可化为一元二次方程的分式方程和无理方程

1 第二单元 可化为一元二次方程 的分式方程和无理方程 一 教 法 建 议 抛砖引玉 本单元向同学们介绍了公式方程与无理方程 对分式方程 可化为一元一次方程的分式 方程 同学已学过 并不陌生 因而 在教学中以其为突破口 自然地过渡到解可化为一元 二次方程的分式方程 它的基本思想与可化为一元一次方程的分式方程基本相似 在教学中 紧紧地抓住 把分式方程 转化 为整式方程 这条主线 研究 转化 的条件 结合具体 实例 突出 转化 突出解可化为一元二次方程的分式方程的步骤与解可化为一元一次方 程的分式方程的步骤完全相同 再结合例题 剖析产生增根的原因 使学生深知验根的必要 性和重要性及验根的方法 在本单元教学中 通过例 2 培养学生敏锐的观察力 使他们发现 两个分式的分母 分子互相交换位置 可看作互为倒数 自然引到换元法上 1 1 1 1 2 2 x x x x 来 通过换元把此分式方程转化为一元二次方程 简捷 易解 激发他们对换元法的兴趣 抓住这一契机 进一步强调换元法应用的广泛性 重要性 应用题教学应注意对题目中一些相等关系的分析 使他们在分析问题 解决问题的能 力方面在原有基础上再提高一步 无理方程对学生来说是新内容 在教学中结合实例使学生了解无理方程的概念 掌握 其解法 乘方法及换元法 强调解无理议程验根的必要性及其方法步骤 指点迷津 解可化为一元二次方程的分式方程 重点是抓住把分式方程 转化 为整式方程 因此 要注意 转化 的条件 要引导学生善于观察 捕捉习题的特点来选取转化的方法 通常 如课本 P45 例 1 选取去分母法 也可采取换元法 如果方程的两项成倒数关系 二次 项的底数与一次项底数相等 采取换元法为宜 对于解分式方程最后一道 关 检验 务必不能漏掉 必须向同学们进一步强调 列方程解应用题尽管同学们多次接触 与以前学过列方程 整式方程 解应用题几乎 完全相同 但找相等关系要比以前学过的复杂一些 只要强化对题目中的一些相等关系的分 析 症结也可化解 引出无理方程的概念后 指出以前学过的整式方程和分式方程统称有理方程 这样对 代数方程有一个完整认识 再通过实例强调无理方程必须掌握乘方法及换元法 常规方法 是乘方法 至于如何选取换元法 必须善于观察 若发现根号内外对应项系数成比例或两个 根号内的两项互为倒数关系等 应果断选取换元法 无理方程的验根这一环也必须扣紧 来不得半点含糊 二 学 海 导 航 思维基础 2 1 方程叫分式方程 解分式方程一般是把方程两边同乘以 或 用 法 使原方程转化为 去求解 2 方程叫无理方程 解无理方程一般是把方程两边同时 或 法 使原方程转化为 去求解 3 解分式方程和无理方程的转化过程中 有可能产生 因此解这两种方程 的最后必须进行 4 检验分式方程增根的一般方法是 5 检验无理方程增根的一般方法是 学法指要 例 1 解方程 6017 45 12 3 5 4 2 x x x x x 思考 1 解分式方程通常使用哪两种方法 2 本例应用何种方法解之为宜 3 解分 式方程应注意什么 4 分母为多项式首先应怎么办 如何去分母呢 思路分析 本例是一道分式方程 通常采用去分母法 因此首先应观察各项分母 如 能分解因式必须先分解因式 如本例可分解因式为 待分解6017 2 xx 12 5 xx 因式后再找各分母的最小公倍式 如本例为 用此整式去乘方程的每一 12 5 xx 项 便可约去分母 将分式方程转化为整式方程求解 在去分母的过程中要注意两点 1 必须注意符号的变化规律 如本例 12 x 与 x 12 的关系 2 用整式乘以方 程的每一项 一项都不能漏 最后应检验 至此例可找到本例完整解答 解 原方程就是 12 5 45 12 3 5 4 xx x x x x 方程两边都乘以 约去分母 得 12 5 xx 45 5 3 12 4 xxxx 整理后 得 01811 2 xx 解这个方程 得 9 2 21 xx 检验 0 12 5 9 2 21 xxxx代入 均为原方程根 9 2 21 xx 例 2 解方程 1 06 1 5 1 2 x x x x 3 2 11 2 1 3 1 2 8 2 2 2 2 xx x x xx 思考 1 解分式方程可用换元法 一是二次项与一次项相同 采取同底换元法 二 是含未数的二项方程为一常数 呈倒数关系 可采取倒数换元法 你说对吗 2 对本例采 取何方法解之 请你探索 思路分析 1 观察方程 1 可发现二次项底数与一次项未知底数相同 因而 可 考虑换元法为宜 解 设 则原方程可化为y x x 1 065 2 yy 0 3 2 yy 3 2 21 yy 当 y1 2 时 即 3 2 2 1 x x x 当 y2 3 时 即 01 4 3 3 2 4 3 3 1 21 xxxx x x 代入检验把 均为原方程的根 4 3 3 2 21 xx 思路分析 2 观察方程 2 可发现这个方程左边两个分式中的与 1 2 2 2 x xx 互为倒数 根据这个特点 可以用换元法来解 xx x 2 1 2 2 解 设 那么 于是原方程变形为y x xx 1 2 2 2 yxx x1 2 1 2 2 11 4 3 8 y 去分母 得 03118 2 yy 0 1 38 yy 解得 y1 3 8 y2 1 当 y 3 8 时 8 3 1 2 2 2 x xx 去分母并整理 得 03165 2 xx 4 解得 3 5 1 21 xx 当 y 1 时 即 1 1 2 2 2 x xx 去分母并整理 得 2 1 12 3 xx 检验 把分别代入原方程的分母 各分母都不等于 0 所 2 1 3 5 1 321 xxx 以它们都是原方程的根 原方程根是 2 1 3 5 1 321 xxx 2 的又一解法 设 b xx x a x xx 2 13 1 2 8 2 2 2 2 于是有 24 11 ab ba 这样根据课本 P31 以两个数 x1 x2为根的一元二次方程 二次项系数为 1 是 x2 x1 x2 x x1 x2 0 可找到思路 进而知以 a b 为根的一元二次方程是 02411 2 tt t1 3 t2 8 即 1 2 8 3 1 2 8 2 2 2 2 x xx x xx 或 亦为 下同原解法 1 1 2 8 3 1 2 2 2 2 2 x xx x xx 或 由此可以看出 解分式方程 转化 为整式方程 一元一次方程或一元二次方程 用 去分母法是基础方法 解分式方程应首先考虑用基本方法求解 然后再根据分式方程特点 如倒数关系式 考虑换元法 便可达到转化的目的 找到思路 对于解题过程的每一个步 骤都不能疏忽 才能正确求解 例 3 解方程 2 4 3 2 1 xxxx 思考 1 解无理方程通常使用哪些方法 2 本例采用哪种解法好 思路分析 本例是一道无理方程 应首先考虑用乘方法求解 然而 当我们观察 原方程可发现 含根号的未知数项均在等号左边 立即采取乘法将会使求解陷入困境 此 时把方程左边一项适时移到等号右边 再采取乘方法 将会走出困境 出现新的曙光 这也 是解此类无理方程的技巧 方法 由此 采取乘方法本例便可很顺利了 解 移项得 4 3 2 2 1 xxxx 两边平方 得 127 4 3 22223 22 xxxxxx 5 整理 得 4 3 226 xxx 两边再平方 得 127 242436 22 xxxx 065 2 xx 3 2 21 xx 把 x1 2 x2 3 分别代入原方程 使得左边 右边 因此 x1 2 x2 3 是原方程的根 原方程的根是 x1 2 x2 3 例 4 解方程 1 2152153 22 xxxx 2 2 5 2 1 1 2 x x x x 思考 1 解分式方程可采取换元法吗 如何进行换元 2 这两例各有什么特点 思路分析 1 将 1 方程进行适当变形为 321523153 22 xxxx 此时例可发现根号内外相同项的对应系数成比例 即 3 1 15 5 3 1 抓住这个特 征 适时换元 便可打开思路 解 设 则原方程可变成yxx 15 2 3y2 2y 5 0 3y 5 y 1 0 1 3 5 21 yy 当 无解 3 5 15 3 5 2 1 xxy时 当 115 1 2 2 xxy时 05 2 xx 5 0 21 xx 经检验都是原方程的根 5 0 21 xx 思路分析 2 观察方程左边两项 它们互为倒数 捕捉这一信息 1 2 2 1 x x x x 便迅速作出换元的决策 思路自然畅通 解 设 2 51 1 1 2 2 1 y y yx x y x x 于是原方程变形为那么 6 0252 2 yy 2 2 1 21 yy 余下步骤略 通过对例 3 例 4 的学习 我们体会到 如何能想到解题思路呢 只有认真审题 敏 锐观察 抓住试题的特点 如倒数关系 根号内外对应项系数成比例等 便可立即采取换 元法 不然便是乘方法 在初中只向同学们介绍了这两种最基础的方法 二者必居其一 只要按照课本所教的方法去探索 去观察 去分析 老师能想到的思路 同学们也同样想 得到 例 5 某校学生甲 乙二人分别从 A B 两地同向出发 甲经过 B 地后再走 3 小时 12 分钟在 C 地追地追上乙 这时二人共走了 72 千米 而 C A 两地的距离等于乙走 5 小时的 路程 求 A B 两地的距离 思考 1 列方程解应用题通常有哪些步骤 2 对行程问题要抓住哪三者之间的关系 3 列分式方程解应用题还要检验吗 检验后还应注意什么 思路分析 要解决行程问题 迅速找到思路 首要条件是把实际问题用线段图清晰 表示出来 其次抓住 速度 时间 距离 三者之间关系 列出代数式 再者找相等关系 用代数式表示 便可列出方程 大功告成 然后求解 检验 答便接近尾声 抓住 首先 其次 再者 这三部曲 你自然能想到解行程问题思路 如本例 解 一 画线段图 图代 12 2 1 二 根据三者 s t 关系结合线段图列代数式 乙从 B 走到 C 的距离是 千米 72 2 1 s 甲从 B 走到 C 的距离亦是 千米 72 2 1 s 甲从 A 走到 C 的距离是 千米 72 2 1 72s 乙的速度是 千米 小时 5 72 2 1 72s 甲的速度是 千米 小时 15 16 72 2 1 s 三 找相等关系式 布列方程 甲从 A 走到 C 的时间 乙从 B 走到 C 时间 7 5 72 2 1 72 72 2 1 5 16 72 2 1 72 2 1 72 s s s s 5 16 72 4 1 72 2 1 725 2 2s s 2 2 72 64 1 2 1 36 25 1 ss 负值舍 ss 72 8 1 2 1 36 5 1 s 8 千米 经检验 s 8 是原方程根 且符合题意 答 A B 两地距离是 8 千米 由上可知 该道应用题十分复杂 尽管千头万绪 但对行程问题只要遵循 三部曲 你自然能想到怎样解 而且能顺利找到思路 总之 对列方程解应用题要认真分析 采取画 线段图 列表等手段辅助分析 列出代数式 最关键的是找准相等关系 一切拦路虎便可 降服了 思维体操 例 甲 乙二人自 A B 两村骑自行车同时相向而行 相遇在离 A 村 8 公里处 相遇后 两人继续按原方向前进 分别到达 A 和 B 后又立即返回 在离 B 村 10 公里处相遇 求两村 间的距离 思考 1 行程问题可把总路程看作单位 1 吗 相同时间呢 2 对行程问题分析可采 取列表法 画线段图法等 本例采取哪种方法好呢 思路分析 依题意 画线段图如图代 12 2 2 第一次相遇甲行 8 公里 乙行 s 8 公里 第二 图 12 2 2 8 次相遇 甲共行了 s 10 公里 乙共行了 2s 10 公里 第一次相遇后至第二次相遇甲 行了 s 8 10 s 2 公里 乙行了 8 s 10 公里 只要抓住 甲行走所用时间 乙行走 所用时间 这一相等关系式 问题就能得到解决 扩散 1 设两村的距离为 s 公里 甲速度为 1公里 时 乙速度为 2公里 时 则 有 21 88 s 21 10210 ss 得 102 8 10 8 s s s 8028016 2 sss 014 2 ss s 0 s 14 公里 扩散 2 设法同扩散 1 则有 21 21 22 88 ss s 扩散 3 设两村间的距离为 s 公里 第一次相遇时他们行了 t 小时 则有 t s s t s 8 102 8 10 s 8 s 10 8 2s 10 s2 2s 80 16s 80 s2 14s 0 s 0 s 14 公里 扩散 4 设同扩散 3 则有 t s s t s 8 2 8 2 扩散 5 设两村间的距离为 s 公里 两次相遇共用 3t 小时 则有 t s s t s102 8 10 8 9 8 2s 10 s 10 s 8 16s 80 s2 10s 80 s2 14s 0 s 0 s 14 公里 扩散 6 设同扩散 5 则有 t s s t s s 102 2 10 2 扩散 7 设两村间的距离为 s 公里 第一次相遇后至第二次相遇所行时间为 t 小时 则有 t s s t s2 8 2 8 扩散 8 设同扩散 7 则有 t s s t s s 2 102 2 10 扩散 9 设两村间的距离为 s 公里 第一次相遇两人行 1 单位时间 则甲的速度为 8 公里 1 单位时间 乙的速度为 s 8 公里 1 单位时间 于是得 8 102 8 10 s ss s 10 s 8 8 2s 10 s2 2s 80 16s 80 s2 14s 0 s 0 s 14 公里 扩散 10 设同扩散 9 则有 8 2 8 2 s sx 扩散 11 设两村的距离为 s 公里 两次相遇共用 1 单位时间 则有 102 8 10 8 s s s 8 2s 10 s 10 s 8 16s 80 s2 2s 80 s2 14s 0 s 0 s 14 公里 扩散 12 设法同扩散 11 则有 102 2 10 2 s s s s 扩散 13 设两村间的距离为 s 公里 第一次相遇后至第二次相遇共行了 1 单位时间 则有 10 2 8 2 8 s s s 8s 16 s 2 s 8 s2 6s 16 s2 14s 0 s 0 s 14 公里 扩散 14 设同扩散 13 则有 3 1 4 2 25 3 x x x x x x x x 2 102 2 10 s s s s 扩散 15 设两村间的距离为 s 公里 甲 乙二人两次相遇共走 3s 公里 又知从出 发到第一次相遇 甲 乙二人共走 3s 公里 其中甲共走 8 公里 由于速度不变 两次相遇 甲共走 8 3 公里 同时又知甲共走 s 10 公里 于是有 公里 143810 ss 根据 解法扩散 15 可推广为解两次相遇问题的通法 如将原题中把 8 公里 改为 a 公里 10 公里 改为 b 公里 根据 解法扩散 15 分析可得下列关系式 basabs 33 应用这一公式 解与例题相同的一类两次相遇问题十分简捷 迅速 易求 试举例 清晨 甲 乙二人分别从 A B 两地同时开始跑步锻炼 甲从 A 跑到 B 立刻再返回 A 乙从 B 跑到 A 再立即返回 B 在距离 A 600 米处第一次相遇 在距离 B 400 米处两人第二 次相遇 假定甲 乙各自速度不变 则 A B 两处的距离是 思路分析 这里 a 600 米 b 400 米 由公式得 米 400140060033 bas 故 A B 两处距离为 1 400 米 再举两例 供同学们练习 1 甲 乙二人分别从 A B 两地同时出发 相向而行 第一次相遇时离 B 地 700 米 两 人继续往前走 到达对方出发地立即返回 结果又在距离 A 地 400 米处相遇 求 A B 两地 的距离 s 1 700 米 2 甲 乙二人自 A B 两地同时相向而行 在距 B 地 5 千米处相遇 各自到达对方出发 地立即返回 又在距 A 地 1 千米处相遇 求 A B 两地的距离 s 14 千米 扩散 1 15 从不同角度分析问题 扩散 1 2 增设速度 借 桥 过 河 天 堑变通途 扩散 3 8 增设时间 借梯登楼视野开阔 扩散 9 14 借助单位 1 简捷 又明快 扩散 15 抓住甲 乙二人速度不变 找出 甲走的总路程 甲走的总路程 这一 相等关系 抓住问题质 使这一类问题产生质的变化 三 智 能 显 示 心中有数 分式方程 无理方程是代数方程的重要组成部分 解方程必然要学会解分式方程 解无 理方程 对于解可化为一元二次方程的分式方程一定要驾驭去分母法 换元法 这种方法既 基本又实用 也是解开这一类问题的常用方法 只要熟练掌握 遇到类似问题 你一定可 想到好的解法 把分式方程转化为整式方程求解 无理方程的解法通常采取乘方法或换元法 11 根据无理方程的不同特点 灵活选取这两种方法 一定能奏效 列方程解应用题 重点在分析 如画图 列表等辅助分析 进而再根据分析 找出相 等关系 便可有新的突破 找到思路 总之 对本单元的三大块知识要熟练掌握 它们之间既有区别又有联系 抓住它们的 脉搏 才能卓有成效 收到好的学习效果 动手动脑 1 解方程 3 1 4 2 25 3 x x x x x x x x 2 解方程 513410 xxx 创新园地 解关于的方程 c c x x 11 解之得 c xcx 1 21 请同学应用此题结论解方程 组 1 1 1 1 1 a a x x 2 2 5 3 1 1 3 2 2 x x x x 3 2 5 2 1 1 2 x x x x 4 7 1 1 6 1 1 2 2 2 x x x x 5 6 12 8 12 9 S S S S 6 xx xx 2 2 2 1 7 0 4 5 ba xa xb xb xa 8 8 3 20 3 2 2 xx xx 9 7 6 xy yx 10 2 3 xy yx 12 11 18 13 33 18 1511 y x x y yx 12 5 6 5 yx x y y x 13 612 2 1 10122 xy xy 14 20 41 22 xy yx 15 169 108916 x y y x xy 四 同 步 题 库 一 填空题 1 在方程中 若设 则原方程化为关于 y 的方程0153 22 xxyx 1 2 是 2 当 m 时 关于 x 的分式方程没有实数解 0 2 1 6 3 2 xxx mx 3 若关于 x 的方程有实数根 则 a 的取值范围是 02 axx 4 用换元法解方程时 可设 y 这时原方程变为 05 1 6 1 2 x x x x 5 方程的根是 的根是 的根0 xxx xx 是 6 无理方程的根为 则 a 的值为 xax 6 2 3 7 若 a b 都是正实数 且 则 baba 211 22 ba ab 8 若 a b 1 且 a b 2 5 则 2a b 9 当 a 时 方程无实数根 0 2 2 xx ax 13 10 若 则 8 1 x x x x 1 二 选择题 11 下列方程中既不是分式方程 也不是无理方程的有 A B 32 1 1 x x 8 532 2 xx C D 0 1 3 2 x xxx x 3 53 E F 532 yx23 2 2 x x x 12 方程的最简公分母是 3 4 3 3 3 2 3 2 1 2 x x xxx A 24 x 3 x 3 B x 3 x 3 2 C 24 x 3 x 3 2 D 12 x 3 x 3 2 13 观察下列方程 经分析判断得知有实数根的是 A B 0 3 3 x 03 1 2 2 x C D 0 2 3 x xx 0 1 2 2 x xx 14 如果 那么的值是 01 816 2 xxx 4 A 1 B 1 C 1 D 4 15 方程的解是 1142 xx A 0 B 2 C 0 或 2 D 2 2 1 16 设 y x2 x 1 则方程可变形为 xx xx 2 2 2 1 A y2 y 2 0 B y2 y 2 0 C y2 y 2 0 D y2 y 2 0 17 若 则 a 的取值范围是 aaa21441 2 A 全体实数 B a 0 C a D A 2 1 2 1 18 已知 则相等关系成立的式子是 0 SR S V R VU 14 A B SU SR V SR SU V C D SR SU V SU SR V 19 关于 x 的方程的根是 x a x x 22 A x a B x a C x1 a x2 D x1 a x2 a 2 a 2 20 一个数和它的算术平方根的 4 倍相等 那么这个数是 A 0 B 16 C 0 或 16 D 4 或 16 三 解下列方程 21 33 5 3 11 2 x x xxx x 22 2725 xx 23 07 1 2 91 2 2 x x x x 24 4 6 1 1 2 4 22 x x xxx x 25 2 5 2 3 1 1 3 1 xx 26 0134 2 xxx 27 1 1 1 6 1 1 23 xx x xx 28 04 1 3 1 2 x x x x 29 4 9 4 9 1 x x x 30 关于 x 的方程 其中 p 是实数 02222 222 ppxxxx 1 若方程没有实数根 求 p 的范围 2 若 p 0 问 p 为何值时 方程有两个相等的实数根 并求出这两个根 四 解答题 31 已知直角三角形两条直角边之差为 7 它的周长为 30 求各边之长 32 如图 ABC 内接于 O AB 是直径 D 是圆上的点 BD 交 AC 于 E 已知 AB 5 sin CAB 5 3 15 图代 12 2 3 1 设 CE m DE BE k 试用含 m 的代数式表示 k 2 当 AD OC 时 求 k 的值 3 当 BE 6DE 时 求 DC 的长 下列数据供选用 7 1 8 8 1 7 10 1 6 tgtgtg 结果中保留 33 甲 乙二人分别从 A B 两地同时相向而行 相遇时甲比乙多走了 6 千米 相遇后 他们仍以原速度前进 甲经过小时到达 B 地 乙经过 8 小时到达 A 地 求 A B 间的距 2 1 4 离 34 某校学生甲 乙二人分别从 A B 两地同时同向行走 甲经过 B 地后再后 3 小时 12 分钟在 C 地追上乙 这时二人共走了 72 公里 而 C A 两地的距离等于乙走 5 小时的路程 求 A B 两地的距离 35 某校初三甲 乙两班同学向水灾地区捐款的总数为 3 600 元 已知甲班比乙班少 5 人 但平均每人比乙班多捐 5 元 结果两班的捐款数相同 求甲 乙两班平均每人的捐款 数 36 已知一个矩形和一个正方形的面积相等 它们的周长之和为 108 且矩形的长比宽 多 18 求矩形的长和宽以及正方形的边长 37 淮河上有 A B 两地相距 14 千米 一只船在两地往返一趟需 2 小时 24 分 船在静水中 的速度是 12 千米 时 问一个漂流物从 A 地漂到 B 地需要多少时间 38 从甲站到乙站有 150 千米 一列快车和一列慢车同时从甲站开出 1 小时后快车在 慢车前 12 千米 快车到达乙站时 慢车还差 25 千米没走完 快车和慢车每小时各走多少 千米 若都提高速度 50 快慢车行这段各节省多少时间 39 一项工程甲队独完成比乙队单独完成少用 15 天 现甲队先做 10 天后 再由乙队单 独做 15 天就完成了这项工作的 求甲 乙两队单独完成这项工程的天数 3 2 参 考 答 案 动脑动手 1 解法 1 由原方程去分母 得 xxxxxxxx 3 4 5 3 4 2 3 16 1 4 2 5 2 3 5 2 xxxxxxxx 展开后 得 xxxxxxxx60471272546 234234 40227106032118 234234 xxxxxxxx 合并 得 028368 2 xx 0792 2 xx 1 2 7 21 xx 经检验 都是原方程的根 1 2 7 21 xx 解法 2 将原方程变形 得 3 43 4 64 2 22 5 85 x x x x x x x x 3 2 4 3 2 1 5 4 xxxx 去分母 得 4 x 2 x 4 x 3 x 5 x 4 x 3 3 x 5 x 2 x 3 2 x 5 x 2 x 4 展开后 得 60471296104364 2323 xxxxxx 80762229093303 2323 xxxxxx 合并 化简 得 0792 2 xx 解法 3 同解法 2 原方程化为 3 2 4 3 2 1 5 4 xxxx 移项 得 2 1 3 2 4 3 5 4 xxxx 两边通分 得 65 1 209 1 22 xx x xx x 6520901 22 xxxxx或 解之 得 2 7 1 21 xx 2 解 设 13 410 xbxa 17 则 99 410 22 xbxa 5 22 xba 5 xba bababa 0 1 baba 1 baba或舍去 得 62 xa 即 64102 xx 将方程两边平方后 整理 得 05228 2 xx 26 2 21 xx 经检验知 均为原方程根 26 2 21 xx 创新园地 由方程我们可发现方程左右两边结构一致 且 常 c c x x 11 xc x 1 1 1 c 数 只要具有这个条件 我们用观察法 便可利用结论 口算出答案 1 由原方程得 1 1 1 1 1 1 a a x x 1 1 111 a xax或 2 由原方程 得 2 1 2 2 5 3 1 1 3 2 2 x x x x 2 1 1 3 2 1 3 22 x x x x 或 3 由原方程 得 2 1 2 2 5 2 1 1 2 x x x x 2 1 1 2 2 1 2 x x x x 或 4 由原方程 得 437 1 1 6 1 1 2 2 2 x x x x 18 4 1 1 2 3 1 1 2 22 x x x x 或 5 由原方程 得 1266 12 8 12 9 S S S S 12 12 9 6 12 9 S S S S 或 6 由原方程 得 121 2 2 2 xx xx 12 22 xxxx或 7 由原方程 得 145 4 xa xb xb xa 14 xb xa xb xa 或 8 由原方程 得 102 3 20 3 2 2 xx xx 10323 22 xxxx或 9 7 6 xy yx 23236 7 x x 2323 xx或 10 2 3 xy yx 213 2 x x 21 xx或 11 18 9 18 4 18 13 33 y x x y 18 9 318 4 3 x y x y 或 12 3 2 2 3 6 5 x y y x 舍 2 3 2 3 y x y x 或 13 由原方程组得 19 1221012 12 24 x x 1212 212 xx或舍 14 由原方程组 得 251641 400 2 2 x x 2516 22 xx或 15 12120 169 x y y x 12 9 12 9 y x y x 或 同步题库 一 填空题 1 2 4 或 6 3 a 2 4 023 2 yy056 1 2 2 yy x x 5 0 0 和 1 0 6 7 8 9 2 1 10 2 33 2 1 7 1 二 选择题 11 A 12 D 13 C 14 A 15 B 16 A 17 D 18 B 19 D 20 C 三 解下列方程 21 33 5 3 11 2 x x xxx x 解 5 1 1 3 xxxx xxxx5133 2 043 2 xx 0 1 4 xx 1 4 21 xx 经检验知 x 1 是增根 x 4 是原方程的根 22 2725 xx 解 22 722 5 xx 7272445 xxx 20 22 724 8 xx 017648 2 xx 0 44 4 xx 44 4 21 xx 经检验知 x 44 是增根 x 4 是原方程的根 23 07 1 2 91 2 2 x x x x 解 05 1 2 91 2 x x x x 设 05 2 9 1 2 yyy x x则 2y2 9y 10 0 2y 5 y 2 0 y1 y2 2 2 5 把代入中 得 2 5 1 yy x x 1 2 51 x x xx 2 5 1 2 0252 2 xx 0 2 12 xx 2 2 1 21 xx 把代入中 得2 2 yy x x 1 1 0 1 012 2 1 43 2 2 xx x xx x x 经检验知 均为原方程的根 1 2 2 1 4321 xxxx 21 24 4 6 1 1 2 4 22 x x x x x x 解 1 6 4 2 4 2 2 6 1 1 1 2 4 2 xxxxx xx x xxx x 06 2 xx 0 2 3 xx 2 3 21 xx 经检验知 x 2 是增根 x 3 是原方程的根 25 2 5 2 3 1 1 3 1 xx 解 2 5 2 1 1 2 x x x x 设 2 51 1 2 y yy x x 则 2 2 1 0 2 12 0252 21 2 yy yy yy 把得y x x y 1 2 2 1 1 代入 3 93 841 4 1 1 2 2 1 1 2 x x xx x x x x 代入中 得2 yy x x 1 2 22 2 63 442 4 1 2 2 1 2 x x xx x x x x 经检验知 均为原方程的根 2 3 21 xx 26 0134 2 xxx 解 01 3 1 xxx 2 1 0 2 1 023 1 3 1 21 2 22 xx xx xx xxx 经检验知 x 2 是增根 x 1 是原方程的根 27 1 1 1 6 1 1 23 xx x xx 解 22 1 61 xxx 125 22 xxxx 2 63 x x 经检验知 x 2 是原方程的根 28 04 1 3 1 2 x x x x 解 设 则 y x x 1 043 2 yy 1 4 0 1 4 21 yy yy 把代入中 则4 1 yy x x 1 23 3 4 44 4 1 x xx x x 把代入中 则1 2 yy x x 1 2 1 12 1 1 1 x x xx x x 经检验知 均为原方程的根 2 1 3 4 21 xx 29 4 9 4 9 1 x x x 解 设 则 y x x 9 4 4 y y 2 0 2 044 21 2 2 yy y yy 把 y 2 代入中 得y x x 9 2 9 x x 3 49 4 9 x xx x x 经检验知 x 3 是原方程的根 30 02222 222 ppxxxx 解 1 令 ypxx 22 2 则原方程变为 0 2 2 22 ppyy 24 0 222 1 4 12 4 2 44 ppppp 1 1 2 1 42 2 p p y 则 y1 p y2 2 p 若原方程没有实数根 只要 0 2 0 p p 解这个不等式组 得 2 p0 把 y1 p 代入 得 ppxx 22 2 而 y2 2 p 0 舍去 将 式平方 整理得 0 2 2 22 ppxx 令 0 1 4 12 4 2 44 222 ppppp 解得 p 1 当时 原方程有两个相等的实数根 1 p 当代入 得 1 p012 2 xx 1 21 xx 经检验 当时 是原方程的根 1 p1 21 xx 31 解 设较长的直角边为 x 则较短的直角边为 x 7 于是有 30 7 7 22 xxxx xxxx2374914 22 22 237 49142xxx 222 41483749142xxxx 032011342 2