轨迹方程的定义范文

轨迹方程的定义范文轨迹方程的定义范文 轨迹方程就是与几何轨迹对应的代数描述 下面是给大家的轨迹方 程的简介 希望能帮到大家 符合一定条件的动点所形成的图形 或者说 符合一定条件的点的 全体所组成的集合 叫做满足该条件的点的轨迹 轨迹 包含两个方面的问题 凡在轨迹上的点都符合给定的条件 这叫做轨迹的纯粹性 也叫做必要性 凡不在轨迹上的点都不符合给 定的条件 也就是符合给定条件的点必在轨迹上 这叫做轨迹的完 备性 也叫做充分性 平面轨迹一般是曲线 空间轨迹一般是曲面 例如 A B是两个定点 k 0 是一个常数 满足MA MB k的动点M 的轨迹 在平面上表示一条直线 k 1 或一个圆周 k 1 在空间内表示一条平面 k 1 或一个球面 k 1 轨迹方程 就是与几何轨迹对应的代数描述 一 求动点的轨迹方程的基本步骤 建立适当的坐标系 设出动点M的坐标 写出点M的集合 列出方程 0 化简方程为最简形式 检验 二 求动点的轨迹方程的常用方法 求轨迹方程的方法有多种 常用的有直译法 定义法 相关点法 参数法和交轨法等 直译法 直接将条件翻译成等式 化简后即得动点的轨迹方程 这种求轨迹方程的方法通常叫做直译法 定义法 如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义 则 可利用曲线的定义写出方程 这种求轨迹方程的方法叫做定义法 相关点法 用动点Q的坐标x y表示相关点P的坐标x0 y0 然后代 入点P的坐标 x0 y0 所满足的曲线方程 化简便得到动点Q轨迹方程 这种求轨迹方程的方法叫做相关点法 参数法 当动点坐标x y之间的直接关系难以找到时 往往先寻 找x y与某一变数t的关系 得再消去参变数t 得到方程 即为动 点的轨迹方程 这种求轨迹方程的方法叫做参数法 交轨法 将两动曲线方程中的参数消去 得到不含参数的方程 即为两动曲线交点的轨迹方程 这种求轨迹方程的方法叫做交轨法 直译法 求动点轨迹方程的一般步骤 建系 建立适当的坐标系 设点 设轨迹上的任一点P x y 列式 列出动点p所满足的关系式 代换 依条件的特点 选用距离公式 斜率公式等将其转化为关于X Y的方 程式 并化简 证明 证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程 典型例题 例1 已知Q点是双曲线上异于二顶点的一动点 F1 F2是双曲线的 左 右焦点 从F2点向 F1QF2的平分线作垂线F2P 垂足为P点 求 P点的轨迹方程 分析 注意图形的几何性质 联想到双曲线的定义 可考虑用定义 法求轨迹方程 解答 如图 连结OP 则由角平分线的性质 得 AQ F2Q 由三角形中位线性质 得 若点Q在双曲线的左支上时 应为 即 P点轨迹方程即为 例2 设动圆C的对称轴平行于坐标轴 长轴长为4 且以y轴为左准 线 左顶点A在抛物线y2 x 1上移动 求这些椭圆的中心C的轨迹方程 分析 A点和C点是一对相关点 设法将A点的坐标用C点坐标表达 用相关点法求C的轨迹方程 解答 设中心C的坐标 x y 则A的坐标为 x 2 y 又A在抛物线y2 x 1上移动 y2 x 2 1 即y2 x 3 此即所求C的轨迹方程 另外 问题也可用参数法求解 左顶点A在抛物线y2 x 1上移动 设A t2 1 t t为参数 y yA t 2a 4 a 2 x xA 2 t2 3 由 消去参数t 得中心C的轨迹方程是y2 x 3 例3 如图 P是抛物线C 上一点 直线l过点P且与抛物线C交于另 一点Q 若直线l与过点P的切线垂直 求线段中点M的轨迹方程 分析 这是xx年全国高考题 福建卷 理科的压轴题 依题意直线l的 方程可用P的横坐标表达 于是选择以P的横坐标为参数 用参数法 求解动点M的轨迹方程 解答 设P x1 y1 M x0 y0 其中x1 0 由 由 过点P的切线的斜率k切 x1 直线l的斜率 直线l的方程为 联立 消去y 得 M为的中点 消去x1 得 中点M的轨迹方程为 另外 此题属 中点弦 的问题 可考虑用 点差法 来处理 探求x0与 x1的关系 设P2 x2 y2 于是由 得 则 将上式代入 并 得 中点M的轨迹方程为 例4 已知常数a 0 在矩形ABCD中 AB 4 BC 4a O为AB的中点 点E F G分别在BC CD DA上移动 且 P为GE与OF的交点 如图 问 是否存在两个定点 使P到这两点的距离的和为定值 若存在 求出 这两点的坐标及此定值 若不存在 请说明理由 分析 这是一道探索性问题 首先求出P点坐标满足的方程 再根据 此判断是否存在两定点 使P到两定点的距离之和为定值 鉴于P为两 直线GE和OF的交点 可用交轨法求解P的轨迹方程 解答 以O为原点 AB所在直线为x轴建立如图的直线坐标系 按题意有A 2 0 B 2 0 C 2 4a D 2 4a 设 0 k 1 由此有E 2 4ak F 2 4k 4a G 2 4a 4ak 直线OF的方程为 2ax 2k 1 y 0 直线GE的方程为 a 2k 1 x y 2a 0 从 消去参数k 得点P x y 坐标满足方程2a2x2 y2 2ay 0 得 当时 点P的轨迹为圆弧 所以不存在符合题意的两点 当时 点P的轨迹为椭圆的一部分 点P到该椭圆焦点的距离和为定 长 当时 点P到椭圆两个焦点的距离之和为定值 当时 点P到椭圆两个焦点的距离之和为定值2a 例5 动直线l过定点A 2 0 且与抛物线y x2 2相交于不同的两点B 和C 点B和C在x轴上的射影分别是B 和C 如图 P是线段BC上的 点 并满足关系式 BP PC BB CC 求POA的重心G的轨 迹方程 分析 本题是一道较复杂的轨迹综合题 动点G的位置取决于P点的 位置 即P是G的相关点 又P在动直线l上 l绕定点A 2 0 而动 依 前所述 选用斜率k为参数较合理 又相应点P在运动时 还要满足 这一比值 这又出现了另一参数 为多元参数 解答 设直线l的斜率为k 显然l与x轴垂直时 l与抛物线不可能有 两个交点 故l的方程为y k x 2 将它与抛物线方程联立 消去y得x2 kx 2 2k 0 此方程有两个不同实根的充要条件是 k2 4 2 2k k2 8k 8 0 解得 或 设B C两点的坐标为 x1 y1 x2 y2 则x1 x2 k x1x2 2 2k 令 设 依定比分点公式 有 设动点G的坐标为 x y 则将 分别代入上式并注意到 可得 消去k得12x 3y 4 0 另外 由可得 代入 得 或 解之得 并注意到y 4 若 因此 POA的重心G的轨迹方程为12x 3y 4 0 其中 它表示一条除去端点及其点的线段 点评 解决本题时 应充分注意所求轨迹方程中y的取值范围 这是 最容易出现失误的 甚至可能发生根本不去求出k的范围 而误认为 所求的轨迹方程为12x 3y 4 0 例6 如图所示 给出定点A a 0 和直线l x 1 B是直线l上的动点 BOA的角平分线交AB于点C 求点C的轨迹方 程 并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系 分析一 借助交轨法和参数法 并利用角平分线上一点到角的两边 的距离相等的性质解题 解答一 依题意 记B 1 b b R 则直线OA和OB的方程分别为y 0或y bx 设点C x y 则有0 x据点到直线的距离公式可得 由于点C在直线AB上 故有 由x a 0 得 将 代入 得 得 若y 0 则 1 a x2 2ax 1 a y2 0 0若y 0 则b 0 AOB 点C的坐标为 0 0 满 足上式 综上得点C的轨迹方程为 1 a x2 2ax 1 a y2 0 0 x 当a 1时 轨迹方程化为y2 x 0 x1时 方程表示双曲线一支的弧段 分析二 借助两倍角的正切公式解题 解答二 如图所示 设D是l与x轴的交点 过点C作CE x E是垂足 当 BD 0时 设点C x y 则0由CE BD 得 COA COB COD BOD COA BOD 又2 COA BOD 得 当 BD 0时 BOA 则点C的坐标为 0 0 满足上式 综合 得点C的轨迹方程为 1 a x2 2ax 1 a y2 0 0以下同解法一 分析三 由于C A B三点在一直线上 而A B在特殊直线上 故可 构造定比分点公式模型解决本题 解答三 设C x y 其中0 x OC平分 AOB 从而 由定比分点公式 即 分别用b2 代入有 化简得 以下同解法一 点评 对于本题给出的三种解法 实质上是分别从三种不同的角度 去审视问题的结果 这同时也表明 即使是一个较难的问题 只要我 们深入地挖掘问题的各种知识背景 就完全有可能找出一个个异彩 纷呈的解法 从而由此提高综合分析问题与解决问题的能力以及增 强解题的创新意识 总之 在解决求解轨迹方程问题时 要重视基该方法的综合运用 要有意识地去观察图形的几何性质 要合理地去选择参数 还应特 别留意轨迹的完备性和纯粹性 巩固练习 一动圆与两圆x2 y2 1和x2 y2 8x 12 0都外切 则动圆圆心轨迹是 A 圆B 椭圆 C 双曲线的一支 D 抛物线 已知点P在直线x 2上移动 直线l通过原点且与OP垂直 通过点A 1 0 及点P的直线m和直线l交于Q 求点Q的轨迹方程 如图 设点A和B为抛物线y 4px p 0 上原点以外的两个动点 已 知OA OB OM AB 求点M的轨迹方程 已知椭圆直线l P是l上一点 射线OP交椭圆于点R 又点Q在OP上 且满足 OQ OP OR 2 当点P在l上移动时 求点Q的轨迹方程 并说明轨迹是什么曲线 参考答案 C x2 y2 4px 0 x 0 点Q的轨迹方程为 其中x y不同时为零 其轨迹是以 1 1 为中心 长短半轴分别为和且长轴与x轴平行的椭圆 去掉坐标原点 数学应用题的解题方法 应用问题是考查应用数学意识和能力的极好题型 它题材贴近生活 涉及知识面广 题型功能丰富 增加应用性与能力性试题是高考 改革的方向 解决实际问题的应用题已成为高考的热点 解答应用问题就是在阅读材料 理解题意的基础上 把实际问题抽 象转化成数学问题 建立相应的数学模型 再利用数学知识对数学 模型进行分析 研究 得到数学答案 然后再把数学答案返回到实 际问题中去 获取具有实际意义的结论 求解数学应用问题的思路 和方法 可以用示意图表示为 下面就应用题常见的数学模型举一些实例 以求开阔同学们的思维 受到一些启示 建立函数模型 例1 某小区欲建一面积为a平方米的矩形绿地 四周有小路 绿地 长边外小路宽为5米 短边外小路8米 如图 绿地长边至多长28米 至少长20米 对于给定的a 300 a 700 怎样设计绿地的长宽使绿 地和小路总占地面积最小 分析 引入长边长为自变量x 建立关于总占地面积的目标函数x 再利用函数性质和不等式知识求解 解答 设绿地的长边为x米 x 0 则短边为米 且 总占地为S平方 米 当且仅当 即时 上式中等号成立 满足等号成立的充要条件为 即250 a 490 又依条件300 a 700 故 当300 a 490 即时 S有最小值 此时长为 宽为米 当490 a 700时 设 这是因为20 x 28 a 490 使得28 x 0 16a 7840 280 x的缘故 因此 当x 28时 S有最小值 并注意到此时 点评 求解函数模型经常要用到不等式的知识 有两点特别值得注 意 一是函数自变量范围应在实际意义下考虑 二是在利用均值不等 式求函数最值时 必须要检验等号是否能够成立 例2 制定投资计划时 不仅考虑可能获得的盈利 而且要考虑可能 出现的亏损 某投资人打算投资甲 乙两个项目 根据预测 甲 乙项目可能的最 大盈利率分别为100 和50 可能的最大亏损率分别为30 和10 投 资人计划投资金额不超过10万元 要求确保可能的资金亏损不超过1 8万元 问投资人对甲 乙两个项目各投资多少万元 才能使可能的 盈利最大 分析 这是今年江苏高考试题 可将总盈利z表达成甲 乙两个项目 的投资额x y的目标函数z x y 问题就转化为在x y约束条件 不等关系 的最值问题 可借助线性规划知识求解 解答 设投资人分别用x万元 y万元投资甲 乙两个项目 由题意知 目标函数z x 0 5y 上述不等式组表示的平面区域如图所示 阴影部分 含边界 即可行 域 作直线l0 x 0 5y 0 并作平行于直线l0的直线x 0 5y z z R 与 可行域相交 其中有一条直线经过可行域上的M点 且与直线x 0 5y 0的距离最大 这里M点是直线x y 10和0 3x 0 1y 1 8交点 解方程组 得x 4 y 6 此时z 4 0 5 6 7 万元 当x 4 y 6时 z取得最大值 答 投资人用4万元投资甲项目 6万元投资乙项目 才能在确保亏 损不超过1 8万元的前提下 使可能的盈利最大 点评 这是一道线性规划问题 是运筹学中最基础的内容 可用中 学知识求解 一般采用的方法有目标函数分析法和图解法 学生在解 决这类问题时的主要困难之处在于不会把约束条件中的多个等式或 不等式与所求目标沟通起来 关于简单线性规划问题 高中数学新 教材中已增加了此项内容 我们在复习过程中应给予一定的重视 建立数列模型 例3 某城市xx年末汽车保有量为30万辆 预计此后每年报废上一年 末汽车保有量的6 并且每年新增汽车数量相同 为保护城市环境 要求该城市汽车保有量不超过60万辆 那么每年新增汽车数量不 应超过多少辆 分析 引入新增汽车数量为数 以各年末的汽车保有量为项建立数 列模型 借助数列知识求解 解答 xx年末汽车保有量为b1万辆 以后各年末汽车保有量依次为b 2万辆 b3万辆 每年新增汽车x万辆 则 b1 30 b2 b1 0 94 x 对于n 1 有bn 1 bn 0 94 x bn 1 0 94x2 1 0 94 x 当 即x 1 8时 bn 1 bn b1 30 当 即x 1 8时 并且数列 bn 逐项增加 可以任意靠近 因此 如果要求汽车保有量不超过60万辆 即bn 60 n 1 2 3 则 即x 3 6 万辆 综上 每年新增汽车不应超过3 6万辆 评注 求数列的通项是解决问题的关键 对于递推式bn 1 bn 0 94 x 也可作如下化归处理 另外还应有一点极限知识才行 例4 为了保护三峡库区的生态环境 凡是坡度在25 以上的坡荒地 都要绿化造林 经初步统计 在三峡库区坡度大于25 的坡荒地面 积约有2640万亩 若从xx年初开始绿化造林 第一年造林120万亩 以后每年比前一年多绿化60万亩 若所有被绿化造林的坡荒地全部绿化成功 问到哪一年底可使库 区的坡荒地全部绿化 若每万亩绿化造林所植树苗的木材量平均为0 1万立方米 每年树 木木材量的自然增长率为20 那么当整个库区25 以上荒地全部绿 化完的那一年底 一共有木材多少万立方米 保留1位小数 1 29 5 16 1 28 4 30 分析 每年绿化面积成一等差数列 某年的造林量所形成的以后各 年的木材量成一等比数列 解答 设a1 120 d 60 第n年后可以使绿化任务完成 则有 解得n 8 故到xx年 可以使库区为25 以上的坡地全部绿化 xx年初造林数量为 a8 120 7 60 540 万亩 设到xx年木材总量为S 依题意有 令 两边乘以1 2得 得 S 6 90 6 543 6 万立方米 答 到xx年底共有木材543 6万立方米 点评 解决与数列有关的应用问题 要仔细弄清题意 搞清是等差 数列还是等比数列的问题 是求某一项还是求和的问题以及项数是 多少等等 然后根据有关结论进行计算证明 建立几何模型 例5 A B C是我方三个炮兵阵地 A在B的正东 相距6km C在B的 北偏西30 方向上 相距4km P为敌炮阵地 某时刻A地发现敌炮阵地 的某种信号 由于B C两地比A地距离P较远 因此4秒钟后 B C才 同时发现这一信号 已知该信号的传播速度为每秒1km A若炮击P地 求炮击的方位角 分析 问题的关键是要确定P点的位置 注意到P点满足的条件 PB PA 4 且 PB PC 联想到双曲线的定义和中垂线的性质 可通 过建立坐标系 用解析几何模型求解 解答 如图 以线段AB的中点为原点 BA所在的直线为x轴建立直角 坐标系 则A 3 0 B 3 0 C 5 PB PA 4 点P在以A B为焦点的双曲线的右支上 该双曲线右支的方程是 又 PB PC 点P在线段BC的垂直平分线上 该直线的方程为 将 代入 得11x2 56x 256 0 得x 8或 舍 于是可得 又 故点P在点A的北偏东30 方向上 即A地炮击P地的方位角是北偏东3 0 例6 现有一放置乒乓球的圆柱形桶 其内径为 cm 高为40cm 则 该桶内最多可放置多少个直径为4cm的乒乓球 分析 要解决本例 需要两个工作 一是计算桶内一层可放置乒乓 球多少个 它应该通过桶的内径与乒乓球的直径 及第一层乒乓球在 底面上的射影等数据与几何特性进行计算 二是计算桶内最多可放置 多少层球 计算第二个问