2 2 BD 7 分 2 22 20BD EG BDEG 8 分 由已知得 2 0 0 EB 是平面EFDA的法向量 设平面DCF的法向量为 x y z n 0 1 2 2 1 0 FDFC 0 0 FD n FC n 即 20 20 yz xy 令1z 得 1 2 1 n 10 分 设二面角CDFE 的大小为 则 26 coscos 62 6 EB n 11 分 二面角CDFE 的余弦值为 6 6 12 分 20 本小题满分 12 分 已知正项数列 n a的前n项和为 2 1 1 aSn 当 2Nnn 且时 点 1nn SS 在直线 2 1 2 xy上 数列 n b满足 用心 爱心 专心 2 1 log Nnab nn 1 求数列 n a的通项公式 n a 2 设数列 n n a b 的前 n 项和为 n T 求 n T 解析 1 当2 n且 Nn 时 点 1nn SS 在直线 2 1 2 xy上 142 1 nn SS 142 1 NnSS nn 由 得 2 22 1 1 Nnn a a aa n n nn 2 分 由142 12 SS得14 2 121 aaa 又1 2 1 21 aa 2 1 2 a a 4 分 数列 n a是以 2 1 为首项 2 为公比的等比数列 2 2 n n a 6 分 2 nab n nn 22loglog 2 2 1 2 1 2 2 2 n n n n a b 8 分 23 2 2 2 3 2 1 1 0 2 1 1 nn n nn T 122 2 2 2 3 2 1 2 0 1 1 2 1 nn n nn T 10 分 由 得 12122 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 nnnn n nn T 2 2 2 2 1 n n n n n T 12 分 21 本小题满分 12 分 已知函数 ln 2 xaxxf 1 当ea2 时 求函数 xf的单调区间和极值 2 若函数 x xfxg 2 在 1 4 上是减函数 求实数a的取值范围 解析 1 函数 xf的定义域为 0 当ea2 时 x exex x e xxf 22 2 2 分 当x变化时 xfx f 的变化情况如下 用心 爱心 专心 x 0 ee e x f 0 xf 极小值 xf 的单调递减区间是 0 e 单调递增区间是 e 极小值是 0 ef 6 分 2 由 x xaxxg 2 ln 2 得 2 2 2 xx a xxg 8 分 又函数 x xaxxg 2 ln 2 为 1 4 上的单调减函数 则0 x g在 1 4 上恒成立 所以不等式0 2 2 2 xx a x在 1 4 上恒成立 即 2 2