第十章第三节二项式定理及应用VIP

1 第十章第十章 第三节第三节 二项式定理及应用二项式定理及应用 题组一求展开式中的指定项和特定项 1 2009 重庆高考 x2 8的展开式中 x4的系数是 2 x A 16 B 70 C 560 D 1 120 解析 由二项展开式通项公式得 Tr 1 C x2 8 r r 2rC x16 3r r 8 2 xr 8 由 16 3r 4 r 4 则 x4的系数为 24C 1 120 4 8 答案 D 2 x 3 1 x 12的展开式中的常数项为 A 132 0 B 1 320 C 220 D 220 解析 展开式的通项是 Tr 1 Cx12 r 3 1 x r C 1 rx12 令 r 12r 12 4r 3 12 0 4r 3 得 r 9 故展开式的常数项是 T10 C 1 9 220 9 12 答案 C 3 2009 湖南高考 在 1 x 3 1 3 1 3的展开式中 x 的系数为 x 3 x 用数字作答 解析 C C C 23 1 7 1 32 33 3 答案 7 4 若 6的二项展开式中 x3的系数为 则 a 用数字作答 x2 1 ax 5 2 解析 通项 Tr 1 C a rx12 3r r 6 当 12 3r 3 时 r 3 所以系数为 C a 3 得 a 2 3 6 5 2 答案 2 2 题组二求展开式中各项系数的和 5 在 n的展开式中 所有奇数项的系数之和为 1 024 则中间项系数 1 x 5 1 x3 是 A 330 B 462 C 682 D 792 解析 二项式的展开式的所有项的二项式系数和为 2n 而所有偶数项的二项式系 数和与所有奇数项的二项式系数和相等 由题意得 2n 1 1 024 n 11 展 开式共有 12 项 中间项为第六项 第七项 系数为 C C 462 5 116 11 答案 B 6 2009 江西高考 1 ax by n展开式中不含 x 的项的系数绝对值的和为 243 不含 y 的项的系数绝对值的和为 32 则 a b n 的值可能为 A a 2 b 1 n 5 B a 2 b 1 n 6 C a 1 b 2 n 6 D a 1 b 2 n 5 解析 不含 x 的项的系数的绝对值为 1 b n 243 35 不含 y 的项的系数的绝对 值 为 1 a n 32 25 n 5 Error 答案 D 7 若 x 2 5 a5x5 a4x4 a3x3 a2x2 a1x a0 则 a1 a2 a3 a4 a5 用数字作答 解析 由题设令 x 0 得 a0 2 5 32 令 x 1 得 a5 a4 a3 a2 a1 a0 1 2 5 1 故 a1 a2 a3 a4 a5 1 32 31 答案 31 题组三求展开式中系数最大项问题 8 在 3 1 2 n x x 的展开式中 只有第 5 项的二项式系数最大 则展开式的常数项为 A 7 B 7 C 28 D 28 3 解析 依题意 1 5 n 8 二项式为 3 1 2 x x 8 易得常数项为 C 2 n 26 8 x 2 3 1 x 6 7 答案 B 9 2010 佛山模拟 3 3 n x x 的展开式中 各项系数的和与其各项二项式系数的 和之比为 64 则 1 x n的展开式中系数最小的项的系数等于 解析 展开式中 各项系数的和为 4n 各项二项式系数的和为 2n 由已知得 2n 64 所以 n 6 1 x 6的展开式中 第四项的系数最小 为 C 20 3 6 答案 20 10 二项式 1 sinx n的展开式中 末尾两项的二项式系数之和为 7 且二项式系数最 大的一项的值为 则 x 在 0 2 内的值为 5 2 解析 由已知可得 C C n 1 7 即得 n 6 n 1nn n 二项式系数最大的一项为 C sin3x 20sin3x 3 6 5 2 解得 sinx 又 x 0 2 1 2 x 或 6 5 6 答案 或 6 5 6 题组四二项式定理的综合应用 11 若 3 1 3 n x x 的展开式中含有非零常数项 则这样的正整数 n 的最小值是 A 3 B 4 C 10 D 12 解析 Tr 1 C x n r 3 1 2x r r n3 4 C n r 1 r 3 1 2 r xn r x r n3 r 3 C n r 3 1 2 rxn r n3 4r 3 令 n r 0 得 n r 4 3 4 3 n 取最小值为 4 答案 B 12 令 an为 1 x n 1的展开式中含 xn 1项的系数 则数列 的前 n 项和为 1 an A B n n 3 2 n n 1 2 C D n n 1 2n n 1 解析 Tr 1 C xr rn 1 an C C n 1n 12n 1 n n 1 2 1 an 2 n n 1 2 n i 1 1 an 1 1 2 1 2 1 3 1 n 1 n 1 2 1 1 n 1 2n n 1 答案 D 13 已知 xcos 1 5的展开式中 x2的系数与 x 4的展开式中 x3的系数相等 则 cos 5 4 解析 xcos 1 5 1 xcos 5 展开式中 x2的系数为 C cos2 2 5 x 4 x 4 展开式中 x3的系数为 C 5 4 5 4 5 4 3 4 由题意可知 C cos2 C cos2 2 5 5 4 3 4 1 2 cos 2 2 5 答案 2 2 14 关于二项式 x 1 2 005 有下列命题 该二项展开式中非常数项的系数之和是 1 该二项展开式中第六项为 Cx1 999 62 005 该二项展开式中系数最大的项是第 1 002 项 当 x 2 006 时 x 1 2 005除以 2 006 的余数是 2 005 其中正确命题的序号是 注 把你认为正确的命题序号都填上 解析 二项式 x 1 2 005所有项的系数和为 0 其常数项为 1 非常数项的系数和是 1 即得 正确 二项展开式的第六项为 Cx2 000 即得 错误 二项展开式中 52 005 系数绝对值最大的项为 C 2 005x1 003 C x1 003 C 2 005x1 002 2 005 1 21 00