三角形四心向量

第 1 页 共 5 页 三角形三角形 四心四心 向量形式的充要条件应用向量形式的充要条件应用 在学习了 平面向量 一章的基础内容之后 学生们通过课堂例题以及课后习题陆续接触了有关三角 形重心 垂心 外心 内心向量形式的充要条件 现归纳总结如下 一 知识点总结 1 O 是 ABC 的重心 0OCOBOA 若 O 是 ABC 的重心 则 ABCAOBAOCBOC S 3 1 SSS 故 0OCOBOA 为的重心 1 3 PGPAPBPC GABC 2 O 是 ABC 的垂心 OAOCOCOBOBOA 若 O 是 ABC 非直角三角形 的垂心 则 CtanBtanAtanSSS AOBAOCBOC 故 0OCCtanOBBtanOAAtan 3 O 是 ABC 的外心 OC OB OA 或 222 OCOBOA 若 O 是 ABC 的外心 则 C2sin B2sin A2sinAOBsinAOCsinBOCsinSSS AOBAOCBOC 故 0OCC2sinOBB2sinOAA2sin 4 O 是内心 ABC 的充要条件是 0 CB CB CA CA OC BC BC BA BA OB AC AC AB AB OA 引进单位向量 使条件变得更简洁 如果记 CA BC AB 的单位向量为 321 e e e 则刚才 O 是 ABC 内心的充要条件可以写成 0 ee OC ee OB ee OA 322131 O 是 ABC 内心的充要条件也可以是 0OCcOBbOAa 若 O 是 ABC 的内心 则 cbaSSS AOBAOCBOC 故 0OCCsinOBBsinOAAsin0OCcOBbOAa 或或 的内心 0AB PCBC PACA PBP ABC 向量所在直线过的内心 是的角平分线所在直线 0 ACAB ABAC ABC BAC 二 范例 一 将平面向量与三角形内心结合考查 例 1 O 是平面上的一定点 A B C 是平面上不共线的三个点 动点 P 满足 则 P 点的轨迹 AC AC AB AB OAOP 0 一定通过的 ABC A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心 解析 因为是向量的单位向量设与方向上的 AB AB AB AB AC 单位向量分别为 又 则原式可化为 由菱形的基本性质知 21 ee 和APOAOP 21 eeAP AP 平分 那么在中 AP 平分 则知选 B BAC ABC BAC A C B 1 e C 2 e C P 第 2 页 共 5 页 点评 这道题给人的印象当然是 新颖 陌生 首先是什么 没见过 想想 一个非零向量除 AB AB 以它的模不就是单位向量 此题所用的都必须是简单的基本知识 如向量的加减法 向量的基本定理 菱形的基本性质 角平分线的性质等 若十分熟悉 又能迅速地将它们迁移到一起 解这道题一点问题 也没有 二 将平面向量与三角形垂心结合考查 垂心定理垂心定理 例 2 H 是 ABC 所在平面内任一点 点 H 是 ABC 的垂心 HAHCHCHBHBHA 由 ACHBACHBHAHCHBHCHBHBHA 00 同理 故 H 是 ABC 的垂心 反之亦然 证略 ABHC BCHA 例 3 湖南 P 是 ABC 所在平面上一点 若 则 P 是 ABC 的 D PAPCPCPBPBPA A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心 解析 由 0 PCPBPBPAPCPBPBPA得 即0 0 CAPBPCPAPB即 则ABPCBCPACAPB 同理 所以 P 为的垂心 故选 D ABC 点评 本题考查平面向量有关运算 及 数量积为零 则两向量所在直线垂直 三角形垂心定义等相关知 识 将三角形垂心的定义与平面向量有关运算及 数量积为零 则两向量所在直线垂直 等相关知识巧妙结 合 三 将平面向量与三角形重心结合考查 重心定理重心定理 例 4 G 是 ABC 所在平面内一点 0点 G 是 ABC 的重心 GCGBGA 证明证明 作图如右 图中GEGCGB 连结 BE 和 CE 则 CE GB BE GCBGCE 为平行四边形D 是 BC 的中点 AD 为 BC 边上的中线 将代入 0 GEGCGB GCGBGA 得 0 故 G 是 ABC 的重心 反之EGGA GDGEGA2 亦然 证略 例 5 P 是 ABC 所在平面内任一点 G 是 ABC 的重心 3 1 PCPBPAPG 证明证明 CGPCBGPBAGPAPG 3PCPBPACGBGAGPG G 是 ABC 的重心 0 0 即GCGBGA CGBGAG PCPBPAPG 3 由此可得 反之亦然 证略 3 1 PCPBPAPG 例 6若 为内一点 则 是 的 OABC 0OAOBOC OABC A 内心 B 外心 C 垂心 D 重心 解析 由得 如图以 OB OC 为相邻两边构作平0OAOBOC OBOCOA 行四边形 则 由平行四边形性质知 OBOCOD 1 2 OEOD 2OAOE 同理可证其它两边上的这个性质 所以是重心 选 D 点评 本题需要扎实的平面几何知识 平行四边形的对角线互相平分及三角形重心性 质 重心是三角形中线的内分点 所分这比为 本题在解题的过程中将平面向量的有关运算与平行 2 1 四边形的对角线互相平分及三角形重心性质等相关知识巧妙结合 四 将平面向量与三角形外心结合考查 A B C E D O 第 3 页 共 5 页 AB x1 0 C x2 y2 y x H Q G D E F 例 7若 为内一点 则 是 的 OABC OAOBOC OABC A 内心 B 外心 C 垂心 D 重心 解析 由向量模的定义知到的三顶点距离相等 故 是 的外心 选 B OABC OABC 点评 本题将平面向量模的定义与三角形外心的定义及性质等相关知识巧妙结合 五 将平面向量与三角形四心结合考查 例 8 已知向量 满足条件 0 1 1 OP 2 OP 3 OP 1 OP 2 OP 3 OP 1 OP 2 OP 3 OP 求证求证 P1P2P3是正三角形 数学 第一册 下 复习参考题五 B 组第 6 题 证明证明 由已知 两边平方得 1 OP 2 OP 3 OP 1 OP 2 OP 2 1 同理 2 OP 3 OP 3 OP 1 OP 2 1 从而 P1P2P3是正三角形 21P P 32P P 13P P3 反之 若点 O 是正三角形 P1P2P3的中心 则显然有 0 且 1 OP 2 OP 3 OP 1 OP 2 OP 3 OP 即 O 是 ABC 所在平面内一点 0 且 点 O 是正 P1P2P3的中心 1 OP 2 OP 3 OP 1 OP 2 OP 3 OP 例 9 在 ABC 中 已知 Q G H 分别是三角形的外心 重心 垂心 求证 Q G H 三点共线 且 QG GH 1 2 证明 以 A 为原点 AB 所在的直线为 x 轴 建立如图所示的直角坐标系 设 A 0 0 B x1 0 C x2 y2 D E F 分别为 AB BC AC 的中点 则有 112222 0 22222 xxxyxy EF D 由题设可设 1 324 2 x QyH xy 122 33 xxy G 212 243 222 xxy AHxyQFy 212 BCxxy 22124 221 4 2 0 AHBC AHBCxxxy y xxx y y 212 223 2212 3 2 0 222 22 QFAC xxy QFACxyy xxxy y y 1212212 243 23 22 xxxxxxy QHxyy 2 22y 第 4 页 共 5 页 21122122212 3 212212212212 2 32332 23 23 1 632 1 3 xxxyxxyxxxy QGy xxxxxyxxxxxy QH 2 22 62y 66y22y 即 故Q G H三点共线 且QG GH 1 2 3QHQG 注 本例如果用平面几何知识 向量的代数运算和几何运算处理 都相当麻烦 而借用向量的 坐标形式 将向量的运算完全化为代数运算 这样就将 形 和 数 紧密地结合在一起 从而 很多 对称 共线 共点 垂直等问题的证明 都可转化为熟练的代数运算的论证 例 10 若 O H 分别是 ABC 的外心和垂心 求证求证 OCOBOAOH 证明证明 若 ABC 的垂心为 H 外心为 O 如图 连 BO 并延长交外接圆于 D 连结 AD CD 又垂心为 H ABAD BCCD BCAH ABCH AH CD CH AD 四边形 AHCD 为平行四边形 故 OCDODCAH OCOBOAAHOAOH 著名的 欧拉定理 讲的是锐角三角形的 三心 外心 重心 垂心的位置关系 1 三角形的外心 重心 垂心三点共线 欧拉线 2 三角形的重心在 欧拉线 上 且为外 垂连线的第一个三分点 即重心到垂心的距离是重 心到外心距离的 2 倍 欧拉定理 的向量形式显得特别简单 可简化成如下的向量问题 例 11 设 O G H 分别是锐角 ABC 的外心 重心 垂心 求证求证 OHOG 3 1 证明证明 按重心定理 G 是 ABC 的重心 3 1 OCOBOAOG 按垂心定理 OCOBOAOH 由此可得 OHOG 3 1 补充练习 1 已知 A B C 是平面上不共线的三点 O 是三角形 ABC 的重心 动点 P 满足 2 则点 P 一定为三角形 ABC 的 B OP 3 1 2 1 OAOB 2 1 OC A AB 边中线的中点 B AB 边中线的三等分点 非重心 C 重心 D AB 边的中点 1 B 取 AB 边的中点 M 则 由 2 可得 3OMOBOA2 OP 3 1 2 1 OAOB 2 1 OC 即点 P 为三角形中 AB 边上的中线的一个三等分点 且点MCOMOP23 MCMP 3 2 P 不过重心 故选 B 2 在同一个平面上有及一点 满足关系式 ABC 2 OA 2 BC 2 OB 2 CA 2 OC 则 为的 D 2 AB ABC 外心 内心 C 重心 D 垂心 2 已知 ABC 的三个顶点 A B C 及平面内一点 P 满足 则 P 为的 0PAPBPC ABC 第 5 页 共 5 页 A B C M N G 图 1 C 外心 内心 C 重心 D 垂心 3 已知 O 是平面上一 定点 A B C 是平面上不共线的三个点 动点 P 满足 则 P 的轨迹一定通过 ABC 的 C ACABOAOP 外心 内心 C 重心 D 垂心 4 已知 ABC P 为三角形所在平面上的动点 且动点 P 满足 则 P 点为三角形的 D 0PA PCPA PBPB PC 外心 内心 C 重心 D 垂心 5 已知 ABC P 为三角形所在平面上的一点 且点 P 满足 则 P 点为三0a PAb PBc PC 角形的 B 外心 内心 C 重心 D 垂心 6 在三角形 ABC 中 动点 P 满足 则 P 点轨迹一定通过 ABC 的 CPABCBCA 2 22 B 外心 内心 C 重心 D 垂心 7 已知非零向量与满足 0 且 则 ABC 为 AB AC AB AB AC AC BC AB AB AC AC 1 2 A 三边均不相等的三角形 B 直角三角形 C 等腰非等边三角形 D 等边三角形 解析 解析 非零向量与满足 0 即角 A 的平分线垂直于 BC AB AC 又 ABAC ABAC cos A A 所以 ABC 为等边三角形 选 D ABAC ABAC 1 2 3 8 的外接圆的圆心为 O 两条边上的高的交点为 H 则实数 m 1ABC OCOBOAmOH 9 点 O 是三角形ABC 所在平面内的一点 满足 则点 O 是的 B OAOCOCOBOBOA ABC A 三个内角的角平分线的交点