2012高考数学最后冲刺 排列、组合、二项式定理

用心 爱心 专心 1 最后冲刺最后冲刺 高考预测 1 正确运用两个基本原理 2 排列组合 3 二项式定理 4 在等可能性事件的概率中考查排列 组合 5 利用二项式定理解决三项以上的展开式问题 6 利用二项式定理证明不等式 易错点易错点 1 1 正确运用两个基本原理正确运用两个基本原理 1 2012 精选模拟 已知集合 A B 1 2 3 4 5 6 7 映射 f A B 满足 f 1 f 2 f 3 f 4 则这样的映射 f 的个数为 A C47A33 B C47 C 77 D C7473 错误解答 f 1 f 2 f 3 f 4 且 f 1 f 2 f 3 2n 3 n2 3n 8 n2n n 2n 1 2 1 nn 2n 2 2n 3 8 4n n2 n 2n 3 n2 3n 8 知识导学知识导学 难点难点 1 1 在等可能性事件的概率中考查排列 组合在等可能性事件的概率中考查排列 组合 1 A B C D E 五人站成一圈传球 每人只能把球传给他的邻人 A 传出 算第一 次 后经 10 次传球又回到 A 的概率为 256 63 512 127 1024 3 256 1 DCBA 位 其他班有 5 位 若采用抽签方式确定他们的演讲顺序 则一班有 3 位同学恰好被排在一 起 而二班的 2 位同学没有被排在一起的概率为 120 1 40 1 20 1 10 1 DCBA 解析 基本事件总数为 A1010 而事件 A 包括的可能实际上就是排列中的相邻与不相 邻问题 按 捆绑法 与 插空法 求解 答案 10 个人的演讲顺序有 A1010种可能 即基本事件总数为 A1010 一班同学被排在 一起 二班的同学没有被排在一起这样来考虑 将一班的 3 位同学当作一个元素与其他班的 5 位同学一起排列有 A66种 考虑这 3 位同学之间的顺序 不同的排法有 A66 A33 A27种 用心 爱心 专心 9 所求概率为 20 1 10 10 7 2 3 3 6 6 A AAA 选 B 3 9 支足球队参加一地区性足球预选赛 将这 9 支球队任意地均分为 3 组 则 A B 两 个 冤家队 恰好分在同一组的概率为 9 2 6 1 4 1 3 1 DCBA 解析 可以选将 3 组取名为甲 乙 丙加以区分 后用排列 组合 概率的知识解 之 也可以先锋将 A 安排好 再安排 B 来解 答案 解法一 将 9 支球队任意地均分为甲 乙 丙 3 组有 C39C36 C33种分法 而 A B 两队可在 3 组之一 选定某组后再从其它 7 队中任选 1 队到该组 剩下的两组还有 C36 C33种配合法 故 A B 同组的可能有 3C17C36C33 所求事件的概率为 4 13 3 3 6 3 6 3 3 3 6 3 7 1 CCC CCC 选 B 解法二 9 支球队可分为 3 组 每组 3 队 视作 3 个空位 A 队先占其中一组的一个空 位 现在让 B 队在余下的 8 个位置任选其一 有 8 种选法 而其中只有 2 种选法属于 A B 同组 选求概率为 4 1 8 2 选 B 难点难点 2 2 利用二项式定理解决三项以上的展开式问题利用二项式定理解决三项以上的展开式问题 1 1 3x 2y n的展开式中不含 y 的项的系数和为 A 2n B 2n C 2 n D 1 数为 C16 3 C46 6 前 0 次方 后 5 次方 系数为 C56 展开式中 x5项的系数为 C56 35 C46 34 C16 C36 33 C26 C26 32 C36 C16 3 C46 C56 168 选 C 难点难点 3 3 利用二项式定理证明不等式利用二项式定理证明不等式 用心 爱心 专心 10 1 过点 P 1 0 作曲线 C y xk x 0 k N k 1 的切线 切点为 Q1 设 Q1 在 x 轴上的投影是点 P1 又过点 P1作曲线 C 的切线 切点为 Q2 设 Q2在 x 轴上投影为点 P2 如此继续下去得到一系列点 Q1 Q2 Qn 设点 Qn的横坐标为 an 1 求证 1 n n k k a 2 求证 1 1 k n an 3 求证 n i kk a i 1 2 解析 利用已知条件 找到 an的递推式 再求通项 第 2 问的证明可用二项式定 理 第 3 问可用错位相减法 3 记 121 121nn n a n a n aa S 则 132 1211 nn n a n a n aa S k k 两式相减得 1 1 1 1 1 1 1 1 1111111 2 21121 kkSk k k k k k k k k k aaaa n aaa S k n n nnn n 第 2 问也可以用数学归纳法加以证明 典型习题导炼典型习题导炼 1 将 1 2 3 9 这 9 个数字填在 3 3 的正方形方格中 要求每一列从上到下的依次 增大 每一行从左到右均依次增大 当 4 固定在中心位置时 则填写空茖的方法有 A 6 种 B 12 种 C 18 种 D 24 种 答案 B 解析 首先确定 1 9 分别在左上角和右下角 2 3 只能在 4 的上方和左方 有 2 种填方 5 6 7 8 填在其它位置有 2 4 C 6 种方法 依分步计数原理有 2 2 4 C 12 种填法 用心 爱心 专心 11 所以选 B 2 某重点中学要把 9 台相同的电脑送给农村三所希望小学 每个小学到少 2 台电脑 不 同的送法种数为 A 10 种 B 9 种 C 8 种 D 6 种 答案 A 解析 先每所学校送 1 台电脑 剩下 6 台电脑分给三所学校 每校至少 1 台 用隔板法 有 2 5 C 10 种 选 A 3 B 解析 基本事件总数为 1 4 C 2 4 C 3 4 C 4 4 C 15 而倒出 奇数粒的可能是 1 4 C 3 4 C 8 倒出奇数粒玻璃球的概率为15 8 倒出偶数粒玻璃球的概率为 15 7 选 B 3 从装有 4 粒大小 形状相同 颜色不同的玻璃球的的瓶中 随意一次倒出若干粒玻璃 球茎 至少一粒 则倒出奇数粒玻璃球的概率比例出偶数粒玻璃球的概率 A 小 B 大 C 相等 D 大小不能确定 4 将二项式 x x 4 2 1 n的展开式按 x 降幂排列 若前三项系数成等数列 则该展开 式中 x 的幂指数是整数的项共有 A 1 项 B 3 项 C 5 项 D 7 项 答案 11 解析 f n 3n 1 n C 3n 1 1 n log2n 3 1 n log2n 2n log2n f n 2005 2n log2n 2005 当 n 11 时 2n log2n 2005 取最小值 填 11 6 用五个数字 0 1 1 2 2 组成的五位数总共有 答案 B 解析 将 0 放在不是首位的其它 4 个位置上有 1 4 C 种方法 再在剩下的 4 个位 置选 2 个位置放 1 剩下 2 个位置放 2 有 2 4 C 种方法 依分步计数原理 共有这样的五位数 共有 1 4 C 2 4 C 24 个 选 B 用心 爱心 专心 12 7 在 4x2 3x 2 5的展开式中 分别求 1 x 的系数 答案 4x2 3x 2 5 4x2 2 3x 5 Tr 1 r C5 4x2 2 5 r 3x r 求 x 的系数 只有 r 1 x 的系数为 1 5 C 3 24 240 2 x2的系数 4x2 3x 2 5 4x2 3x 2 5 Tr 1 r C5 4x2 5 r 3x 2 r 要求 x2的系数 r 4 或 r 5 才 有可能 当 r 4 时 x2的系数为 4 5 C 4 24 320 当 r 5 时 x2的系数 为 3 5 5 5C C 32 23 720 当 r 4 时 x2的系数为 320 展开式中 x2的系数为 320 720 1040 3 常数项 答案 常数项为 25 32 8 若 n N n 100 且二项式 x3 2 1 x n的展开式中存在常数项 求所有满足条件的 n 的 值的和 答案 解 x3 2 1 x n的展开式的通项为 Tr 1 r n C x3 n r x 2r r n C x3n 5r 存在常数项 3n 5r 0 r 5 3 n n 为 5 的倍数 满足条件的 n 的 值的和为 2 55 19 950 9 一条走廊宽 2m 长 6m 现用 6 种不同颜色 大小均为 1 1m2的整块单色地板砖来铺 设 要求相邻的两块地砖颜色不同 假定每种颜色的地砖都足够多 那么不同的铺设方法有 多少 类推 公差为 9 的等差数列有 2 个 这样的等差数列共有 2 4 16 18 90 个 解法 2 取出三个数 a b c 要构成等差数列 则 2b a c 因此 a c 必须为偶数 则 用心 爱心 专心 13 a 与 c 同为奇数或同为偶数 这样的等差数列共有 2 10 2 10C C 90 个 12 将一个四棱锥的每个顶点染上颜色 使同一条棱上的两端点异色 如果有 5 种颜色 或供使用 那么不同的染色方法总数有多少种 答案 解 将四棱锥记为 S ABCD 先染 S A B 由于颜色各不相同 有 3 5 A 60 种方 法 再染 C D 若 C 的颜色与 A 相同 则 D 的染色方法数为 3 种 若 C 的颜色与 A 不相同 则 C 的染色方法有 2 种 D 的染色方法为 2 种 依两个基本原理 不同的染色方法数为 3 5 A 3 2 2 420 种 13 两条异面直线称为 一对 连结正方体的八个顶点的所有直线中 异面直线共有 多少对 14 已知函数 f x 1 1 2 Ncba bcbx xa f 2 2f 3 3 且 f x 的图像按向