湖北省武汉为明实验学校2012年全国各地中考数学压轴题汇编一（含详细答案）

1 湖北省武汉为明实验学校湖北省武汉为明实验学校 20122012 年全国各地中考数学压轴题汇编一年全国各地中考数学压轴题汇编一 含详细答案 含详细答案 2012 2012 临沂临沂 1 1 如图 点 A 在 x 轴上 OA 4 将线段 OA 绕点 O 顺时针旋转 120 至 OB 的位置 1 求点 B 的坐标 2 求经过点 A O B 的抛物线的解析式 3 在此抛物线的对称轴上 是否存在点 P 使得以点 P O B 为顶点的三角形是等腰三 角形 若存在 求点 P 的坐标 若不存在 说明理由 2012 2012 菏泽菏泽 2 如图 在平面直角坐标系中放置一直角三角板 其顶点为 A 0 1 B 2 0 O 0 0 将此三角板绕原点 O 逆时针旋转 90 得到 A B O 1 一抛物线经过点 A B B 求该抛物线的解析式 2 设点 P 是在第一象限内抛物线上的一动点 是否存在点 P 使四边形 PB A B 的面 积是 A B O 面积 4 倍 若存在 请求出 P 的坐标 若不存在 请说明理由 3 在 2 的条件下 试指出四边形 PB A B 是哪种形状的四边形 并写出四边形 PB A B 的两条性质 2 2012 2012 义乌市义乌市 3 如图 1 已知直线 y kx 与抛物线 y 交于点 A 3 6 1 求直线 y kx 的解析式和线段 OA 的长度 2 点 P 为抛物线第一象限内的动点 过点 P 作直线 PM 交 x 轴于点 M 点 M O 不重合 交直线 OA 于点 Q 再过点 Q 作直线 PM 的垂线 交 y 轴于点 N 试探究 线段 QM 与线段 QN 的长度之比是否为定值 如果是 求出这个定值 如果不是 说明理由 3 如图 2 若点 B 为抛物线上对称轴右侧的点 点 E 在线段 OA 上 与点 O A 不重合 点 D m 0 是 x 轴正半轴上的动点 且满足 BAE BED AOD 继续探究 m 在什么范 围时 符合条件的E 点的个数分别是 1 个 2 个 3 2012 2012 杭州杭州 4 在平面直角坐标系内 反比例函数和二次函数 y k x2 x 1 的图象交于点 A 1 k 和点 B 1 k 1 当 k 2 时 求反比例函数的解析式 2 要使反比例函数和二次函数都是 y 随着 x 的增大而增大 求 k 应满足的条件以及 x 的 取值范围 3 设二次函数的图象的顶点为 Q 当 ABQ 是以 AB 为斜边的直角三角形时 求 k 的值 2012 2012 烟台烟台 5 如图 在平面直角坐标系中 已知矩形 ABCD 的三个顶点 B 1 0 C 3 0 D 3 4 以 A 为顶点的抛物线 y ax2 bx c 过点 C 动点 P 从点 A 出发 沿线段 AB 向点 B 运动 同时动点 Q 从点 C 出发 沿线段 CD 向点 D 运动 点 P Q 的运动速度均为每秒 1 个单位 运动时间为 t 秒 过点 P 作 PE AB 交 AC 于点 E 1 直接写出点 A 的坐标 并求出抛物线的解析式 2 过点 E 作 EF AD 于 F 交抛物线于点 G 当 t 为何值时 ACG 的面积最大 最大值 为多少 3 在动点 P Q 运动的过程中 当 t 为何值时 在矩形 ABCD 内 包括边界 存在点 H 使以 C Q E H 为顶点的四边形为菱形 请直接写出 t 的值 4 2012 2012 益阳益阳 6 已知 如图 抛物线 y a x 1 2 c 与 x 轴交于点 A 0 和点 B 将抛物线 沿 x 轴向上翻折 顶点 P 落在点 P 1 3 处 1 求原抛物线的解析式 2 学校举行班徽设计比赛 九年级 5 班的小明在解答此题时顿生灵感 过点 P 作 x 轴 的平行线交抛物线于 C D 两点 将翻折后得到的新图象在直线 CD 以上的部分去掉 设计 成一个 W 型的班徽 5 的拼音开头字母为 W W 图案似大鹏展翅 寓意深远 而且 小明通过计算惊奇的发现这个 W 图案的高与宽 CD 的比非常接近黄金分割比 约等于 0 618 请你计算这个 W 图案的高与宽的比到底是多少 参考数据 结果可保留根号 2012 2012 广州广州 7 如图 抛物线 y 与 x 轴交于 A B 两点 点 A 在点 B 的左侧 与 y 轴 交于点 C 5 1 求点 A B 的坐标 2 设 D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点 当 ACD 的面积等于 ACB 的面积时 求 点 D 的坐标 3 若直线 l 过点 E 4 0 M 为直线 l 上的动点 当以 A B M 为顶点所作的直角三角 形有且只有三个时 求直线 l 的解析式 2012 2012 丽水丽水 8 在 ABC中 ABC 45 tan ACB 如图 把 ABC的一边BC放置在x轴上 有OB 14 OC AC与y轴交于点E 21 世纪教育网 1 求AC所在直线的函数解析式 2 过点O作OG AC 垂足为G 求 OEG的面积 3 已知点F 10 0 在 ABC的边上取两点P Q 是否存在以O P Q为顶点的三角形 与 OFP全等 且这两个三角形在OP的异侧 若存在 请求出所有符合条件的点P的坐标 若不存在 请说明理由 6 2012 2012 铜仁铜仁 9 如图 已知 直线3 xy交 x 轴于点 A 交 y 轴于点 B 抛物线 y ax2 bx c 经过 A B C 1 0 三点 1 求抛物线的解析式 2 若点 D 的坐标为 1 0 在直线3 xy上有一点 P 使 ABO 与 ADP 相似 求出点 P 的坐标 3 在 2 的条件下 在 x 轴下方 的抛物线上 是否存在点 E 使 ADE 的面积等于四 边形 APCE 的面积 如果存在 请求出点 E 的坐标 如果不存在 请说明理由 20122012 泰安泰安 21 世纪教育网版权所有 7 10 如图 半径为 2 的 C 与 x 轴的正半轴交于点 A 与 y 轴的正半轴交于点 B 点 C 的坐 标为 1 0 若抛物线 2 3 3 yxbxc 过 A B 两点 1 求抛物线的解析式 2 在抛物线上是否存在点 P 使得 PBO POB 若存在 求出点 P 的坐标 若不存在 说明理由 3 若点 M 是抛物线 在第一象限内的部分 上一点 MAB 的面积为 S 求 S 的最大 小 值 答案 1 解 1 如图 过 B 点作 BC x 轴 垂足为 C 则 BCO 90 AOB 120 BOC 60 又 OA OB 4 OC OB 4 2 BC OB sin60 4 2 点 B 的坐标为 2 2 2 抛物线过原点 O 和点 A B 可设抛物线解析式为 y ax2 bx 将 A 4 0 B 2 2 代入 得 8 解得 此抛物线的解析式为 y x2 x 3 存在 如图 抛物线的对称轴是x 2 直线 x 2 与 x 轴的交点为 D 设点 P 的坐标为 2 y 若 OB OP 则 22 y 2 42 解得 y 2 当 y 2时 在 Rt POD 中 PDO 90 sin POD POD 60 POB POD AOB 60 120 180 即 P O B 三点在同一直线上 y 2不符合题意 舍去 点 P 的坐标为 2 2 若 OB PB 则 42 y 2 2 42 解得 y 2 故点 P 的坐标为 2 2 若 OP BP 则 22 y 2 42 y 2 2 解得 y 2 故点 P 的坐标为 2 2 综上所述 符合条件的点 P 只有一个 其坐标为 2 2 2 解 1 A B O 是由 ABO 绕原点 O 逆时针旋转 90 得到的 又 A 0 1 B 2 0 O 0 0 A 1 0 B 0 2 设抛物线的解析式为 2 0 yaxbxc a 抛物线经过点 A B B 0 2 042 abc c abc 解之得 1 1 2 a b c 9 满足条件的抛物线的解析式为 2 2yxx 2 P 为第一象限内抛物线上的一动点 设 P x y 则 x 0 y 0 P 点坐标满足 2 2yxx 连接 PB PO PB B OA B O OB PB A B SSSS PP四边形 111 1 2 2 2 222 xy 22 2 123xxxxx 假设四边形PB A B 的面积是A B O 面积的4倍 则 2 234xx 即 2 210 xx 解之得1x 此时 2 1122y 即 1 2 P 存在点 P 1 2 使四边形 PB A B 的面积是 A B O 面积的 4 倍 3 四边形 PB A B 为等腰梯形 答案不唯一 下面性质中的任意 2 个均可 等腰梯形同一底上的两个内角相等 等腰梯形对角线相等 等腰梯形上底与下底平行 等腰梯形两腰相等 或用符号表示 B A B PBA 或 A B P BPB PA B B B P A B B A PB 3 解 1 把点 A 3 6 代入 y kx 得 6 3k k 2 y 2x 2012 义乌市 OA 3 分 2 是一个定值 理由如下 如答图 1 过点 Q 作 QG y 轴于点 G QH x 轴于点 H 当 QH 与 QM 重合时 显然 QG 与 QN 重合 此时 当 QH 与 QM 不重合时 10 QN QM QG QH 不妨设点 H G 分别在 x y 轴的正半轴上 MQH GQN 又 QHM QGN 90 QHM QGN 5 分 当点 P Q 在抛物线和直线上不同位置时 同理可得 7 分 3 如答图 2 延长 AB 交 x 轴于点 F 过点 F 作 FC OA 于点 C 过点 A 作 AR x 轴于点 R AOD BAE AF OF OC AC OA ARO FCO 90 AOR FOC AOR FOC OF 点 F 0 设点 B x 过点 B 作 BK AR 于点 K 则 AKB ARF 即 解得 x1 6 x2 3 舍去 点 B 6 2 BK 6 3 3 AK 6 2 4 AB 5 8 分 求 AB 也可采用下面的方法 设直线 AF 为 y kx b k 0 把点 A 3 6 点 F 0 代入得 k b 10 11 舍去 B 6 2 AB 5 8 分 其它方法求出 AB 的长酌情给分 在 ABE 与 OED 中 BAE BED ABE AEB DEO AEB ABE DEO BAE EOD ABE OED 9 分 设 OE x 则 AE x 由 ABE OED 得 10 分 顶点为 如答图 3 当时 OE x 此时 E 点有 1 个 当时 任取一个 m 的值都对应着两个 x 值 此时 E 点有 2 个 当时 E 点只有 1 个 11 分 当时 E 点有 2 个 12 分 12 4 解 1 当 k 2 时 A 1 2 A 在反比例函数图象上 设反比例函数的解析式为 y 代入 A 1 2 得 2 解得 m 2 反比例函数的解析式为 y 2 要使反比例函数和二次函数都是 y 随着 x 的增大而增大 k 0 二次函数 y k x2 x 1 k x 2 k 的对称轴为 直线 x 要使二次函数 y k x2 x 1 满足上述条件 在 k 0 的情况下 x 必须在对称轴的左边 即 x 时 才能使得 y 随着 x 的增大而增大 综上所述 k 0 且 x 3 由 2 可得 Q k ABQ 是以 AB 为斜边的直角三角形 A 点与 B 点关于原点对称 如图是其中的一种情况 原点 O 平分 AB OQ OA OB 作 AD OC QC OC 13 OQ OA 解得 k 5 解 1 A 1 4 1 分 由题意知 可设抛物线解析式为 y a x 1 2 4 抛物线过点 C 3 0 0 a 3 1 2 4 解得 a 1 抛物线的解析式为 y x 1 2 4 即 y x2 2x 3 2 分 2 A 1 4 C 3 0 可求直线 AC 的解析式为 y 2x 6 点 P 1 4 t 3 分 将 y 4 t 代入 y 2x 6 中 解得点 E 的横坐标为 x 1 4 分 点 G 的横坐标为 1 代入抛物线的解析式中 可求点 G 的纵坐标为 4 GE 4 4 t t 5 分 又点 A 到 GE 的距离为 C 到 GE 的距离为 2 即 S ACG S AEG S CEG EG EG 2 2 t t 2 2 1 7 分 当 t 2 时 S ACG的最大值为 1 8 分 3 t 或 t 20 8 12 分 说明 每值各占 2 分 多出的值未舍去 每个扣 1 分 14 6 解 1 P 与 P 1 3 关于 x 轴对称 P 点坐标为 1 3 2 分 抛物线 y a x 1 2 c 过点 A 0 顶点是 P 1 3 3 分 解得 4 分 则抛物线的解析式为 y x 1 2 3 5 分 即 y x2 2x 2 2 CD 平行 x 轴 P 1 3 在 CD 上 C D 两点纵坐标为 3 6 分 由 x 1 2 3 3 解得 7 分 C D 两点的坐标分别为 3 3 CD 8 分 W 图案的高与宽 CD 的比 或约等于 0 6124 10 分 7 解 1 令 y 0 即 0 解得 x1 4 x2 2 A B 点的坐标为 A 4 0 B 2 0 2 S ACB AB OC 9 在 Rt AOC 中 AC 5 设 ACD 中 AC 边上的高为 h 则有 AC h 9 解得 h 15 如答图 1 在坐标平面内作直线平行于 AC 且到 AC 的距离 h 这样的直线有 2 条 分 别是 l1和 l2 则直线与对称轴 x 1 的两个交点即为所求的点 D 设 l1交 y 轴于 E 过 C 作 CF l1于 F 则 CF h CE 设直线 AC 的解析式为 y kx b 将 A 4 0 B 0 3 坐标代入 得到 解得 直线 AC 解析式为 y x 3 直线 l1可以看做直线 AC 向下平移 CE 长度单位 个长度单位 而形成的 直线 l1的解析式为 y x 3 x 则 D1的纵坐标为 1 D1 4 同理 直线 AC 向上平移 个长度单位得到 l2 可求得 D2 1 综上所述 D 点坐标为 D1 4 D2 1 3 如答图 2 以 AB 为直径作 F 圆心为 F 过 E 点作 F 的切线 这样的切线有 2 条 连接 FM 过 M 作 MN x 轴于点 N A 4 0 B 2 0 F 1 0 F 半径 FM FB 3 又 FE 5 则在 Rt MEF 中 ME 4 sin MFE cos MFE 在 Rt FMN 中 MN MN sin MFE 3 FN MN cos MFE 3 则 ON M 点坐标为 直线 l 过 M E 4 0 设直线 l 的解析式为 y kx b 则有 解得 16 所以直线 l 的解析式为 y x 3 同理 可以求得另一条切线的解析式为 y x 3 综上所述 直线 l 的解析式为 y x 3 或 y x 3 8 解 1 在 Rt OCE中 OE OCtan OCE 点 E 0 2 设直线AC的函数解析式为y kx 有 解得 k 直线AC的函数解析式为y 2 在 Rt OGE中 tan EOG tan OCE 17 设EG 3t OG 5t OE t 得 t 2 故EG 6 OG 10 S OEG 3 存在 当点Q在AC上时 点Q即为点G 如图 1 作 FOQ的角平分线交CE于点P1 由 OP1F OP1Q 则有P1F x轴 由于点P1在直线AC上 当x 10 时 y 点P1 10 当点Q在AB上时 如图 2 有OQ OF 作 FOQ的角平分线交CE于点P2 过点Q作QH OB于点H 设OH a 则BH QH 14 a 在 Rt OQH中 a2 14 a 2 100 解得 a1 6 a2 8 Q 6 8 或Q 8 6 连接QF交OP2于点 M 当Q 6 8 时 则点 M 2 4 当Q 8 6 时 则点 M 1 3 设直线OP2的解析式为y kx 则 2k 4 k 2 y 2x 18 解方程组 得 P2 当Q 8 6 时 则点 M 1 3 同理可求P2 综上所述 满足条件的P点坐标为 10 或 或 9 解 1 由题意得 A 3 0 B 0 3 抛物线经过 A B C 三点 把 A 3 0 B 0 3 C 1 0 三点分别代入 2 yaxbxc 得方程组 0 3 039 cba c cba 解得 3 4 1 c b a 抛物线的解析式为 2 43yxx 2 由题意可得 ABO 为等腰三角形 如图所示 19 若 ABO AP1D 则 1 DP OB AD AO DP1 AD 4 P1 1 4 21 世纪教育网版权所有 若 ABO ADP2 过点 P2作 P2 M x 轴于 M AD 4 ABO 为等腰三角形 ADP2是等腰三角形 由三线合一可得 DM AM 2 P2M 即点 M 与点 C 重合 P2 1 2 3 如图设点 E x y 则 2 2 1