知识讲解-正弦定理-提高

正弦定理正弦定理 编稿 李霞 审稿 张林娟 学习目标学习目标 1 通过对直角三角形边角间数量关系的研究 发现正弦定理 初步学会运用由特殊到一般的思维方法 发现数学规律 2 会利用正弦定理解决两类解三角形的问题 1 已知两角和任意一边 求其他两边和一角 2 已知两边和其中一边的对角 求另一边的对角 从而求出其它边角 要点梳理要点梳理 要点一 学过的三角形知识要点一 学过的三角形知识 1 中ABC 1 一般约定 中角 A B C 所对的边分别为 ABC abc 2 0 180ABC 3 大边对大角 大角对大边 即 BCbc 等边对等角 等角对等边 即 BCbc 4 两边之和大于第三边 两边之差小于第三边 即 acb acb 2 中 Rt ABC 0 90C 1 0 90BA 2 222 abc 3 sin a A c sin b B c sin1C cos b A c cos a B c cos0C 要点二 正弦定理及其证明要点二 正弦定理及其证明 正弦定理 正弦定理 在一个三角形中各边和它所对角的正弦比相等 即 在一个三角形中各边和它所对角的正弦比相等 即 sinsinsin abc ABC 直角三角形中的正弦定理的推导直角三角形中的正弦定理的推导 证明 证明 sin a A c sin b B c sin1C 即 sin a c A sin b c B sin c c C sinsinsin abc ABC 斜三角形中的正弦定理的推导斜三角形中的正弦定理的推导 证明 证明 法一 向量法法一 向量法 1 当为锐角三角形时ABC 过作单位向量垂直于 则 AjACACCBAB 两边同乘以单位向量 得 jj ACCBj AB 即j ACj CBj AB 0 cos90 cos 90 cos 90 jACjCBCjABA 0j AC 1j CBa ABc cos 90 sinCC cos 90 sinAA AcCasinsin sinsin ac AC 同理 若过作垂直于得 CjCB sinsin bc BC sinsinsin abc ABC 2 当为钝角三角形时ABC 设 过作单位向量垂直于向量 90A AjAC 同样可证得 sinsinsin abc ABC 法二 构造直角三角形法二 构造直角三角形 1 当为锐角三角形时ABC 如图 作边上的高线交于 则 ABCDABD 在中 即 Rt CBD sin CD B a sinCDaB 在中 即 Rt ACD sin CD A b sinCDbA 即 sinsinaBbA sinsin ab AB 同理可证 sinsin bc BC sinsinsin abc ABC 2 当为钝角三角形时ABC 如图 作边上的高线交于 则 ABCDABD 在中 即 Rt CBD sin CD B a sinCDaB 在中 即 Rt ACD sin 180 CD A b sin 180 sin o CDbAbA 即 sinsinaBbA sinsin ab AB 同理可证 sinsin bc BC sinsinsin abc ABC 法三 圆转化法法三 圆转化法 1 当为锐角三角形时ABC 如图 圆 O 是的外接圆 直径为 则 ABC 2ADR CD sinsin 2 c CD R 为的外接圆半径 2 sin c R C RABC 同理 2 sin a R A 2 sin b R B 故 2 sinsinsin abc R ABC 2 当为钝角三角形时ABC 如图 sinsinsin 2 a AEF R 法四 面积法法四 面积法 任意斜中 如图作 则ABC CHAB sinCHACA 111 sinsin 222 ABC SAB CHAB ACAbcA 同理 1 sin 2 ABC SabC 1 sin 2 ABC SacB 故 111 sinsinsin 222 ABC SabCacBbcA 两边同除以abc 2 1 即得 sinsinsin abc ABC 要点诠释 要点诠释 1 正弦定理适合于任何三角形 2 可以证明 为的外接圆半径 灵活利用正弦定理 还需2 sinsinsin abc R ABC RABC 知道它的几个变式 比如 sin sin sina b cABC sinsin sinsinaBbA bCcB 等等 sinsincAaC 要点三 利用正弦定理解三角形要点三 利用正弦定理解三角形 一般地 我们把三角形的各内角以及它们所对的边叫做三角形的几何元素 任何一个三角形都有六个 元素 三边和三角 在三角形中 由已知三角形的某些边和角 求其他的边和角的过程叫作解三角形解三角形 利用正弦定理 可以解决以下两类有关三角形的问题 利用正弦定理 可以解决以下两类有关三角形的问题 1 已知两角和一边 求其他两边和一角 2 已知两边和其中一边的对角 求另一边的对角 然后再进一步求出其他的边和角 要点诠释 要点诠释 已知 a b 和 A 用正弦定理求 B 时的各种情况 1 若 A 为锐角时 absinA absinA bsinAab ab 无解 一解直角 二解一锐 一钝 一解锐角 如图 2 若 A 为直角或钝角时 ab ab 无解 一解锐角 判断三角形形状判断三角形形状 判断三角形形状的思路通常有以下两种 1 化边为角 2 化角为边 对条件实施转化时 考虑 角的关系 主要有 1 两角是否相等 2 三个角是否相等 3 有无直角 钝角 考查边的关系 主要 有 1 两边是否相等 2 三边是否相等 要点诠释 要点诠释 对于求解三角形的题目 一般都可有两种思路 但要注意方法的选择 同时要注意对解 的讨论 从而舍掉不合理的解 比如下面例 2 两种方法不同 因此从不同角度来对解进行讨论 此外 有的时候还要对边角关系 例如 大边对大角 进行讨论从而舍掉不合理的解 典型例题典型例题 类型一 类型一 正弦定理的简单应用 正弦定理的简单应用 高清课堂 高清课堂 正弦定理 例 1 例例 1 已知在中 求和 B ABC 10c 45A 30C a b 思路点拨 本题考查正弦定理及特殊角的三角函数值 三角形中边与角的对应关系等 由正弦定理 列出边 a 满足的方程 再根据三角形内角和来确定角 B 的值 解析 sinsin ac AC sin10 sin45 10 2 sinsin30 cA a C 180 105BAC 又 sinsin bc BC sin10 sin10562 20sin75205 65 2 sinsin304 cB b C 总结升华 1 正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题 2 数形结合将已知条件表示在示意图形上 可以清楚地看出已知与求之间的关系 从而恰当地选择 解答方式 举一反三 举一反三 变式 1 在中 已知 求 ABC 0 75B 0 60C 5c aA 答案 00000 180 180 7560 45ABC 根据正弦定理 5 sin45sin60 oo a 5 6 3 a 变式 2 在中 若 则等于 ABC Abasin23 B A B C 或 D 或 30 60 30 150 60 120 答案 由可得 由正弦定理可知 故可得 Abasin23 2 3sin b A a B b A a sinsin 2 3 sin B 故或 故选 B B 60 120 变式 3 中 BC 3 则的周长为 ABC 3 AABC A B C D 3 3 sin34 B3 6 sin34 B3 3 sin6 B3 6 sin6 B 答案 由正弦定理得 3 2 sinsinsinsin sinsinsin 33 bcbcbc BCBC BB 得 b c sinB sin B 2 3 2 3 6sin 6 B 故三角形的周长为 3 b c 故选 D 3 6 sin6 B 例例 2 已知下列三角形的两边及其一边的对角 判断三角形的情况 有解的作出解答 1 a 7 b 9 A 100 2 a 10 b 20 A 75 00 3 a 10 c 5 C 60 4 a 26 00 30A6b3 思路点拨 已知三角形两边及其中一边的对角求解三角形的有可能有两种情况 具体有几解可以借 助于要点梳理中要点三中的方法解决 解析 1 本题无解 0 100 9 7 Ababa 2 本题无解 sin31060sin2075sin20sin 00 AbaAb 3 本题有一个解 Cacasin 3560sin 0 利用正弦定理 可得 000 sin5 32 sin45 180 75 25 6 aC BBABC c 62 10 sin 4 5 31 sin2 2 aA b B 4 本题有两解 AbaAbAbabasin330sin6sin 9030 6 32 000 又 由正弦定理得 120 60 2 3sin sin 0 2 0 1 BB a Ab B 当 32C120B 3490C60 2 0 21 0 1 0 1 时 当 时 cB 综上所述 3230C120B 3490C60 2 0 2 0 21 0 1 0 1 ccB 总结升华 已知三角形两边及其中一边的对角求解三角形的有可能有两种情况 具体方法可以借助于下了表格 A 为钝角A 为直角A 为锐角 a b 一解一解一解 a b 无解无解一解 a bsinA 两解 a bsinA 一解 a b 无解无解 A bsinA 无解 举一反三 举一反三 变式 1 在中 求 ABC 60B 14a 7 6b A 答案 由正弦定理 得 2 2 67 60sin14sin sin 0 b Ba A 即 ab AB 060A 45A 变式 2 在 求和 3 60 1ABCbBc 中 aAC 答案 由正弦定理得 sinsin bc BC sin1 sin601 sin 23 cB C b 方法一 或 0180C 30C 150C 当时 舍去 150C 210180BC 当时 30C 90A 22 2abc 方法二 bc 60B CB 即为锐角 60C C30C 90A 22 2abc 高清课堂 高清课堂 正弦定理 例 3 变式 3 在中 求和 ABC 6c 45A 2a b B C 答案 sinsin ac AC sin6sin453 sin 22 cA C a 或0180C 60C 120C 当时 60C 75B sin6sin75 31 sinsin60 cB b C 当时 120C 15B sin6sin15 31 sinsin60 cB b C 所以 或 31 75 60bBC 31 15 120bBC 类型三 利用正弦定理判断三角形的形状类型三 利用正弦定理判断三角形的形状 例例 3 根据下列条件 判定的形状 ABC 1 coscos 2 coscoscos abc aAbB ABC 思路点拨 利用正弦定理将边化成角 分析角之间的关系 再利用正弦定理将角化为边 进而判 断三角形的形状 解析 1 由正弦定理得 2 sincos2 sincos 2sincos2sincossin2sin2 2222 2 RAARBB AABBAB ABABABAB 或或 故是等腰三角形或直角三角形ABC 2 由正弦定理得2 sin 2 sin 2 sinaRA bRB cRC 2 sin2 sin2 sin coscoscoscoscoscos tantantan 0 3 abcRARBRC ABCABC ABC ABCABC 故是等边三角形ABC 总结升华 已知三角形中的边角关系式 判断三角形的形状 有两条思路 其一化边为角 再进行三角恒等变 换求出三个角之间的关系式 其二化角为边 再进行代数恒等变换求出三条边之间的关系式 举一反三 举一反三 变式 1 在中 若 试判断的形状 ABC 22 tantanaBbA ABC 答案 由及已知条件可得 22 22 sin sin aA bB 2 2 sinsincos sincossin AAB BAB 为三角形的内角 A B sin0 sin0AB BA2sin2sin 或 BABA2222 或AB 2 AB 所以为等腰三角形或直角三角形 ABC 变式 2 在 ABC 中 试判断三角形的形状 coscosbAaB 答案 利用正弦定理将边转化为角 又 coscosbAaB 2 sin 2 sinbRB aRA 2RsinBcosA 2RsinAcosBsinAcosB cosAsinB 0 0 sin BA 0 A B A B 即 0 BABA 故此三角形是等腰三角形 类型四 利用正弦定理求三角形的面积类型四 利用正弦定理求三角形的面积 例例 4 在中 角的对边分别为 ABC A B C 3 a b c B 4 cos 3 5 Ab I 求的值 sinC 求的面积 ABC 思路点拨 先利用三角形内角和求出 C 的正弦值 再利用正弦定理求边 进而求三角形的面积 解析 因为 A B C 为 ABC 的内角 且 3 B 4 cos 5 A 所以 2 3 CA 3 sin 5 A 于是 23134 3 sinsincossin 32210 CAAA 由 知 3 sin 5 A 34 3 sin 10 C 又因为 所以在 ABC 中 由正弦定理 得 3 B 3b sin6 sin5 bA a B 于是 ABC 的面积 11634 3369 3 sin3 2251050 SabC 总结升华 求三角形面积 应根据已知条件选择合适的计算方法 以减少计算量 若已知三角形的两边 则可求 其夹角 然后利用求解 111 sinsinsin 222 SabCbcAacB 举一反三 举一反三 变式 在 ABC 中 已知 求的面积 30A 8 8 3ab ABC 答案 由 得 sinsin ab AB sinsin b BA a 8 33 sinsin30 82 B 又 即 8 3 sin3088 3 sinbAab 所以三角形的解有两种情况 3 sin 601209030 2 BBC 或 或 或 11 sin8 8 3 sin9032 3 22 SabC o 11 sin8 8 3 sin3016 3 22 SabC o 故的面积的面积为或 ABC 32 316 3 类型五 正弦定理的综合运用类型五 正弦定理的综合运用 例例 5 5 如图 D 是直角 ABC 斜边 BC 上一点 AB AD 记 CAD ABC 1 证明 sin cos 2 0 2 若