2012年高考数学二轮专题测试 解析几何 理

用心 爱心 专心 1 解析几何解析几何 专题测试专题测试 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 1 过两点 1 1 和 0 3 的直线在x轴上的截距为 A B 3 2 3 2 C 3 D 3 解析 由两点式 得 y 3 1 3 x 0 1 0 即 2x y 3 0 令y 0 得x 3 2 即在x轴上的截距为 3 2 答案 A 2 与直线x y 4 0 和圆x2 y2 2x 2y 0 都相切的半径最小的圆的方程是 A x 1 2 y 1 2 2 B x 1 2 y 1 2 4 C x 1 2 y 1 2 2 D x 1 2 y 1 2 4 解析 圆x2 y2 2x 2y 0 的圆心为 1 1 半径为 过圆心 1 1 与直线 2 x y 4 0 垂直的直线方程为x y 0 所求的圆的圆心在此直线上 排除A B 圆心 1 1 到直线x y 4 0 的距离为 3 则所求的圆的半径为 故选 C 6 222 答案 C 3 双曲线mx2 y2 1 的虚轴长是实轴长的 2 倍 则m等于 A B 4 1 4 C 4 D 1 4 解析 双曲线方程化为标准形式 y2 1 则有 a2 1 b2 x2 1 m 1 m 2a 2 2b 2 2 2 2 m 1 m 1 m 1 4 答案 A 4 2011 年青岛质检 以坐标轴为对称轴 原点为顶点且过圆x2 y2 2x 6y 9 0 圆 心的抛物线方程是 A y 3x2或y 3x2 B y 3x2 C y2 9x或y 3x2 D y 3x2或y2 9x 用心 爱心 专心 2 解析 x2 y2 2x 6y 9 0 x 1 2 y 3 2 1 圆心 1 3 故选 D 答案 D 5 2011 年北京海淀区期末 若直线l与直线y 1 x 7 分别交于点P Q 且线段PQ 的中点坐标为 1 1 则直线l的斜率为 A B 1 3 1 3 C D 3 2 2 3 解析 依题意 设点P a 1 Q 7 b 则有Error 解得a 5 b 3 从而可知直线 l的斜率为 选 B 3 1 7 5 1 3 答案 B 6 2011 年福建高考 若点O和点F分别为椭圆 1 的中心和左焦点 点P为椭 x2 4 y2 3 圆上的任意一点 则 的最大值为 OP FP A 2 B 3 C 6 D 8 解析 由椭圆 1 可得点F 1 0 点O 0 0 设P x y 2 x 2 x2 4 y2 3 则 x2 x y2 x2 x 3 1 x2 x 3 x 2 2 2 当且仅当x 2 时 OP FP x2 4 1 4 1 4 取得最大值 6 OP FP 答案 C 7 2011 年济南 已知点P在焦点为F1 F2的椭圆上运动 则与 PF1F2的边PF2相切 且与边F1F2 F1P的延长线相切的圆的圆心M一定在 A 一条直线上 B 一个圆上 C 一个椭圆上 D 一条抛物线上 解析 设 M与F1F2的延长线切于M1点 与F1P的延长线切于M2点 与PF2切于Q 点 PF1 PF2 PF1 PQ QF2 PF1 PM2 F2M1 F1M2 F2M1 F1F2 F2M1 F2M1 F1F2 2 F2M1 定值 又 F1F2 定值 F2M1 为定值 由此可知M 点在一条直线上 故选 A 答案 A 用心 爱心 专心 3 8 2011 年东北三校联考 已知双曲线 1 过其右焦点F的直线交双曲线于 x2 9 y2 16 P Q两点 PQ的垂直平分线交x轴于点M 则的值为 MF PQ A B 5 3 5 6 C D 5 4 5 8 解析 采用特殊值法 右焦点 5 0 设PQ的斜率为 1 联立Error 得 7x2 90 x 369 0 x1 x2 x1x2 90 7 369 7 PQ 1 1 x1 x2 2 192 7 中点 中垂线y x 45 7 80 7 80 7 45 7 Error x 125 7 M 0 MF 125 7 160 7 故选 B MF PQ 5 6 答案 B 9 2011 年广西百所重点中学阶段检测 抛物线C y2 2px p 0 的焦点为F 准线为 l 点P在抛物线C上 若点P到l的距离等于点P与坐标原点O的距离 则 tan POF等于 A 3 B 2 C D 2 22 解析 设P xP yP 由题易知 PO PF xP 得yP tan POF 2 p 4 p 2 p 2 p 4 2 答案 D 11 2011 年福州质检 已知F1 F2为椭圆 1 的左 右焦点 若M为椭圆上一点 x2 25 y2 16 且 MF1F2的内切圆的周长等于 3 则满足条件的点M有 个 A 0 B 1 C 2 D 4 用心 爱心 专心 4 解析 MF1 MF2 11 F1 3 0 F2 3 0 F1F2 6 设内切圆半径为r 则 2 r 3 r 3 2 16 F1F2 yM yM 4 3 2 M点有两个 即 短轴的端点 故选 C 答案 C 11 2011 年湖北八市 3 月调考 已知F1 F2分别是双曲线 1 a 0 b 0 的左 x2 a2 y2 b2 右焦点 以坐标原点O为圆心 OF1为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为P 则当 PF1F2的面积等于a2时 双曲线的离心率为 A B 23 C D 2 6 2 解析 设F1 c 0 F2 c 0 F1F2 2c Error S PF1F2 a2 yP2 2c yP 2 b4 a2 b2 b4 c2 c a2 a2 b2 b2 c 此双曲线为等轴双曲线 e 2 答案 A 12 2011 年重庆第一次诊断 已知椭圆 1 的左 右焦点分别为F1 F2 过点F1 x2 4 y2 2 且倾斜角为 45 的直线l交椭圆于A B两点 以下结论 ABF2的周长为 8 原点O 到直线l的距离为 1 AB 其中正确结论的个数为 8 3 A 3 B 2 C 1 D 0 解析 依题意得 AB AF2 BF2 AF1 BF1 AF2 BF2 AF1 AF2 BF1 BF2 8 即 ABF2的周长是 8 易知点F1 0 故直线l的方程是 2 y x 即x y 0 则原点O到直线l的距离是 1 联立Error 得 22 2 2 3x2 4x 0 解得x1 0 x2 故 AB 2 4 2 3 1 12 0 4 2 3 2 8 3 答案 A 二 填空题 本大题共 4 小题 每题 5 分 共 20 分 把答案填在题中横线上 13 2011 年昆明 过点P 0 2 的直线和抛物线y2 8x交于A B两点 若线段AB的中 点横坐标为 2 则弦AB的长为 用心 爱心 专心 5 解析 设A x1 y1 B x2 y2 线段AB的中点为M 则M 2 y1 y2 2 由Error 相减得 y1 y2 y1 y2 8 x1 y2 即kAB 又kAB kMP y2 y1 x2 x1 8 y2 y1 设y1 y2 2m 则 即m2 2m 8 0 得m 4 或m 2 即M 2 4 或 y1 y2 2 2 2 0 4 m m 2 2 M 2 2 显然M 2 4 在抛物线上 不合题意 舍去 M 2 2 得 kAB 2 lAB y 2x 2 由Error 消去y 得x2 4x 1 0 于是 AB x1 x2 2 1 2 25 x1 x2 2 4x1x2542 415 答案 2 15 14 2010 年重庆高考 已知以F为焦点的抛物线y2 4x上的两点A B满足 3 AF FB 则弦AB的中点到准线的距离为 解析 依题意 设直线AB的方程是x my 1 A x1 y1 B x2 y2 则由Error 消去x 得y2 4 my 1 y2 4my 4 0 所以y1 y2 4m y1y2 4 又 3 于是有 0 AF FB y1 3y2 1 3 y1 3y2 y22 4m 2 y1 y2 2 4y22 弦AB的中点到准线的距离等于 4 3 16 3 1 1 1 1 1 x1 x2 2 y12 y22 8 y1 y2 2 2y1y2 8 16m2 8 8 16 3 8 8 8 3 答案 8 3 15 2011 年江南十校联考 设F1 F2分别是椭圆 1 的左 右焦点 P为椭圆上 x2 25 y2 16 任一点 点M的坐标为 6 4 则 PM PF1 的最大值为 解析 PF1 PF2 11 PF1 11 PF2 PM PF1 11 PM PF2 易知M点在椭圆外 连结MF2并延长交椭圆于P点 此时 PM PF2 取最大值 MF2 故 PM PF1 的最大值为 11 MF2 11 15 6 3 2 42 答案 15 16 2011 年江苏省苏州六校联合高三调研考试 直线x t过双曲线 1 的右焦 x2 a2 y2 b2 点且与双曲线的两条渐近线分别交于A B两点 若原点在以AB为直径的圆内 则双曲线离 心率的取值范围是 解析 由题意 当原点恰好在圆上时 双曲线的两条渐近线相互垂直 此时 双曲线的 离心率为 若原点在圆内 则双曲线的离心率大于 22 答案 2 三 解答题 本大题共 6 小题 共 70 分 17 题 11 分 18 22 题 每题 12 分 解答应 用心 爱心 专心 6 写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 求经过 7x 8y 38 及 3x 2y 0 的交点且在两坐标轴上截得的截距相等的直线方 程 解 易得交点坐标为 2 3 设所求直线为 7x 8y 38 3x 2y 0 即 7 3 x 8 2 y 38 0 令x 0 y 令y 0 x 38 8 2 38 7 3 由已知 38 8 2 38 7 3 即所求直线方程为x y 5 0 1 5 又直线方程不含直线 3x 2y 0 而当直线过原点时 在两轴上的截距也相等 故 3x 2y 0 亦为所求 18 设圆上的点A 2 3 关于直线x 2y 0 的对称点仍在圆上 且与直线x y 1 0 相 交的弦长为 2 求圆的方程 2 解 设所求圆的圆心为 a b 半径为r 点A 2 3 关于直线x 2y 0 的对称点A 仍在这个圆上 圆心 a b 在直线x 2y 0 上 a 2b 0 2 a 2 3 b 2 r2 又直线x y 1 0 截圆所得的弦长为 2 2 r2 2 2 a b 1 22 解由方程 组成的方程组得 Error 或Error 所求圆的方程为 x 6 2 y 3 2 52 或 x 14 2 y 7 2 244 19 2011 年北京海滨区期末 已知抛物线W y ax2经过点A 2 1 过A作倾斜角互补 的两条不同的直线l1 l2 1 求抛物线W的方程及其准线方程 2 设直线l1 l2分别交抛物线W于B C两点 均不与A重合 若以线段BC为直径的圆 与抛物线的准线相切 求直线BC的方程 解 1 由于点A 2 1 在抛物线W y ax2上 所以 1 4a 即a 故所求抛物线W的 1 4 方程为y x2 其准线方程为y 1 1 4 用心 爱心 专心 7 2 不妨设直线AB的方程为y 1 k x 2 k 0 由Error 得x2 4kx 8k 4 0 解得x 2 或x 4k 2 所以点B的坐标为 4k 2 4k2 4k 1 易知直线BC的斜率为 k 故同理可得点C的坐标为 4k 2 4k2 4k 1 所以 BC 4k 2 4k 2 2 4k2 4k 1 4k2 4k 1 2 8k 8k 2 8k 22 线段BC的中点坐标为 2 4k2 1 因为以BC为直径的圆与准线y 1 相切 所以 4k2 1 1 4k 由于k 0 解得k 2 2 2 此时 点B的坐标为 2 2 3 2 点C的坐标为 2 2 3 2 2222 故直线BC的斜率为 1 3 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 所以 直线BC的方程为y 3 2 x 2 2 即x y 1 0 22 20 2011 届上海春招改编 已知抛物线F x2 4y 1 ABC的三个顶点在抛物线F上 记 ABC的三边AB BC CA所在直线的斜率分别 为kAB kBC kCA 若点A在坐标原点 求kAB kBC kCA的值 2 请你给出一个P 2 1 为顶点 且其余各顶点均为抛物线F上的动点的多边形 写出 多边形各边所在直线的斜率之间的关系式 并说明理由 解 1 设B x1 y1 C x2 y2 x12 4y1 x22 4y2 kAB kBC kCA y1 x1 y2 y1 x2 x1 y2 x2 x1 x1 x2 x2 0 1 4 1 4 1 4 2 研究 PBC kPB kBC kCP yB yP xB xP yC yB xC xB yP yC xP xC xP xB 4 xB xC 4 xC xP 4 1 xP 2 研究四边形PBCD kPB kBC kCD kDP 0 xP xB 4 xB xC 4 xC xD 4 xD xP 4 用心 爱心 专心 8 研究五边形PBCDE kPB kBC kCD kDE kEP xP xB 4 xB xC 4 xC xD 4 xD xE 4 xE xP 4 1 xP 2 研究n 2k边形P1P2 P2k k N N k 2 其P1 P 有kP1P2 kP2P3 kP3P4 1 2k 1kP2kP1 0 证明 左边 xP1 xP2 xP2 xP3 1 2k 1 xP2k xP1 1 1 1 4 1 4 1 4 xP1 4 2k 1 0 右边 1 1 2k 1 2 研究n 2k 1 边形P1P2 P2k 1 k N N k 2 其中P1 P 有kP1P2 kP2P3 kP3P4 1 2k 2kP2k 1P1 1 证明 左边 xP1 xP2 xP2 xP3 1 2k 1 xP2k 1 xP1 1 4 1 4 1 4 1 1 2k 1 1 1 右边 xP1 4 1 1 2k 1 1 2 研究n边形P1P2 Pn n N N n 3 其中P1 P 有kP1P2 kP2P3 kP3P4 1 n 1kPnP1 1 1 n 1 2 证明 左边 xP1 xP2 xP2 xP3 1 n 1 xPn xP1 1 1 n 1 1 4 1 4 1 4 xP1 4 右边 1 1 n 1 2 21 2011 年湖南十二校联考 已知双曲线G的中心在原点 它的渐近线与圆 x2 y2 11x 20 0 相切 过点P 4 0 作斜率为 的直线l 使得l和G交于A B两点 1 4 和y轴交于点C 并且点P在线段AB上 又满足 PA PB PC 2 1 求双曲线G的渐近线的方程 2 求双曲线G的方程 3 椭圆S的中心在原点 它的短轴是G的实轴 如果S中垂直于l的平行弦的中点的 轨迹恰好是G的渐近线截在S内的部分 求椭圆S的方程 解 1 设双曲线G的渐近线的方程为y kx 则由渐近线与圆x2 y2 11x 20 0 相切可得 5k k2 15 所以k 即双曲线G的渐近线的方程为y x 1 2 1 2 2 由 1 可设双曲线G的方程为x2 4y2 m 把直线l的方程y x 4 代入双曲线方程 1 4 用心 爱心 专心 9 整理得 3x2 8x 16 4m 0 则xA xB xAxB 8 3 16 4m 3 PA PB PC 2 P A B C共线且P在线段AB上 xP xA xB xP xP xC 2 即 xB 4 4 xA 16 整理得 4 xA xB xAxB 32 0 将 代入上式得m 28 双曲线的方程为 1 x2 28 y2 7 3 由题可设椭圆S的方程为 1 a 2 x2 28 y2 a27 设垂直于l的平行弦的两端点分别为M x1 y1 N x2 y2 MN的中点为P x0 y0 则 1 1 x12 28 y12 a2 x22 28 y22 a2 两式作差得 0 x1 x2 x1 x2 28 y1 y2 y1 y2 a2 由于 4 x1 x2 2x0 y1 y2 2y0 y1 y2 x1 x2 所以 0 x0 28 4y0 a2 所以 垂直于l的平行弦中点的轨迹为直线 0 截在椭圆S内的部分 x 28 4y a2 又由已知 这个轨迹恰好是G的渐近线截在S内的部分 所以 即a2 56 故椭 a2