函数的奇偶性与周期公式推导方法

1 函数的奇偶性与周期公式推导方法函数的奇偶性与周期公式推导方法 一 奇函数 偶函数一 奇函数 偶函数 对于函数 其定义域关于原点对称 xf 1 对于函数的定义域内任意一个 x 都有 f x f x 或 f x xf f x 0 则称为奇函数 xf 2 对于函数的定义域内任意一个 x 都有 f x f x 或 f x f x xf 0 则称为偶函数 xf 二 判断函数的奇偶性二 判断函数的奇偶性 1 定义法 判断有解析式的函数的奇偶性 例例 1 判断下列函数的奇偶性 判断下列函数的奇偶性 1 f x x 1 x 1 2 f x 1 x 1 1 x x 3 4 2 1 2 2 x f x x 1 0 1 0 xxx f x xxx 剖析 根据函数奇偶性的定义进行判断 解 解 1 函数的定义域 x 对称于原点 f x x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 f x f x x 1 x 1 是奇函数 先确定函数的定义域 由 0 得 1 x 1 其定义域不对称于原点 所以 1 1 x x 既不是奇函数也不是偶函数 xf 解 函数定义域 1 x 1 1 1 1 x f xx x 1 1 1 x f xx x 22 1 1 1 1 x xx x 2 22 1 1 fxxxf x 是偶函数 1 1 1 x f xx x 3 去掉绝对值符号 根据定义判断 由得 02 2 01 2 x x 4 0 11 xx x 且 故 f x 的定义域为 1 0 0 1 关于原点对称 且有 x 2 0 从而有 f x 这时有 f x f x 2 1 22 x x 2 1x x 2 1 x x 2 1x x 故 f x 为奇函数 4 函数 f x 的定义域是 0 0 并且当 x 0 时 x 0 f x x 1 x x 1 x f x x 0 当 x 0 时 x 0 f x x 1 x f x x 0 故函数 f x 为奇函数 评述 1 分段函数的奇偶性应分段证明 2 判断函数的奇偶性应先求定义域再化 简函数解析式 证明抽象函数的奇偶性 例例 2 已知 f x 是定义在 R 上的不恒为零的函数 且对于任意的 a b R 都满足 f a b af b bf a 求 f 0 f 1 的值 2 判断 f x 的奇偶性 并证明你的结论 分析 应用公式 f a b af b bf a 取 a b 的一些特殊的值进行计 算 解 1 f 0 f 0 0 0 f 0 0 f 0 0 由 f 1 f 1 1 1 f 1 1 f 1 得 f 1 0 2 f x 是奇函数 证明 因为 f 1 f 1 2 f 1 f 1 0 所以 f 1 0 f x f 1 x f x xf 1 f x 因此 f x 为奇函数 3 点评 研究抽象函数的奇偶性 应紧紧围绕题目所给的抽象函数的性质进行研 究 如果觉得所给抽象函数的性质符合某些已知函数 如二次函数等 的性质 可以用 已知函数替代抽象函数进行思考 探索求解思路 例例 3 定义在区间上的函数满足 对任意的 1 1 yx 都有 1 1 xf 求证 为奇函数 1 xy f xf yf xy f x 思路点拨 欲证明为奇函数 就要证明 但这是抽象函数 应设 f x fxf x 法充分利用条件 对任意的 1 1 yx 都有 中的 yx 进行合 1 xy f xf yf xy 理 赋值 解析 令 x y 0 则 f 0 f 0 f 0 00 10 f f 0 0 令 x 1 1 x 1 1 f x f 2 1x xx f 0 0 xf f x f x 在 1 1 上为奇函数 f x 点评 对于抽象函数的奇偶性问题 解决的关键是巧妙进行 赋值 而抽象函数 的不等式问题 要灵活利用已知条件 尤其是 f x1 f x2 f x1 f x2 奇偶函数的性质及其应用奇偶函数的性质及其应用 1 奇偶函数图象的对称性 1 奇函数的图象关于原点对称 偶函数的图象关于轴对称 y 2 若 xafy 是偶函数 xf 的图象关于直线 ax 对称 xafxaf 4 若 xbfy 是奇函数 xf 的图象关于点 0 b 中心对 xbfxbf 称 例 例 若函数在上为减函数 且对任意的 有 则 xf 4 Rx 4 4 xfxf A B C D 3 2 ff 5 2 ff 5 3 ff 6 3 ff 2 1 偶函数的和 差 积 商 分母不为 0 仍为偶函数 2 奇函数的和 差仍为奇函数 奇数 偶数 个奇函数的积 商 分母不为 0 为奇 偶 函数 4 奇函数与偶函数的积为奇函数 5 定义在 上的任意函数都可以唯一表示成一个奇函数与一个 xf 偶函数之和 1 若 xf 是奇函数且在 0 x 处有定义 则 0 0 f 逆否命题可判断一个函数不 是奇函数 2 奇函数的反函数也为奇函数 3 若 0 xf 则 xf 既是奇函数又是偶函数 若 0 mmxf 则 xf 是偶 函数 函数的周期性函数的周期性 1 定义 对于函数 如果存在一个非零常数T 使得定义域内的每一个x值 都 f x 满足 xfTxf 那么函数就叫做周期函数 非零常数T叫做这个函数的周期 f x 周期性不仅仅是三角函数的专利 抽象函数的周期性是高考热点 主要难点是抽象 函数周期的发现 主要有几种情况 2 抽象函数的周期 1 若函数满足 则的周期是 xf xbfxaf ba xf Tba 2 若函数满足 则的周期是 xf xbfxaf ba xf 2Tba 3 若函数满足 则的周期是 xf1 xbfxaf ba xf 2Tba 5 4 函数图象有 ax babx 两条对称轴型 即 f xa f ax f bx 则的周期是 f bx f x2Tba 5 函数满足 则的周期是 f x 1 1 f xa f xaab f xb f x2Tba 证明 1 2 对于定义域中任意x满足 0 baxbfxaf 则有 22 xfabxf 故函数 xf 的周期是 2abT 3 若 1 babxfaxf 则得 22 2 2 abaxfaxf 所以函数 xf 的周期是 abT22 同理若 1 babxfaxf 则 xf 的周期是 2abT 4 函数图象有 ax babx 两条对称轴 即 xafxaf xbfxbf 从而得 22 xfabxf 故函数 xf 的周期是 2abT 5 由 1 1 ba bxf bxf axf 得 2 1 2 bxf axf 进而得 1 2 2 bxfaxf 由前面的结论得 xf 的周期是 4abT 例 例 已知定义在R上的偶函数 f x 满足 2 1f xf x 对于x R 恒成立 且 0f x 则 119 f 解析 由 2 1f xf x 得到 1 2 xf xf 从而得 4 xfxf 可见 xf 是以 4 为周期的函数 从而 3 3294 119 fff 又由已知等式得 1 1 3 f f 又由 f x 是R上的偶函数得 1 1 ff 又在已知等式中令 1 x 得 1 1 1 ff 即 1 1 f 所以 1 119 f 例 例 已知定义在 R 上的奇函数 f x 满足 f x 2 f x 则 f 6 的值为 A 1 B 0 C 1 D 2 6 函数的周期公式推导步骤及习题 f x a f x f x a f x a 这几个式子的周期为什么是这几个式子的周期为什么是 2a 1 f x 1 f x 1 f x a f x 2 f x a 1 f x 3 f x a 1 f x 4 f x a f x 1 f x 1 5 f x a f x a 1 f x 1 f x 6 f x a f x a f x a 这几个式子的周期为什么是 2a 推导步骤如下推导步骤如下 1 f x a f x 1 两边 x 用 x a 代 左边 f x 右边 f x a 2 把 2 带入 1 得 f x a f x f x a 即 f x a f x a x 用 x a 代得 f x f x 2a 所以周期是 2a 这类的题目都是 x 用另一个函数带 只要最后是 f x f x 周期 7 习题练习 1 已知 f x 在 R 上是奇函数 且满足 f x 4 f x 当x 0 2 时 f x 2x2 则 f 7 A 2 B 2 C 98 D 98 2 设定义在 R 上的函数 f x 满足 f x f x 2 13 若