立体几何初步讲义

第 3 讲 空间点 直线 平面之间的位置关系 知 识 梳 理 1 平面的基本性质 1 公理 1 如果一条直线上的两点在一个平面内 那么这条直线在此平面内 2 公理 2 过不在一条直线上的三点 有且只有一个平面 3 公理 3 如果两个不重合的平面有一个公共点 那么它们有且只有一条过该点的公共直线 4 公理 2 的三个推论 推论 1 经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面 推论 2 经过两条相交直线有且只有一个平面 推论 3 经过两条平行直线有且只有一个平面 2 空间中两直线的位置关系 1 空间两直线的位置关系 Error Error 2 异面直线所成的角 定义 设 a b 是两条异面直线 经过空间任一点 O 作直线 a a b b 把 a 与 b 所成的锐角 或直角 叫做异面直线 a 与 b 所成的角 或夹角 范围 0 2 3 平行公理和等角定理 平行公理 平行于同一条直线的两条直线互相平行 等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行 那么这两个角相等或互补 3 空间直线与平面 平面与平面的位置关系 1 直线与平面的位置关系有相交 平行 在平面内三种情况 2 平面与平面的位置关系有平行 相交两种情况 辨 析 感 悟 1 对平面基本性质的认识 1 两个不重合的平面只能把空间分成四个部分 2 两个平面 有一个公共点 A 就说 相交于 A 点 记作 A 3 教材练习改编 两两相交的三条直线最多可以确定三个平面 4 教材练习改编 如果两个平面有三个公共点 则这两个平面重合 2 对空间直线关系的认识 5 已知 a b 是异面直线 直线 c 平行于直线 a 那么 c 与 b 不可能是平行直线 6 没有公共点的两条直线是异面直线 感悟 提升 1 一点提醒 做有关平面基本性质的判断题时 要抓住关键词 如 有且只有 只能 最多 等 如 1 中两 个不重合的平面还可把空间分成三部分 2 两个防范 一是两个不重合的平面只要有一个公共点 那么两个平面一定相交得到的是一条直线 如 2 二是 搞清 三个公共点 是共线还是不共线 如 4 3 一个理解 异面直线是指不同在任何一个平面内 没有公共点 不能错误地理解为不在某一个平面内的两条直 线就是异面直线 如 6 考点一 平面的基本性质及其应用 例 1 1 以下四个命题中 正确命题的个数是 不共面的四点中 其中任意三点不共线 若点 A B C D 共面 点 A B C E 共面 则 A B C D E 共面 若直线 a b 共面 直线 a c 共面 则直线 b c 共面 依次首尾相接的四条线段必共面 A 0 B 1 C 2 D 3 2 在正方体 ABCD A1B1C1D1中 P Q R 分别是 AB AD B1C1的中点 那么正方体的过 P Q R 的截面图形 是 A 三角形 B 四边形 C 五边形 D 六边形 规律方法 1 公理 1 是判断一条直线是否在某个平面的依据 公理 2 及其推论是判断或证明点 线共面的依据 公 理 3 是证明三线共点或三点共线的依据 要能够熟练用文字语言 符号语言 图形语言来表示公理 2 画几何体的截面 关键是画截面与几何体各面的交线 此交线只需两个公共点即可确定 作图时充分利用几何 体本身提供的面面平行等条件 可以更快地确定交线的位置 训练 1 如图所示是正方体和正四面体 P Q R S 分别是所在棱的中点 则四个点共面的图形的序号是 考点二 空间两条直线的位置关系 例 2 如图是正四面体的平面展开图 G H M N 分别为 DE BE EF EC 的中点 在这个正四面体中 GH 与 EF 平行 BD 与 MN 为异面直线 GH 与 MN 成 60 角 DE 与 MN 垂直 以上四个命题中 正确命题的序号是 规律方法 空间中两直线位置关系的判定 主要是异面 平行和垂直的判定 对于异面直线 可采用直接法或反证 法 对于平行直线 可利用三角形 梯形 中位线的性质 平行公理及线面平行与面面平行的性质定理 对于垂直关 系 往往利用线面垂直的性质来解决 训练 2 在图中 G H M N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点 则表示直线 GH MN 是异面直线的 图形有 填上所有正确答案的序号 考点三 异面直线所成的角 例 3 在四棱锥 P ABCD 中 底面是边长为 2 的菱形 DAB 60 对角线 AC 与 BD 交于点 O PO 平面 ABCD PB 与平面 ABCD 所成角为 60 1 求四棱锥的体积 2 若 E 是 PB 的中点 求异面直线 DE 与 PA 所成角的余弦值 规律方法 1 平移线段法是求异面直线所成角的常用方法 其基本思路是通过平移直线 把异面问题化归为共面问 题来解决 具体步骤如下 平移 平移异面直线中的一条或两条 作出异面直线所成的角 认定 证明作出的角就是所求异面直线所成的角 计算 求该角的值 常利用解三角形 取舍 由异面直线所成角的取值范围是 当所作的角为钝角时 应取它的补角作为两条异面直线所成的 0 2 角 2 求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围 训练 3 2014 成都模拟 在正方体 ABCD A1B1C1D1中 E F 分别是棱 A1B1 A1D1的中点 则 A1B 与 EF 所成 角的大小为 1 证明线共点问题 常用的方法是 先证其中两条直线交于一点 再证交点在第三条直线上 2 证明点或线共面问题 一般有以下两种途径 1 首先由所给条件中的部分线 或点 确定一个平面 然后再证其余线 或点 均在这个平面内 2 将所有条件分为两部分 然后分别确定平面 再证平面重合 3 异面直线的判定方法 1 判定定理 平面外一点 A 与平面内一点 B 的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线 2 反证法 证明两线不可能平行 相交或证明两线不可能共面 从而可得两线异面 思想方法 7 构造模型判断空间线面的位置关系 典例 2012 上海卷 已知空间三条直线 l m n 若 l 与 m 异面 且 l 与 n 异面 则 A m 与 n 异面 B m 与 n 相交 C m 与 n 平行 D m 与 n 异面 相交 平行均有可能 自主体验 1 2013 浙江卷 设 m n 是两条不同的直线 是两个不同的平面 A 若 m n 则 m n B 若 m m 则 C 若 m n m 则 n D 若 m 则 m 2 对于不同的直线 m n 和不同的平面 有如下四个命题 若 m m n 则 n 若 m m n 则 n 若 则 若 m m n n 则 其中真命题的个数是 A 1 B 2 C 3 D 4 基础巩固题组 一 选择题 1 2013 江西七校联考 已知直线 a 和平面 l a a 且 a 在 内的射影分别为直线 b 和 c 则直线 b 和 c 的位置关系是 A 相交或平行 B 相交或异面 C 平行或异面 D 相交 平行或异面 2 在正方体 AC1中 E F 分别是线段 BC CD1的中点 则直线 A1B 与直线 EF 的位置关系是 A 相交 B 异面 C 平行 D 垂直 3 设 P 表示一个点 a b 表示两条直线 表示两个平面 给出下列四个命题 其中正确的命题是 P a P a a b P b a a b a P b P b b P P P b A B C D 4 如图 在正方体 ABCD A1B1C1D1中 过顶点 A1与正方体其他顶点的连线与直线 BC1成 60 角的条数为 A 1 B 2 C 3 D 4 二 填空题 5 如果两条异面直线称为 一对 那么在正方体的十二条棱中共有异面直线 对 6 如图 在正方体 ABCD A1B1C1D1中 M N 分别为棱 C1D1 C1C 的中点 有以下四个结论 直线 AM 与 CC1是相交直线 直线 AM 与 BN 是平行直线 直线 BN 与 MB1是异面直线 直线 AM 与 DD1是异面直线 其中正确的结论为 注 把你认为正确的结论的序号都填上 7 2013 江西卷 如图 正方体的底面与正四面体的底面在同一平面 上 且 AB CD 则直线 EF 与正方体的六 个面所在的平面相交的平面个数为 三 解答题 8 如图 四边形 ABEF 和 ABCD 都是直角梯形 BAD FAB 90 BC AD BE FA G H 分别为 1 2 1 2 FA FD 的中点 1 证明 四边形 BCHG 是平行四边形 2 C D F E 四点是否共面 为什么 9 在正方体 ABCD A1B1C1D1中 对角线 A1C 与平面 BDC1交于点 O AC BD 交于点 M 求证 点 C1 O M 共线 能力提升题组 一 选择题 1 2014 长春一模 一个正方体的展开图如图所示 A B C D 为原正方体的顶点 则在原来的正方体中 A AB CD B AB 与 CD 相交 C AB CD D AB 与 CD 所成的角为 60 2 在正方体 ABCD A1B1C1D1中 E F 分别为棱 AA1 CC1的中点 则在空间中与三条直线 A1D1 EF CD 都相 交的直线 A 不存在 B 有且只有两条 C 有且只有三条 D 有无数条 二 填空题 3 2013 安徽卷 如图 正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 1 P 为 BC 的中点 Q 为线段 CC1上的动点 过点 A P Q 的平面截该正方体所得的截面记为 S 则下列命题正确的是 写出所有正确命题的编号 当 0 CQ 时 S 为四边形 1 2 当 CQ 时 S 为等腰梯形 1 2 当 CQ 时 S 与 C1D1的交点 R 满足 C1R 3 4 1 3 当 CQ 1 时 S 为六边形 3 4 当 CQ 1 时 S 的面积为 6 2 三 解答题 4 如图 在正方体 ABCD A1B1C1D1中 1 求 A1C1与 B1C 所成角的大小 2 若 E F 分别为 AB AD 的中点 求 A1C1与 EF 所成角的大小 第 4 讲 直线 平面平行的判定与性质 知 识 梳 理 1 直线与平面平行的判定与性质 判定 定义定理 性质 图形 条件 a a b a ba a a b 结论 a b a a b 2 面面平行的判定与性质 判定 定义定理 性质 图形 条件 a b a b P a b a b a 结论 a ba 辨 析 感 悟 1 对直线与平面平行的判定与性质的理解 1 若一条直线平行于一个平面内的一条直线 则这条直线平行于这个平面 2 若一条直线平行于一个平面 则这条直线平行于这个平面内的任一条直线 3 若直线 a 与平面 内无数条直线平行 则 a 4 若直线 a P 则过点 P 且平行于 a 的直线有无数条 2 对平面与平面平行的判定与性质的理解 5 如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面 那么这两个平面平行 6 如果两个平面平行 那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面 7 教材练习改编 设 l 为直线 是两个不同的平面 若 l l 则 感悟 提升 三个防范 一是推证线面平行时 一定要说明一条直线在平面外 一条直线在平面内 如 1 3 二是推证面面平行时 一定要说明一个平面内的两条相交直线平行于另一平面 如 5 三是利用线面平行的性质定理把线面平行转化为线线平行时 必须说明经过已知直线的平面与已知平面相交 则 该直线与交线平行 如 2 4 考点一 有关线面 面面平行的命题真假判断 例 1 1 2013 广东卷 设 m n 是两条不同的直线 是两个不同的平面 下列命题中正确的是 A 若 m n 则 m n B 若 m n 则 m n C 若 m n m n 则 D 若 m m n n 则 2 设 m n 表示不同直线 表示不同平面 则下列结论中正确的是 A 若 m m n 则 n B 若 m n m n 则 C 若 m m n 则 n D 若 m n m n 则 n 规律方法 线面平行 面面平行的命题真假判断多以小题出现 处理方法是数形结合 画图或结合正方体等有关模 型来解题 训练 1 1 2014 长沙模拟 若直线 a b 且直线 a 平面 则直线 b 与平面 的位置关系是 A b B b C b 或 b D b 与 相交或 b 或 b 2 给出下列关于互不相同的直线 l m n 和平面 的三个命题 若 l 与 m 为异面直线 l m 则 若 l m 则 l m 若 l m n l 则 m n 其中真命题的个数为 A 3 B 2 C 1 D 0 考点二 线面平行的判定与性质 例 2 如图 直三棱柱 ABC A B C BAC 90 AB AC AA 1 点 M N 分别为 A B 和 2 B C 的中点 1 证明 MN 平面 A ACC 2 求三棱锥 A MNC 的体积 规律方法 判断或证明线面平行的常用方法 1 利用线面平行的定义 一般用反证法 2 利用线面平行的判定定理 a b a b a 其关键是在平面内找 或作 一条直线与已知直线平行 证明 时注意用符号语言的叙述 3 利用面面平行的性质定理 a a 4 利用面面平行的性质 a a a 训练 2 如图 在四面体 A BCD 中 F E H 分别是棱 AB BD AC 的中点 G 为 DE 的中点 证明 直线 HG 平面 CEF 考点三 面面平行的判定与性质 例 3 2013 陕西卷 如图 四棱柱 ABCD A1B1C1D1的底面 ABCD 是正方形 O 是底面中心 A1O 底面 ABCD AB AA1 2 1 证明 平面 A1BD 平面 CD1B1 2 求三棱柱 ABD A1B1D1的体积 规律方法 1 证明两个平面平行的方法有 用定义 此类题目常用反证法来完成证明 用判定定理或推论 即 线线平行 面面平行 通过线面平行来完成证明 根据 垂直于同一条直线的两个平面平行 这一性质进行证明 借助 传递性 来完成 2 面面平行问题常转化为线面平行 而线面平行又可转化为线线平行 需要注意转化思想的应用 训练 3 在正方体 ABCD A1B1C1D1中 M N P 分别是 C1C B1C1 C1D1的中点 求证 平面 PMN 平面 A1BD 1 平行关系的转化方向如图所示 2 在解决线面 面面平行的判定时 一般遵循从 低维 到 高维 的转化 即从 线线平行 到 线面平行 再到 面面平行 而在应用性质定理时 其顺序恰好相反 但也要注意 转化的方向总是由题目的具体条件而定 决不可过于 模式化 答题模板 8 如何作答平行关系证明题 典例 12 分 2012 山东卷 文 如图 1 几何体 E ABCD 是四棱锥 ABD 为正三角形 CB CD EC BD 1 求证 BE DE 2 若 BCD 120 M 为线段 AE 的中点 求证 DM 平面 BEC 图 1 反思感悟 立体几何解答题解题过程要表达准确 格式要符合要求 每步推理要有理有据 不可跨度太大 以免 漏掉得分点 本题易忽视 DM 平面 EBC 造成步骤不完整而失分 自主体验 2013 福建卷改编 如图 在四棱锥 P ABCD 中 AB DC AB 6 DC 3 若 M 为 PA 的中点 求证 DM 平面 PBC 基础巩固题组 一 选择题 1 已知直线 a b c 及平面 下列条件中 能使 a b 成立的是 A a b B a b C a c b c D a b 2 在梯形 ABCD 中 AB CD AB 平面 CD 平面 则直线 CD 与平面 内的直线的位置关系只能是 A 平行 B 平行和异面 C 平行和相交 D 异面和相交 3 2014 陕西五校一模 已知直线 a 和平面 那么 a 的一个充分条件是 A 存在一条直线 b a b 且 b B 存在一条直线 b a b 且 b C 存在一个平面 a 且 D 存在一个平面 a 且 4 2014 汕头质检 若 m n 为两条不重合的直线 为两个不重合的平面 则下列命题中正确的是 A 若 m n 都平行于平面 则 m n 一定不是相交直线 B 若 m n 都垂直于平面 则 m n 一定是平行直线 C 已知 互相平行 m n 互相平行 若 m 则 n D 若 m n 在平面 内的射影互相平行 则 m n 互相平行 5 在空间四边形 ABCD 中 E F 分别为 AB AD 上的点 且 AE EB AF FD 1 4 又 H G 分别为 BC CD 的中点 则 A BD 平面 EFG 且四边形 EFGH 是平行四边形 B EF 平面 BCD 且四边形 EFGH 是梯形 C HG 平面 ABD 且四边形 EFGH 是平行四边形 D EH 平面 ADC 且四边形 EFGH 是梯形 二 填空题 6 2014 南京一模 下列四个命题 过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直 过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行 如果两个平行平面和第三个平面相交 那么所得的两条交线平行 如果两个平面互相垂直 那么经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内 其中所有真命题的序号是 7 2014 衡阳质检 在正方体 AC1中 E 是 DD1的中点 则 BD1与平面 ACE 的位置关系为 8 2014 金丽衢十二校联考 设 是三个平面 a b 是两条不同直线 有下列三个条件 a b a b b a 如果命题 a b 且 则 a b 为真命题 则可 以在横线处填入的条件是 把所有正确的题号填上 三 解答题 9 2014 青岛一模 四棱锥 P ABCD 中 底面 ABCD 为平行四边形 N 是 PB 中点 过 A N D 三点的平面交 PC 于 M 1 求证 PD 平面 ANC 2 求证 M 是 PC 中点 10 如图 已知 ABCD A1B1C1D1是棱长为 3 的正方体 点 E 在 AA1上 点 F 在 CC1上 G 在 BB1上 且 AE FC1 B1G 1 H 是 B1C1的中点 1 求证 E B F D1四点共面 2 求证 平面 A1GH 平面 BED1F 能力提升题组 一 选择题 1 2014 蚌埠模拟 设 m n 是平面 内的两条不同直线 l1 l2是平面 内的两条相交直线 则 的一个充分 而不必要条件是 A m 且 l1 B m l1且 n l2 C m 且 n D m 且 n l2 2 下列四个正方体图形中 A B 为正方体的两个顶点 M N P 分别为 其所在棱的中点 能得出 AB 平面 MNP 的图形的序号是 A B C D 二 填空题 3 2014 陕西师大附中模拟 如图 在长方体 ABCD A1B1C1D1中 E F G H 分别是棱 CC1 C1D1 D1D DC 的中点 N 是 BC 的中点 点 M 在四边形 EFGH 及其内部运动 则 M 满足条件 时 有 MN 平面 B1BDD1 三 解答题 4 2014 长沙模拟 一个多面体的直观图及三视图如图所示 其中 M N 分别是 AF BC 的中点 1 求证 MN 平面 CDEF 2 求多面体 A CDEF 的体积 第 5 讲 直线 平面垂直的判定与性质 知 识 梳 理 1 直线与平面垂直 1 定义 若直线 l 与平面 内的任意一条直线都垂直 则直线 l 与平面 垂直 2 判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直 则该直线与此平面垂直 线线垂直 线面垂直 即 a b l a l b a b P l 3 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 即 a b a b 2 平面与平面垂直 1 定义 两个平面相交 如果它们所成的二面角是直二面角 就说这两个平面互相垂直 2 判定定理 一个平面过另一个平面的垂线 则这两个平面垂直 即 a a 3 性质定理 两个平面垂直 则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 即 a b a b a 3 直线与平面所成的角 1 定义 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角 叫做这条斜线和这个平面所成的角 2 线面角 的范围 0 2 4 二面角的有关概念 1 二面角 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角 2 二面角的平面角 二面角棱上的一点 在两个半平面内分别作与棱垂直的射线 则两射线所成的角叫做二面角 的平面角 辨 析 感 悟 1 对线面垂直的理解 1 直线 a b c 若 a b b c 则 a c 2 直线 l 与平面 内无数条直线都垂直 则 l 3 教材练习改编 设 m n 是两条不同的直线 是两个不同的平面 若 m n m 则 n 4 教材习题改编 设 l 为直线 是两个不同的平面 若 l 则 l 2 对面面垂直的理解 5 若两平面垂直 则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面 6 若平面 内的一条直线垂直于平面 内的无数条直线 则 感悟 提升 三个防范 一是注意在空间中垂直于同一直线的两条直线不一定平行 还有可能异面 相交等 如 1 二是注意使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理 不要误解为 如果一条直线垂直于平面内的无数条直线 就垂直于这个平面 如 2 三是判断线面关系时最容易漏掉线在面内的情况 如 6 考点一 直线与平面垂直的判定和性质 例 1 如图 在四棱锥 P ABCD 中 PA 底面 ABCD AB AD AC CD ABC 60 PA AB BC E 是 PC 的中点 证明 1 CD AE 2 PD 平面 ABE 规律方法 证明线面垂直的方法 一是线面垂直的判定定理 二是利用面面垂直的性质定理 三是平行线法 若两条 平行线中一条垂直于这个平面 则另一条也垂直于这个平面 解题时 注意线线 线面与面面关系的相互转化 另外 在证明线线垂直时 要注意题中隐含的垂直关系 如等腰三角形的底边上的高 中线和顶角的角平分线三 线合一 矩形的内角 直径所对的圆周角 菱形的对角线互相垂直 直角三角形 或给出线段长度 经计算满足勾 股定理 直角梯形等等 训练 1 如图 直四棱柱 ABCD A1B1C1D1中 AB CD AD AB AB 2 AD AA1 3 E 为 CD 上一 2 点 DE 1 EC 3 证明 BE 平面 BB1C1C 考点二 平面与平面垂直的判定与性质 例 2 2014 深圳一模 如图 在三棱柱 ABC A1B1C1中 AA1 平面 ABC AB BC AA1 且 AC BC 点 2 D 是 AB 的中点 证明 平面 ABC1 平面 B1CD 规律方法 证明两个平面垂直 首先要考虑直线与平面的垂直 也可简单地记为 证面面垂直 找线面垂直 是 化归思想的体现 这种思想方法与空间中的平行关系的证明非常类似 这种转化方法是本讲内容的显著特征 掌 握化归与转化思想方法是解决这类问题的关键 训练 2 如图 在长方体 ABCD A1B1C1D1中 AB AD 1 AA1 2 M 是棱 CC1的中点 证明 平面 ABM 平面 A1B1M 考点三 平行 垂直关系的综合问题 例 3 如图 在四棱锥 P ABCD 中 AB AC AB PA AB CD AB 2CD E F G M N 分别为 PB AB BC PD PC 的中点 1 求证 CE 平面 PAD 2 求证 平面 EFG 平面 EMN 规律方法 线面关系与面面关系的证明离不开判定定理和性质定理 而形成结论的 证据链 依然是通过挖掘题目 已知条件来实现的 如图形固有的位置关系 中点形成的三角形的中位线等 都为论证提供了丰富的素材 训练 3 如图 AB 是圆 O 的直径 PA 垂直圆 O 所在的平面 C 是圆 O 上的点 1 求证 BC 平面 PAC 2 设 Q 为 PA 的中点 G 为 AOC 的重心 求证 QG 平面 PBC 考点四 线面角 二面角的求法 例 4 如图 在四棱锥 P ABCD 中 PA 底面 ABCD AB AD AC CD ABC 60 PA AB BC E 是 PC 的中点 1 求 PB 和平面 PAD 所成的角的大小 2 证明 AE 平面 PCD 3 求二面角 A PD C 的正弦值 规律方法 1 求直线与平面所成的角的一般步骤 找直线与平面所成的角 即通过找直线在平面上的射影来完成 计算 要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解 2 作二面角的平面角可以通过垂线法进行 在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线 再过垂足作二面角的 棱的垂线 两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直 由此可得二面角的平面角 训练 4 在正方体 ABCD A1B1C1D1中 BB1与平面 ACD1所成角的余弦值为 A B C D 2 3 3 3 2 3 6 3 1 转化思想 垂直关系的转化 2 在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线 若这样的直线图中不存在 则可通过作辅助线来 解决 如有平面垂直时 一般要用性质定理 在一个平面内作交线的垂线 使之转化为线面垂直 然后进一步转 化为线线垂直 故熟练掌握 线线垂直 面面垂直 间的转化条件是解决这类问题的关键 创新突破 7 求解立体几何中的探索性问题 典例 2012 北京卷 如图 1 在 Rt ABC 中 C 90 D E 分别为 AC AB 的中点 点 F 为线段 CD 上的 一点 将 ADE 沿 DE 折起到 A1DE 的位置 使 A1F CD 如图 2 1 求证 DE 平面 A1CB 2 求证 A1F BE 3 线段 A1B 上是否存在点 Q 使 A1C 平面 DEQ 说明理由 反思感悟 1 解决探索性问题一般先假设其存在 把这个假设作已知条件 和题目的其他已知条件一起进行推理 论证和计算 在推理论证和计算无误的前提下 如果得到了一个合理的结论 则说明存在 如果得到了一个不合 理的结论 则说明不存在 2 在处理空间折叠问题中 要注意平面图形与空间图形在折叠前后的相互位置关系与长度关系等 关键是点 线 面位置关系的转化与平面几何知识的应用 注意平面几何与立体几何中相关知识点的异同 盲目套用容易导致错 误 自主体验 2014 韶关模拟 如图 1 在直角梯形 ABCD 中 ADC 90 CD AB AD CD AB 2 点 E 为 AC 中点 将 1 2 ADC 沿 AC 折起 使平面 ADC 平面 ABC 得到几何体 D ABC 如图 2 1 求证 DA BC 2 在 CD 上找一点 F 使 AD 平面 EFB 基础巩固题组 一 选择题 1 设平面 与平面 相交于直线 m 直线 a 在平面 内 直线 b 在平面 内 且 b m 则 是 a b 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 2 2014 绍兴调研 设 为不重合的平面 m n 为不重合的直线 则下列命题正确的是 A 若 n m n 则 m B 若 m n m n 则 n C 若 n n m 则 m D 若 m n m n 则 3 2013 新课标全国 卷 已知 m n 为异面直线 m 平面 n 平面 直线 l 满足 l m l n l l 则 A 且 l B 且 l C 与 相交 且交线垂直于 l D 与 相交 且交线平行于 l 4 2014 深圳调研 如图 在四面体 D ABC 中 若 AB CB AD CD E 是 AC 的中点 则下列正确的是 A 平面 ABC 平面 ABD B 平面 ABD 平面 BDC C 平面 ABC 平面 BDE 且平面 ADC 平面 BDE D 平面 ABC 平面 ADC 且平面 ADC 平面 BDE 5 2014 郑州模拟 已知平面 和直线 l m 且 l m m l 给出下列四个结论 l m 其中正确的是 A B C D 二 填空题 6 如图 在四棱锥 P ABCD 中 PA 底面 ABCD 且底面各边都相等 M 是 PC 上的一动点 当点 M 满足 时 平面 MBD 平面 PCD 只要填写一个你认为正确的条件即可 7 已知平面 平面 A B AB 与两平面 所成的角分别为 和 过 A B 分别作两平面交线的垂 4 6 线 垂足为 A B 则 AB A B 8 设 是空间两个不同的平面 m n 是平面 及 外的两条不同直线 从 m n n m 中选取三个作为条件 余下一个作为结论 写出你认为正确的一个命题 用代号表示 三 解答题 9 如图 在四棱锥 P ABCD 中 AB CD AB AD CD 2AB 平面 PAD 底面 ABCD PA AD E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点 求证 1 PA 底面 ABCD 2 BE 平面 PAD 3 平面 BEF 平面 PCD 10 2013 泉州模拟 如图所示 在直四棱柱 ABCD A1B1C1D1中 DB BC DB AC 点 M 是棱 BB1上一点 1 求证 B1D1 平面 A1BD 2 求证 MD AC 3 试确定点 M 的位置 使得平面 DMC1 平面 CC1D1D 能力提升题组 一 选择题 1 如图 在斜三棱柱 ABC A1B1C1中 BAC 90 BC1 AC 则 C1在底面 ABC 上的射影 H 必在 A 直线 AB 上 B 直线 BC 上 C 直线 AC 上 D ABC 内部 2 2014 北京东城区期末 如图 在四边形 ABCD 中 AB AD CD 1 BD BD CD 将四边形 ABCD 沿对 2 角线 BD 折成四面体 A BCD 使平面 A BD 平面 BCD 则下列结论正确的是 A A C BD B BA C 90 C CA 与平面 A BD 所成的角为 30 D 四面体 A BCD 的体积为 1 3 二 填空题 3 2013 河南师大附中二模 如图 已知六棱锥 P ABCDEF 的底面是正六边形 PA 平面 ABC PA 2AB 则下 列结论中 PB AE 平面 ABC 平面 PBC 直线 BC 平面 PAE PDA 45 其中正确的有 把所有正确的序号都填上 三 解答题 4 如图 在四棱锥 S ABCD 中 底面 ABCD 为矩形 SA 平面 ABCD 二面角 S CD A 的平面角为 45 M 为 AB 的中点 N 为 SC 的中点 1 证明 MN 平面 SAD 2 证明 平面 SMC 平面 SCD 3 记 求实数 的值 使得直线 SM 与平面 SCD 所成的角为 30 CD AD 基础回扣练基础回扣练 空间几何体及点 线 面之间的位置关系空间几何体及点 线 面之间的位置关系 一 选择题 1 2014 中山模拟 一个几何体的正视图和侧视图如图所示 则这个几何体的俯视图不可能是 2 2013 豫西五校联考 如图是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图 A B C 是展开图上的三点 则在正方体 盒子中 ABC 的值为 A 30 B 45 C 60 D 90 3 2013 浙江五校联盟联考 关于直线 l m 及平面 下列命题中正确的是 A 若 l m 则 l m B 若 l m 则 l m C 若 l l 则 D 若 l m l 则 m 4 若直线 m 平面 则条件甲 直线 l 是条件乙 l m 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 5 2014 揭阳二模 一个棱长为 2 的正方体沿其棱的中点截去部分后所得几何体的三视图如图所示 则该几何体的 体积为 A 7 B C D 22 3 47 6 23 3 6 2013 温州二模 下列命题正确的是 A 若平面 不平行于平面 则 内不存在直线平行于平面 B 若平面 不垂直于平面 则 内不存在直线垂直于平面 C 若直线 l 不平行于平面 则 内不存在直线平行于直线 l