湖北省八市2013届高三数学3月联考试题 理

1 湖北省八市湖北省八市20132013年高三年级三月调考年高三年级三月调考 数学 理科 试题数学 理科 试题 本试卷共4页 全卷满分150分 考试时间120分钟 祝考试顺利 注意事项 考生在答题前 请务必将自己的姓名 准考证号等信息填在答题卡上 选择题每小题选出答案后 用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改 动 用橡皮擦干净后 再选涂其它答案标号 答在试卷上无效 填空题和解答题用0 5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内 答 在试题卷上无效 一 选择题一 选择题 本大题共本大题共1010小题 每小题小题 每小题5 5分 共分 共5050分 在每小分 在每小题给出的四个选项中 只有一项题给出的四个选项中 只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的 1 复数 5 21i 的共轭复数是 A 21i B 12i C 21i D 12i 2 已知命题 20 x pxR 那么命题p 为 A 20 x xR B 20 x xR C 20 x xR D 20 x xR 3 执行右边的框图 若输入的N是6 则输出p的值是 A 120 B 720 C 1440 D 5040 4 不等式组 3 0 04 xyxy x 表示的平面区域是 A 矩形 B 三角形 C 直角梯形 D 等腰梯形 5 设aR 函数 xx f xea e 的导函数是 fx 且 fx 是奇函数 则a的值为 A 1 B 1 2 C 1 2 D 1 6 如图 设D是图中边长为 2 的正方形区域 E是函数 3 yx 的图象与x轴及1x 围成的阴影区域 向D中随机投一点 则该点落入E中的概率为 A 1 16 B 1 8 C 1 4 D 1 2 7 下列结论正确的是 1 4 a 是 对任意的正数x 均有1 a x x 的充分非必要条件 随机变量 服从正态分布 2 2 2 N 则 2D 线性回归直线至少经过样本点中的一个 若 10 名工人某天生产同一零件 生产的件数是 15 17 14 10 15 17 17 16 14 12 设 其平均数为a 中位数为b 众数为c 则有cba A B C D 8 莱因德纸草书 Rhind Papyrus 是世界上最古老的数学著作之一 书中有这样的一道 题目 把100个面包分给5个人 使每人所得成等差数列 且使较大的三份之和的 1 7 是较 小的两份之和 则最小1份为 第 3 题图 k N 侧 侧 k k 1p p k k 1 p 1 侧 侧 p 侧 侧 N 侧 侧 侧 侧 第 6 题图 O y x y x3 1 1 1 1 2 A 5 6 B 10 3 C 5 3 D 11 6 9 已知函数 2 1 0 log 0 xx f x x x 则函数 1yf f x 的零点个数是 A 4 B 3 C 2 D 1 10 抛物线 2 4yx 的焦点为F 点 A B在抛物线上 且 2 3 AFB 弦AB中点M在准 线l上的射影为 AB MM M 则 的最大值为 A 4 3 3 B 3 3 C 2 3 3 D 3 二二 填填空空题题 本本大大题题共共6 6 小小题题 考考生生共共需需作作答答5 5 小小题题 每每小小题题5 5 分分 共共2 25 5 分分 请请将将答答案案填填在在答答题题 卡卡对对应应题题号号的的位位置置上上 答答错错位位置置 书书写写不不清清 模模棱棱两两可可均均不不得得分分 一一 必必做做题题 1 11 1 1 14 4 题题 11 在 13 nx 的展开式中 各项系数的和等于 64 那么此 展开式中含 2 x项的系数 12 如图所示 一个三棱锥的三视图是三个直角三角形 单位 cm 则该三棱锥的外接球的表面积为 2 cm 13 函数 3sin 2 3 f xx 的图象为C 如下结论中正确的是 写出所有正确结论的编号 图象C关于直线 11 12 x 对称 图象C关于点 2 0 3 对称 函数 f x在区间 5 12 12 内是增函数 由3sin2yx 的图象向右平移 3 个单位长度可 以得到图象C 14 如图表中数阵为 森德拉姆素数筛 其特点是 每行每列都成等差数列 记第i行第j列的数为 ij a i jN 则 99 a 表中数 82 共出现 次 二二 选选考考题题 请请考考生生在在第第1 15 5 1 16 6 两两题题中中任任选选一一题题作作答答 如如果果全全选选 则则按按第第1 15 5 题题作作答答结结果果计计分分 15 选修4 1 几何证明选讲 如图所示 圆O的直径6AB C为圆周上一点 3BC 过C作圆的切线l 过A作l 的垂线AD 垂足为D 则DAC 16 选修 4 4 坐标系与参数方程 设直线 1 l的参数方程为 1 3 xt yat t为参数 以坐标原点为极点 x轴非负半 轴为极轴建立极坐标系 另一直线 2 l的方程为 第 15 题图 O E D C B A 第 14 题图 37312519137 31262116116 2521171395 1916131074 13119753 765432 第 12 题图 4 3 2 侧 侧 侧 侧 侧 侧 侧 侧 侧 3 第 1 层 第 2 层 第 3 层 第 4 层 入口 第 20 题图 sin3 cos40 若直线 1 l与 2 l间的距离为10 则实数a的值为 三三 解答题解答题 本大题共本大题共 6 6 个小题 共个小题 共 7575 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本题满分 12 分 已知 A B C 为ABC 的三个内角且向量 3 1 cos 3sincos 2222 CCC mn 与共线 求角 C 的大小 设角CBA 的对边分别是cba 且满足2 cos2aCcb 试判断 ABC的形 状 18 本题满分 12 分 已知等差数列 n a的首项 1 1a 公差0d 且 1452 aaa 分别是 等比数列 n b的 432 bbb 求数列 n a与 n b的通项公式 设数列 n c对任意自然数n均有 12 12 cc bb 1 n n n c a b 成立 求 12 cc 2013 c 的值 19 本题满分 12 分 如图 在长方体 1111 ABCDAC B D 中 已知上下两底面为正方形 且边长均为 1 侧棱 1 2AA E为BC中点 F为CD中点 G为 1 BB上一个动点 确定G点的位置 使得 1E AFGD 平面 当 1E AFGD 平面时 求二面角GAFE 的平 面角余弦值 20 本题满分 12 分 如图是在竖直平面内的一个 通道游戏 图中竖直线段和斜线段都 表示通道 并且在交点处相遇 若竖直线段有一条的为第一层 有二条的为第二层 依次类推 现有一颗小弹子从第一层的通道里向下运动 若在通道的分叉处 小 弹子以相同的概率落入每个通道 记小弹子落入第n层第m个竖直通道 从左至右 的概率为 P n m 某研究性学习小组经探究发现小 弹子落入第n层的第m个通道的次数服从二项分布 请你解决下列问题 试求 2 1 3 2 PP及 4 2 P的值 并猜想 P n m的表达式 不必证明 设小弹子落入第 6 层第m个竖直通道得到分数为 其中 4 13 3 46 mm mm 试求 的分布 列 及数学期望 D1C1 B1 A1 G F E D C B A 第 19 题图 4 21 本题满分 13 分 已知 ABC的两个顶点 A B的坐标分别是 0 1 0 1 且 AC BC所在直线的斜率之积等于 0 m m 求顶点C的轨迹E的方程 并判断轨迹E为何种圆锥曲线 当 1 2 m 时 过点 1 0 F的直线l交曲线E于 M N两点 设点N关于x轴的对 称点为Q MQ 不重合 试问 直线MQ与 x轴的交点是否是定点 若是 求出 定点 若不是 请说明理由 22 本题满分 14 分 已知函数 ln 1 f xxmx mR 当1x 时 函数 f x取得极大值 求实数m的值 已知结论 若函数 ln 1 f xxmx mR 在区间 a b内存在导数 则存在 0 xa b 使得 0 f bf a fx ba 试用这个结论证明 若函数 12 11 12 f xf x g xxxf x xx 其中 21 1xx 则对任意 12 xx x 都有 f xg x 已知正数 12 满足 12 1 求证 对任意的实数 12 x x 若 21 1xx 时 都 有 1 1221122 fxxf xf x 2013 年湖北省八市高三三月联考 数学 理科 参考答案及评分标准 一 选择题 每小题 5 分 10 小题共 50 分 1 C 2 A 3 B 4 D 5 A 6 B 7 D 8 C 9 A 10 B 二 填空题 每小题 5 分 5 小题共 25 分 必考题必考题 11 135 12 29 13 14 82 5 选考题选考题 15 30 16 9 或 11 三 解答题 本大题共 6 小题 共 75 分 17 m 与n 共线 2 cos 2 sin3 2 cos 2 3CCC 31 1 sin 1cos sin 2262 CCC 3 分 得 sin 1 6 C 4 分 C 3 6 分 方法 1 由已知2acb 1 根据余弦定理可得 222 cabab 2 8 分 5 1 2 联立解得 0b ba 10 分 0 bba 又 C 3 所以 ABC为等边三角形 12 分 方法 2 由正弦定理得 2sincossin2sin2sin 2sincossin2sincos2cossin ACCBAC ACCACAC 8 分 10 分 2 1 cos A 在 ABC中 3 A 又 C 3 所以 ABC为等边三角形 12 分 方法 3 由 知 C 3 又由题设得 2acb 在ABC 中根据射影定理得 2 coscos 2 cosacaCcAacA 8 分 1 cos 23 AA 10 分 又 C 3 所以 ABC为等边三角形 12 分 18 a2 1 d a5 1 4d a14 1 13d 且a2 a5 a14成等比数列 2 131 1 41 2 dddd即 2 分 122 1 1 nnan 4 分 又 9 3 5322 abab 1 1 3 1 3 n n bbq 6 分 12 12 cc bb 1 n n n c a b 1 2 1 c a b 即 112 3cba 又 12 12 cc bb 1 1 2 n n n c a n b 1 2 n nn n c aa b 8 分 1 22 3 2 n nn cbn 1 3 1 2 3 2 n n n c n 10分 则 123 ccc 12 2013 32 32 3c 2013 1 2 3 1232012 32 3333 2012 2013 3 1 3 323 1 3 12 分 1919 方法一方法一 6 如图 分别以 1 DA DC DD所在直线为 x y z轴建立空间直角坐标系Dxyz 则 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 DABCD 易得 11 1 0 0 0 22 EF 2 分 由题意得 11 D EAF D EAG 设 1 1 Gt 又 1 11 1 1 1 0 0 1 22 D EAFAGt 则由 11 0 0D E AFD E AG 得 1 2 t 1 2 BG 得G为 1 BB的四等分点 6 分 易知平面AFE的一个法向量为 0 0 1 m 设平面AFG的法向量为 nx y z 则 0 0 AF n AG n 得 1 0 2 1 0 2 xy yz 取1x 得 1 2 4 n 10 分 44 21 cos 21121 m n 二面角GAFE 的平面角余弦值为 4 21 21 12 分 方法二方法二 1 D E在平面ABCD内的射影为 DE 且四边形ABCD为正方形 E F为中点 1 D EAF 同理 1 D E在平面 11 ABB A内的射影为 1 AB 则 1 AGAB 由 1 A AB ABG 1 2 BG 得G为 1 BB的四等分点 6 分 BG 平面AEF 过B点作BHAF 垂足为H 连结HG 则GHB 为二面角GAFE 的平面角 8 分 由DAFHBA 得 ADBH AFAB 解得 2 5 BH 在Rt GHB 中 1 5 2 tan 2 4 5 BG GHB HB 4 21 cos 21 GHB 二面角GAFE 的平面角余弦值为 4 21 21 12 分 20 因为小弹子落入第n层的第m个通道的次数服从二项分布 则 001 1 11 2 1 22 PC 1 分 111 2 11 3 2 22 PC 3 分 12 3 1 13 4 2 2 28 PC 4 分 z y x D1C1 B1A1 G F E D C B A 7 1 1 1 2 m n n C P n m 6 分 依题 1 2 3 由 知 223 5 11205 1 6 3 6 4 2 22328 pppC 14 5 11105 2 6 2 6 5 2 223216 pppC 005 5 1121 3 6 1 6 6 2 223216 pppC 9 分 所以 的分布列如下表 123 P 20 32 10 32 2 32 11 分 故 2010223 123 32323216 E 12 分 21 由题知 11yy m xx 化简得 22 1 0 mxyx 2 分 当1m 时 轨迹E表示焦点在 y 轴上的椭圆 且除去 0 1 0 1 两点 当1m 时 轨迹E表示以 0 0 为圆心半径是 的圆 且除去 0 1 0 1 两点 当10m 时 轨迹E表示焦点在 x轴上的椭圆 且除去 0 1 0 1 两点 当0m 时 轨迹E表示焦点在 y 轴上的双曲线 且除去 0 1 0 1 两点 6 分 设 112222 M x yN xyQ xy 12 0 xx 依题直线l的斜率存在且不为零 则可设l 1xty 代入 2 2 1 0 2 x yx 整理得 22 2 210tyty 12 2 2 2 t yy t 12 2 1 2 y y t 9 分 又因为MQ 不重合 则 1212 xxyy QMQ的方程为 12 11 12 yy yyxx xx 令0y 得 12112112 11 121212 2 112 y xxty yyty y xxty yyyyyy 故直线MQ过定点 2 0 13 分 解二 设 112222 M x yN xyQ xy 12 0 xx 依题直线l的斜率存在且不为零 可设l 1 yk x 代入 2 2 1 0 2 x yx 整理得 2222 12 4220kxk xk 2 12 2 4 12 k xx k 2 12 2 22 12 k x x k 9 分 8 QMQ的方程为 12 11 12 yy yyxx xx 令0y 得 1211