2012高中数学 第九章 二面角教学案 苏教版

用心 爱心 专心1 二面角二面角 一 素质教育目标 一 知识教学点 1 二面角的有关概念 2 二面角的平面角的定义及作法 二 能力训练点 1 利用类比的方法理解和掌握二面角的有关概念 掌握二面角的平面角的定义 2 用转化的思维方法将二面角问题转化为其平面角问题 进一步培养学生的空间想 象能力和分析 解决问题的能力 3 通过练习 归纳总结作二面角的平面角的三种方法 三 德育渗透点 让学生认识到研究二面角的问题是人类生产实践的需要 进一步培养学生实践第一的 观点 二 教学重点 难点 疑点及解决方法 1 教学重点 二面角 二面角的平面角的概念 2 教学难点 如何选取恰当的位置作出二面角的平面角来解题 3 教学疑点 二面角的平面角必须满足下列两个条件 一是平面角的顶点必在棱上 二是平面角的两边分别在二面角的两个面内 三 课时安排 1 课时 四 教与学过程设计 一 二面角 师 我们知道 两个平面的位置关系有两种 一种是平行 另一种是相交 两个相交 平面的相对位置是由这两个平面所成的 角 来确定的 在生产实践中 有许多问题也涉 及到两个平面所成的角 如 修筑水坝时 为了使水坝坚固耐久 必须使水坝面和水平面 成适当的角度 发射人造地球卫生时 也要根据需要 使卫星的轨道平面和地球的赤道平 用心 爱心 专心2 面成一定的角度 图看课本 P 39 中图 1 43 等等 这些事实都说明了研究两个平面 所成的 角 是十分必要的 我们就把这样的 角 叫二面角 那么如何定义二面角呢 阅读课本 P 39 40 回答下列问题 师 我们先来回忆 什么是角 如何表示 生 从平面内一点出发的两条射线 半直线 所组成的图形叫做角 如图 1 117 表示为 AOB 师 根据角的定义 我们可以类似地定义二面角 先给出半平面的定义 生 一个平面内的一条直线 把这个平面分成两部分 其中的每一部分都叫做半平 面 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角 这条直线叫做二面角的棱 这两个半平面叫做二面角的面 如图 1 119 师 那么如何表示二面角呢 生 棱为 AB 面为 的二面角记作二面角 AB 如果棱用 a 表示 则记 作二面角 a 师 二面角的画法通常有哪几种 生 第一种是卧式法 也称为平卧式 如图 1 120 用心 爱心 专心3 第二种是立式法 也称为直立式 二 平面角 师 为了对相交平面的相互位置作进一步的探讨 有必要研究二面角的大小问题 如 门和墙所在的平面是相交的 但门可以在关上 开一点小缝 开一半 全开等各种位置上 也就是说两平面虽处于相交的位置关系 但相互之间的位置关系还是应当讨论的 为了表 示二面角的大小 我们必须引入平面角的定义 定义 以二面角的棱上任意一点为端点 在两个面内分别作垂直于棱的两条射线 这 两条射线所成的角叫做二面角的平面角 师 二面角的大小可以用它的平面角来度量 即二面角的平面角是几度 就说这个二 面角是几度 现在我们来思考 问题 1 这样用平面角的度数来表示二面角的度数是否合理 为什么 生 是合理的 如图 1 121 在二面角 a 的棱 a 上任取一点 O 在半平面 和 内 从点 O 分别作垂直于棱 a 的射线 OA OB 射线 OA 和 OB 组成 AOB 在棱上另取任意一点 O 按同样的方法作 A O B 因为 OA 和 OA OB 和 OB 都垂直于棱 a 所以 AOB 和 A O B 的两边分别平行且方向相同 根据等角定理 得 AOB A O B 即 AOB 的大小是一定的 由于这个唯一性 从而说明这样定义二面角的平面角是合理的 且与点 O 在棱上的位置无关 问题 2 二面角的平面角必须满足哪几个条件 用心 爱心 专心4 生 两个条件 一是平面角的顶点必在棱上 二是平面角的两边分别在二面角的两个 面内 师 平面角是直角的二面角叫直二面角 在实际生活中 木工用活动角尺测量工件的两个面所成的角时 就是测量这两个角所 成二面角的平面角 图见 P 40 中图 1 45 我国发射的第一颗人造地球卫星的倾角是 68 5 就是说卫生轨道平面与地球赤道平面所成的二面角的平面角是 68 5 图见 P 39 中图 1 43 下面请同学们完成例题和练习 三 练习 例 如图 1 122 山坡的倾斜度 坡面与水平面所成二面角的度数 是 60 山坡 上有一条直道 CD 它和坡脚的水平线 AB 的夹角是 30 沿这条路上山 行走 100 米后升 高多少米 解 已知 CD 100 米 设 DH 垂直于过 BC 的水平平面 垂足为 H 线段 DH 的长度就是 所求的高度 在平面 DBC 内 过点 D 作 DG BC 垂足是 G 连结 GH DH 平面 BCH DG BC GH BC 因此 DGH 就是坡面 DGC 和水平平面 BCH 所成的二面角的平面角 DGH 60 由 此得 43 3 米 答 沿直道前进 100 米 升高约 43 3 米 注 在解题中要特别注意书写规范 如 DG BC GH BC DGH 是坡面 DGC 和水平面 BCH 所成二面角的平面角 用心 爱心 专心5 练习 P 41 42 练习 1 2 3 4 1 拿一张正三角形的纸片 ABC 以它的高 AD 为折痕 折成一个二面角 指出这个二 面角的面 棱 平面角 2 一个平面垂直于二面角的棱 它和二面角的两个面的交线所成的角就是二面角的 平面角 为什么 3 教室相邻两面墙 天花板两两所成的二面角各有多少度 4 在 30 二面角的一个面内有一个点 它到另一个面的距离是 10cm 求它到棱的距 离 解 1 如图 1 123 二面角 B AD C 中 面 ABD 面 ACD 棱 AD 平面角 BDC 2 如图 1 124 平面 AOB a 平面 AOB 与平面 的交 AOB 是二面角 a 的平面角 3 如图 1 125 二面角 c 二面角 b 二面角 a 的平面角 分别为 AOB AOC BOC 都是 90 用心 爱心 专心6 4 已知 如图 1 126 二面角 AB 为 30 P P 到平面 的距离为 10cm 求 P 到 AB 的距离 解 在 内作点 P 的射影 O 过点 P 作 PQ AB 于 Q 连结 OQ 根据三垂线定理 可 得 OQ AB PQO 为二面角 AB 的平面角 即 PQO 3O PO 10cm PQ 20cm 即 P 到 AB 的距离为 20cm 小结 从上面四题练习 我们可以总结三种作二面角的平面角的一般方法 1 定义法 以二面角的棱上某一点为端点 在两个面内分别作垂直于棱的两条射线 这两条射线所成的角即二面角的平面角 如练习 1 3 2 应用三垂线 逆 定理法 在二面角 l 的面 上取一点 A 作 AB 于 B BC l 于 C 则 ACB 即为 l 的平面角 如练